向量內(nèi)積的定義及運算規(guī)律_第1頁
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定義,向量內(nèi)積的定義及運算規(guī)律,定義,向量的長度具有下列性質(zhì)：,向量的長度,定義,向量的夾角,所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基,定理,定義,正交向量組的性質(zhì),施密特正交化方法,第一步正交化,第二步單位化,定義,正交矩陣與正交變換,方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交,定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換,正交變換的特性在于保持線段的長度不變,定義,方陣的特征值和特征向量,有關(guān)特征值的一些結(jié)論,定理,定理屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量,有關(guān)特征向量的一些結(jié)論,定義,矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對稱性；(3)傳遞性,相似矩陣,有關(guān)相似矩陣的性質(zhì),若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同,(4)能對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量,(5)有個互異的特征值，則與對角陣相似,實對稱矩陣的相似矩陣,定義,二次型,二次型與它的矩陣是一一對應(yīng)的,定義,二次型的標準形,化二次型為標準形,定義,正定二次型,慣性定理,注意,正定二次型的判定,一、證明所給矩陣為正交矩陣,典型例題,二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組,三、特征值與特征向量的求法,四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值,五、求方陣的特征多項式,六、關(guān)于特征值的其它問題,七、判斷方陣可否對角化,八、利用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣,九、化二次型為標準形,一、證明所給矩陣為正交矩陣,證明,將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與單位化,二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組,解一先正交化，再單位化,解二同時進行正交化與單位化,第三步將每一個特征值代入相應(yīng)的線性方程組，求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量,三、特征值與特征向量的求法,第一步計算的特征多項式；,第二步求出特征多項式的全部根，即得的全部特征值；,解第一步計算的特征多項式,第三步求出的全部特征向量,解,四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值,解,五、求方陣的特征多項式,解,六、關(guān)于特征值的其它問題,方法一,方法二,方法三,解,七、判斷方陣可否對角化,解(1)可對角化的充分條件是有個互異的特征值下面求出的所有特征值,解第一步求A的特征值由,八、利用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣,九、化二次型為標準形,解第一步將表成矩陣形式,解,第五章測試題,一、填空題(每小題4分，

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