D8_3 多變量函數(shù)的微分和偏導數(shù)ppt課件VIP

.,第八章第三節(jié),機動目錄上頁下頁返回結束,二、多變量函數(shù)的偏導數(shù),三、高階偏導數(shù),多變量函數(shù)的微分和偏導數(shù),第八章,一、多變量函數(shù)的微分,.,一、多變量函數(shù)的微分,.,是,的線性主部。,定理8.3.1如果f(x,y)在M0(x0,y0)處可微，則f(x,y)在M0(x0,y0)處連續(xù)。,.,定義8.3.1.,在點,存在,的偏導數(shù)，記為,的某鄰域內,則稱此極限為函數(shù),極限,設函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束,注意:,二、多變量函數(shù)的偏導數(shù),.,同樣可定義對y的偏導數(shù),若函數(shù)z=f(x,y)在域D內每一點(x,y)處對x,則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為,偏導數(shù),記為,機動目錄上頁下頁返回結束,或y偏導數(shù)存在,.,例1.求,解法1:,解法2:,在點(1,2)處的偏導數(shù).,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例2.設,證:,例3.求,的偏導數(shù).,解:,求證,機動目錄上頁下頁返回結束,.,偏導數(shù)記號是一個,例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R為常數(shù)),不能看作,分子與分母的商!,此例表明,機動目錄上頁下頁返回結束,整體記號,.,若在(x,y)處可微，則,偏導數(shù)也叫偏微商，這種叫法源于其本質上是一個一元函數(shù)微商，但對于二元函數(shù)而言不具有商的性質，只是一種記號。,.,二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點M0處的切線,對x軸的斜率.,在點M0處的切線,斜率.,是曲線,機動目錄上頁下頁返回結束,對y軸的,.,函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點不一定連續(xù).,上節(jié)例目錄上頁下頁返回結束,在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!,.,二元函數(shù)可微則偏導數(shù)存在。但偏導數(shù)存在，函數(shù)不一定可微。,定理8.3.2如果z=f(x,y)的兩個偏導數(shù)在M0(x0,y0)處都是連續(xù)的，則f(x,y)在M0(x0,y0)處可微。,.,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的,可微與偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).,機動目錄上頁下頁返回結束,偏導數(shù)定義為,(請自己寫出),可微的定義為,.,.,三、高階偏導數(shù),設z=f(x,y)在域D內存在連續(xù)的偏導數(shù),若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，,則稱它們是z=f(x,y),的二階偏導數(shù).,按求導順序不同,有下列四個二階偏導,機動目錄上頁下頁返回結束,數(shù):,.,類似可以定義更高階的偏導數(shù).,例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數(shù)為,z=f(x,y)關于x的n1階偏導數(shù),再關于y的一階,機動目錄上頁下頁返回結束,偏導數(shù)為,.,例6.求函數(shù),解:,注意:此處,但這一結論并不總成立.,機動目錄上頁下頁返回結束,的二階偏導數(shù)及,.,例如,二者不等,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例7.證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性,有,方程,機動目錄上頁下頁返回結束,.,則,證明目錄上頁下頁返回結束,證:令,則,令,定理.8.3.3.,.,同樣,.,在點,連續(xù),得,.,例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:,本定理對n元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導,數(shù)可以選擇方便的求導順序.,因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù),在點(x,y,z)連續(xù)時,有,而初等,.,把區(qū)域D中有n階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)全體記作,把區(qū)間I中有n階連續(xù)導數(shù)的一元函數(shù)全體記作,.,作業(yè),第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束,P66681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。,.,第四節(jié),一元復合函數(shù),求導法則,微分法則,機動目錄上頁下頁返回結束,復合函數(shù)的微分法,第八章,.,本節(jié)內容:,一、復合函數(shù)求導的鏈式法則,二*、Jacobi矩陣,三、方向導數(shù)和梯度,四、全微分的不變性,五、例題,.,一、復合函數(shù)求導的鏈式法則,寫成矩陣形式：,.,一般地，設可微，而,.,例1.設,解:,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例2.,解:,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例3.證明函數(shù)u=1/r滿足方程,其中。,Laplace方程，調和函數(shù),.,若函數(shù),處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數(shù),證:設t取增量t,則相應中間變量,且有鏈式法則,機動目錄上頁下頁返回結束,有增量u,v,.,(全導數(shù)公式),(t0時,根式前加“”號),機動目錄上頁下頁返回結束,.,若定理中,說明:,例如:,易知:,但復合函數(shù),偏導數(shù)連續(xù)減弱為,偏導數(shù)存在,機動目錄上頁下頁返回結束,則定理結論不一定成立.,.,中間變量多于兩個的情形.例如,機動目錄上頁下頁返回結束,.,又如,當它們都具有可微條件時,有,注意:,這里,表示固定y對x求導,表示固定v對x求導,口訣:,分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導,與,不同,機動目錄上頁下頁返回結束,.,例4.設,求全導數(shù),解:,注意：多元抽象復合函數(shù)求導在偏微分方程變形與,機