高等數學課件完整版31935PPT課件

,.,2,一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質的事物的總體.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,有限集,無限集,.,3,數集分類:,N-自然數集,Z-整數集,Q-有理數集,R-實數集,數集間的關系:,例如,不含任何元素的集合稱為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,.,4,2.區(qū)間:,是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,.,5,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,.,6,3.鄰域:,.,7,4.常量與變量:,在某過程中數值保持不變的量稱為常量,注意,常量與變量是相對“過程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而數值變化的量稱為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x,y,t等表示變量.,.,8,5.絕對值:,運算性質:,絕對值不等式:,.,9,因變量,自變量,數集D叫做這個函數的定義域,二、函數概念,.,10,自變量,因變量,對應法則f,函數的兩要素:,定義域與對應法則.,約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.,.,11,定義:,如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數,.,12,(1)符號函數,幾個特殊的函數舉例,.,13,(2)取整函數y=xx表示不超過的最大整數,階梯曲線,.,14,(3)狄利克雷函數,.,15,(4)取最值函數,.,16,.,17,例1,脈沖發(fā)生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數關系式.,解,單三角脈沖信號的電壓,.,18,.,19,例2,解,故,.,20,三、函數的特性,有界,無界,1函數的有界性:,.,21,2函數的單調性:,.,22,.,23,3函數的奇偶性:,偶函數,.,24,奇函數,.,25,4函數的周期性:,（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.,.,26,直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.,四、反函數,.,27,五、小結,基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.,函數的概念,函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.,反函數,.,28,思考題,.,29,思考題解答,設,則,故,.,30,練習題,.,31,.,32,練習題答案,.,34,一、基本初等函數,1.冪函數,.,35,2.指數函數,.,36,3.對數函數,.,37,4.三角函數,正弦函數,.,38,余弦函數,.,39,正切函數,.,40,余切函數,.,41,正割函數,.,42,余割函數,.,43,5.反三角函數,.,44,.,45,.,46,冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數.,.,47,二、復合函數初等函數,1.復合函數,定義:,.,48,注意:,1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;,2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.,2.初等函數,由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.,.,49,例1,解,.,50,綜上所述,.,51,三、雙曲函數與反雙曲函數,奇函數.,偶函數.,1.雙曲函數,.,52,奇函數,有界函數,.,53,雙曲函數常用公式,.,54,2.反雙曲函數,奇函數,.,55,.,56,奇函數,.,57,四、小結,函數的分類:,函數,初等函數,非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數),代數函數,超越函數,有理函數,無理函數,有理整函數(多項式函數),有理分函數(分式函數),.,58,思考題,.,59,思考題解答,不能,.,60,一、填空題:,練習題,.,61,.,62,練習題答案,.,63,.,65,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,播放,劉徽,一、概念的引入,.,66,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正形的面積,.,67,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,.,68,二、數列的定義,例如,.,69,注意：,1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取,2.數列是整標函數,.,70,播放,三、數列的極限,.,71,問題:,當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.,通過上面演示實驗的觀察:,.,72,.,73,如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的.,注意：,.,74,幾何解釋:,其中,.,75,數列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,.,76,例2,證,所以,說明:常數列的極限等于同一常數.,小結:,用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.,.,77,例3,證,.,78,例4,證,.,79,四、數列極限的性質,1.有界性,例如,有界,無界,.,80,定理1收斂的數列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.,推論無界數列必定發(fā)散.,.,81,2.唯一性,定理2每個收斂的數列只有一個極限.,證,由定義,故收斂數列極限唯一.,.,82,例5,證,由定義,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內.,.,83,3.(收斂數列與其子數列間的關系)如果數列收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a,.,84,五.小結,數列:研究其變化規(guī)律;,數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;,收斂數列的性質:有界性唯一性.,.,85,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當時，必有成立,.,86,思考題解答,（等價）,證明中所采用的,實際上就是不等式,即證明中沒有采用“適當放大”的值,.,87,從而時，,僅有成立，,但不是的充分條件,反而縮小為,.,88,練習題,.,89,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術：,劉徽,一、概念的引入,.,90,三、數列的極限,.,91,三、數列的極限,.,92,三、數列的極限,.,93,三、數列的極限,.,94,三、數列的極限,.,95,三、數列的極限,.,96,三、數列的極限,.,97,三、數列的極限,.,98,三、數列的極限,.,99,三、數列的極限,.,100,三、數列的極限,.,101,三、數列的極限,.,102,三、數列的極限,.,104,播放,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,105,通過上面演示實驗的觀察:,問題:,如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.,.,106,.,107,2.另兩種情形:,.,108,3.幾何解釋:,.,109,例1,證,.,110,二、自變量趨向有限值時函數的極限,.,111,.,112,2.幾何解釋:,注意：,.,113,例2,證,例3,證,.,114,例4,證,函數在點x=1處沒有定義.,.,115,例5,證,.,116,3.單側極限:,例如,.,117,左極限,右極限,.,118,左右極限存在但不相等,例6,證,.,119,三、函數極限的性質,1.有界性,2.唯一性,.,120,推論,3.不等式性質,定理(保序性),.,121,定理(保號性),推論,.,122,4.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系),定義,定理,.,123,證,.,124,例如,函數極限與數列極限的關系,函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.,.,125,例7,證,.,126,二者不相等,.,127,四、小結,函數極限的統(tǒng)一定義,(見下表),.,128,.,129,思考題,.,130,思考題解答,左極限存在,右極限存在,不存在.,.,131,一、填空題:,練習題,.,132,.,133,練習題答案,.,134,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,135,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,136,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,137,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,138,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,139,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,140,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,141,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,142,一、自變量趨向無窮大時函數的極限,.,144,一、無窮小,1.定義:,極限為零的變量稱為無窮小.,.,145,例如,注意,1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;,2.零是可以作為無窮小的唯一的數.,.,146,2.無窮小與函數極限的關系:,證,必要性,充分性,.,147,意義,1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);,3.無窮小的運算性質:,定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.,證,.,148,注意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.,.,149,定理3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.,證,.,150,推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.,推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,.,151,二、無窮大,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,.,152,特殊情形：正無窮大，負無窮大,注意,1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;,3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,.,153,不是無窮大,無界，,.,154,證,.,155,三、無窮小與無窮大的關系,定理4在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.,證,.,156,意義關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.,.,157,四、小結,1、主要內容:,兩個定義;四個定理;三個推論.,2、幾點注意:,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；,（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.,（3）無界變量未必是無窮大.,.,158,思考題,.,159,思考題解答,不能保證.,例,有,.,160,一、填空題:,練習題,.,161,.,162,練習題答案,.,164,一、極限運算法則,定理,證,由無窮小運算法則,得,.,165,.,166,推論1,常數因子可以提到極限記號外面.,推論2,有界，,.,167,二、求極限方法舉例,例1,解,.,168,小結:,.,169,解,商的法則不能用,由無窮小與無窮大的關系,得,例2,.,170,解,例3,(消去零因子法),.,171,例4,解,(無窮小因子分出法),.,172,小結:,無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,.,173,例5,解,先變形再求極限.,.,174,例6,解,.,175,例7,解,左右極限存在且相等,.,176,三、小結,1.極限的四則運算法則及其推論;,2.極限求法;,a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.,.,177,思考題,在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？,.,178,思考題解答,沒有極限,假設有極限，,有極限，,由極限運算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故假設錯誤,.,179,一、填空題:,練習題,.,180,二、求下列各極限:,.,181,.,182,練習題答案,.,184,一、無窮小的比較,例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,.,185,定義:,.,186,例1,解,例2,解,.,187,常用等價無窮小:,用等價無窮小可給出函數的近似表達式:,例如,.,188,二、等價無窮小替換,定理(等價無窮小替換定理),證,.,189,例3,解,不能濫用等價無窮小代換.,對于代數和中各無窮小不能分別替換.,注意,.,190,例4,解,解,錯,.,191,例5,解,.,192,三、小結,1.無窮小的比較:,反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.,2.等價無窮小的替換:,求極限的又一種方法,注意適用條件.,高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.,.,193,思考題,任何兩個無窮小量都可以比較嗎？,.,194,思考題解答,不能,例當時,都是無窮小量,但,不存在且不為無窮大,故當時,.,195,練習題,.,196,.,197,.,198,練習題答案,.,199,.,201,一、函數的連續(xù)性,1.函數的增量,.,202,2.連續(xù)的定義,.,203,.,204,例1,證,由定義2知,.,205,3.單側連續(xù),定理,.,206,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù),.,207,4.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,.,208,例3,證,.,209,二、函數的間斷點,.,210,1.跳躍間斷點,例4,解,.,211,2.可去間斷點,例5,.,212,解,注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,.,213,如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,特點,.,214,3.第二類間斷點,例6,解,.,215,例7,解,注意不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.,.,216,狄利克雷函數,在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.,僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.,.,217,在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點類型:,.,218,例8,解,.,219,三、小結,1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數;,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),.,220,可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,.,221,思考題,.,222,思考題解答,且,.,223,但反之不成立.,例,但,.,224,練習題,.,225,.,226,練習題答案,.,227,.,229,一、四則運算的連續(xù)性,定理1,例如,.,230,二、反函數與復合函數的連續(xù)性,定理2嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的連續(xù)反函數.,例如,反三角函數在其定義域內皆連續(xù).,.,231,定理3,證,.,232,將上兩步合起來:,.,233,意義,1.極限符號可以與函數符號互換;,例1,解,.,234,例2,解,同理可得,.,235,定理4,注意定理4是定理3的特殊情況.,例如,.,236,三、初等函數的連續(xù)性,三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續(xù)的.,.,237,定理5基本初等函數在定義域內是連續(xù)的.,(均在其定義域內連續(xù)),定理6一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.,.,238,1.初等函數僅