隨機積分與Ito定理PPT課件

.,1,第八章隨機積分Ito積分,第一節(jié)引言,第二節(jié)Ito積分的理論,第三節(jié)Ito積分的特征,第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用,第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式,.,2,第一節(jié)引言,一、Ito積分的導(dǎo)出,在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。,但在隨機環(huán)境中，由于不可預(yù)測的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無法定義一個有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個積分Ito積分，建立積分方程。,首頁,.,3,前面討論的隨機微分等式，其中的項都只是近似討論，而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過來才能更確切地討論。,即若用微分方程,代表資產(chǎn)價格的動態(tài)行為，,那么能否對兩邊取積分，即,也就是說，是否等式右邊第二項的積分有意義？,為解釋此項積分的含義，需引進(jìn)Ito積分,首頁,.,4,也就是說，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義,即有,其中h為一定的時間間隔。,若,則上等式改寫為,即,或,這正是在固定間隔下的隨機微分方程表示式,首頁,.,5,此表示式為一近似式，其精確公式為,二、Ito積分的重要性,首先,隨機微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來定義，要理解隨機微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。,其次,在實際運用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時間間隔，得出隨機微分方程的近似值，然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。,返回,首頁,.,6,第二節(jié)Ito積分的理論,Ito積分是用來定義隨時間的變化無法統(tǒng)計和不可預(yù)測的隨機增量的總和。,布朗運動,如果,標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,一、Ito積分的定義,首頁,.,7,定義1,滿足,作和式,如果均方極限,存在,則稱,記為,首頁,.,8,注意,在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式,原因是,即,所以這里取固定的左端點。,定理1,首頁,.,9,定理2,則,證,令,則,首頁,.,10,因為,0,首頁,.,11,例1,解,試求,故,首頁,.,12,注,表明Ito隨機積分不同于黎曼積分,二、Ito積分的性質(zhì),性質(zhì)1,則,（1）,（2）,證明,與黎曼積分相仿（略）,首頁,.,13,性質(zhì)2,則,證明,略,首頁,.,14,性質(zhì)3,則,存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。,證明,首頁,.,15,三、Ito微分法則,則第二個積分作為Ito積分存在，且,（1）,這時,稱(1)式定義的隨機過程有(Ito)隨機微分,并記為,首頁,.,16,例2,求隨機微分,解,由例可知,即,由隨機微分的定義,首頁,.,17,定理3,Ito公式,的二次微分函數(shù)，,則,且,首頁,.,18,例3,求隨機微分,解,設(shè),因為,所以由Ito公式得,首頁,.,19,定理4,都是連續(xù)函數(shù),如果隨機過程有隨機微分,則,首頁,.,20,注,是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機微分中的表現(xiàn)，稱為Ito公式,首頁,.,21,四、Ito隨機微分方程,則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機微分方程,稱為Ito隨機微分方程,與Ito隨機微分方程等價的Ito隨機積分方程,其中右邊第一個積分是均值積分，第二個積分是Ito積分,首頁,.,22,例4,考慮Ito方程,取,由Ito公式得,即,所以,即,注,將看作普通函數(shù)，則解為,返回,首頁,.,23,第三節(jié)Ito積分的特征,資產(chǎn)價格理論意義下Ito積分,其中在信息集下是非預(yù)期的,一、Ito積分是鞅,在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價格不可預(yù)測的干擾總和可表示為,則此Ito積分就是鞅。,因為,首頁,.,24,給定時間t的信息集，如果每個增量是不可預(yù)測的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測的，即,于是,故Ito積分是鞅。,首頁,.,25,下面考慮兩種有意思的情況：,1第一種情況,假設(shè),此時Ito積分就等同于Riemann積分,即有,則,即積分是鞅,首頁,.,26,因為,維納過程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，,故此積分是鞅,注,當(dāng)是常數(shù)時，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅,首頁,.,27,2第二種情況,若,此時Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。,例如,如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差,則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。,用Riemann求和來大致估計Ito積分會導(dǎo)致自相矛盾，,方法,具體過程如下例：,首頁,.,28,3一個例子,其中偏移量和方差率分別為,假設(shè)資產(chǎn)價格滿足隨機微分方程,即兩個參數(shù)都比例于資產(chǎn)價格,考慮一個小時間間隔，對隨機微分方程積分,現(xiàn)在用Rieman求和來討論上式右邊的第二項積分的近似計算，看會有什么結(jié)果？,首頁,.,29,Rieman求和的一種近似計算是用子間隔的中點處的維納過程測值來計算。,首先計算,然后再乘以矩形的底,得,從而有,兩項相關(guān),下面考慮上隨機微分方程的簡單形式,則其新增項形式為,首頁,.,30,用Riemann求和來大致估計這樣一個積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得,由于期望,這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測的，,首頁,.,31,從而可知，用Riemann求和來估計Ito積分意味著新增干擾項有一個非零期望值，即,但由于Ito積分存在條件：,即有,則Ito積分的近似計算必須是,矛盾,首頁,.,32,注,如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會收斂為一個有效的隨機變量，即Ito積分根本就不存在。,二、路徑積分,考察在期間0，T內(nèi)資產(chǎn)價格,間隔長度為,分割：,且有,首頁,.,33,假設(shè)一個金融分析家要計算積分,其有限求和形式為,取特殊路徑,則,顯然,但路徑積分在隨機過程中并不一定收斂。,如,首頁,.,34,取符號函數(shù),則有,即,故此路徑積分在隨機過程中不收斂。,注,路徑積分意義,在計算路徑積分時，沒有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實際測值來計算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來計算并由隨機等式來決定。,非預(yù)期重要性,由于可預(yù)測的符號，函數(shù)能“看到未來情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時，就會發(fā)散。,首頁,.,35,三、Ito積分存在性,存在的條件是,也就是說,的均方會收斂到某個稱為Ito積分的隨機變量,首頁,.,36,四、相關(guān)性,Ito積分是一隨機過程，因此它有各種不同的量,一次量,即,二次量,協(xié)方差,方差,返回,首頁,.,37,第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用,在隨機環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價格的變動被認(rèn)為是不可預(yù)測的，且在連續(xù)時間內(nèi)變動太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機微分來代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計算。Ito規(guī)則給出了一個簡化隨機微分的公式，并給出了詳細(xì)的計算。,一、導(dǎo)數(shù)類型,在標(biāo)準(zhǔn)計算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類型的導(dǎo)數(shù)：,首頁,.,38,偏導(dǎo)數(shù),全微分,鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)在金融市場中作用,偏導(dǎo)數(shù)為計算資產(chǎn)價格相對于風(fēng)險因子的變化反應(yīng)提供了一個“乘數(shù)”。,典型例子：是在計算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，,假設(shè)一個市場參與者知道的函數(shù)形式，,1,則,首頁,.,39,因此,對維納過程定義一個關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)不會有任何困難，但需要知道的不是隨時間的變化，而是假定在時間固定情況下，它對的小變化有什么反應(yīng)。,2,3,全微分是在假定時間和標(biāo)的資產(chǎn)的價格都發(fā)生變動，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機微分。它代表了在時間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價格的變化，對市場交易者很有用。,在標(biāo)準(zhǔn)計算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個變量相對于初始變量經(jīng)過某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機計算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機形式。,首頁,.,40,例1,且,則,注,但全微分同隨機事件的實際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對為非隨機變量的情況。,首頁,.,41,二、Ito定理的應(yīng)用,（一）Ito定理,則有Ito公式可得,或,首頁,.,42,說明,在分析金融衍生產(chǎn)品時，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機微分方程，運用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價格的變化。,例2,求,解,因,故有Ito定理可得,首頁,.,43,因此得到在信息集下的的隨機微分方程，其偏移率和方差項為即漂移率是常數(shù)，方差依賴于信息集。,例3,若,則有,此時得到在信息集下的的隨機微分方程，其偏移率和方差項為,首頁,.,44,例4,計算Ito積分,解,設(shè),得,其相關(guān)積分等式,故,即,注,這個結(jié)果與本章第二節(jié)計算出來的結(jié)果相同，可作為計算Ito積分的工具。,首頁,.,45,例5,計算積分,解,定義,由Ito定理得,其對應(yīng)的積分等式,故,首頁,.,46,注,用Ito定理計算Ito積分的步驟,1,2,3,對新得到的隨機微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個新的積分等式，該等式所包含的積分的計算要比原積分簡單。,4,重新排列積分等式各項，得到最終結(jié)果。,首頁,.,47,（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價中的應(yīng)用（補充內(nèi)容）,現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。,假定各個時期的無風(fēng)險利率r等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價格用F表示，則遠(yuǎn)期價格F與即期價格S之間的關(guān)系可表示為,所以,首頁,.,48,如果股票價格S遵循幾何布朗運動，并且預(yù)期收益和波動率分別是和，即,那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價格F變化的隨機過程為,將代入上式，得,可見，遠(yuǎn)期價格F與股票價格S一樣，也遵循幾何布朗運動。但是，遠(yuǎn)期價格的預(yù)期增長率是，而不是。,首頁,.,49,三、Ito定理的積分形式,微分形式,進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：,兩邊取積分，得積分形式,該式說明關(guān)于維納過程和其它連續(xù)時間隨機過程的積分是用時間的積分函數(shù)表達(dá)出來的。,注,返回,首頁,.,50,第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式,第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴于單一隨機變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。,不能直接使用Ito公式的兩種情況：,第二種考慮金融市場受到小概率事件影響，這樣需要對隨機微分方程加上跳躍過程來決定資產(chǎn)價格，相應(yīng)的Ito公式會改變很多。,首頁,.,51,一、多變量情況,設(shè)為兩個受維納過程影響的隨機過程,其中,則,首頁,.,52,是兩個獨立的維納過程的增量結(jié)果,這個問題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：,由于,在單變量Ito定理中，等交叉項在均方意義下都等于0。,且,若在一個固定的間隔內(nèi)，有,則在均方意義下，有,首頁,.,53,由此可得,這些等式代入上式即得雙變量Ito公式,首頁,.,54,例1,（金融衍生品）,在評價利率期權(quán)衍生品的價值時，收益曲線起到很大作用。,利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線依賴于兩個狀態(tài)變量，分別是短期利率和長期利率,則利率衍生品的價格就可表示為,假定利率服從隨機微分方程,其中，長短期利率誤差項具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為,首頁,.,55,市場參與者可通過參數(shù)的選擇，由該等式得到長短期利率的相關(guān)性和方差特性。,在評估利率期權(quán)時，需要知道期權(quán)價格對收益曲線的變化和會怎樣變化，也就是要知道隨機微分，即有Ito公式的多變量形式可得,首頁,.,56,例2財富,假設(shè)市場有n種資產(chǎn)，,都是受同一隨機變動影響的連續(xù)時間的隨機過程,投資總價格可由財富函數(shù)表示,則由Ito定理可得隨著時間的變化而財富的增量,首頁,.,57,二、Ito公式和跳躍,假設(shè)觀測一個過程，它服從隨機微分方程：,其中,且假定在一個固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：,原因：任何可預(yù)測的跳躍成分可被包含在漂移項中,對跳躍過程，作如下假定：,1,首頁,.,58,2,跳躍類型是隨機和獨立的。,首頁,.,59,在這些條件下,漂移參數(shù)可被看作為兩個分散的漂移的總和：,其中是連續(xù)運動的維納過程部分，第二項為中純跳躍部分,跳躍過程兩個隨機性,跳躍的發(fā)生為隨機事件，發(fā)生大小也是隨機的。假定這兩