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旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺(tái),體積,一、旋轉(zhuǎn)體的體積,1,旋轉(zhuǎn)體的體積為,2,所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為,例1,求橢圓,所圍成的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積,類似地，由連續(xù)曲線,3,這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個(gè)橢圓,及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,與上同理,橢球體也可以看成由半個(gè)橢圓,及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,解,4,特別當(dāng)a=b時(shí),旋轉(zhuǎn)體成為球體,解,5,解,6,7,例4,證明由平面圖形,（f(x)連續(xù)）,繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為,對(duì)應(yīng)的部分量,可近似看成內(nèi)徑為x，外徑為x+dx高為f(x)的薄壁圓筒,故,證,8,或展開(kāi)后近似于長(zhǎng)為寬為dx高為f(x)的薄長(zhǎng)方體,利用這個(gè)公式，可知上例中,9,解,體積元素為,10,求圓心在(b,0)半徑為a(0ab)的圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積,解,圓的方程,例6,11,繞x軸旋轉(zhuǎn),dV=薄片圓柱的體積（底半徑為f(x)，高為dx）,柱片法,繞y軸旋轉(zhuǎn),dV=薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為x，外徑為x+dx高為f(x),柱殼法,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,繞x軸旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為,一般地,12,如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.,立體體積,二、平行截面面積為已知的立體的體積,13,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,14,已知點(diǎn)A（1,0,1),B(0,1,0)，線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S和兩平面z=0,z=1所圍立體的體積,解,AB的方程為,在z軸上截距為z的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個(gè)圓，此截面與z軸交于點(diǎn)Q(0,0,z)，與AB交于點(diǎn)M(z,1-z,z)，,截面面積,立體體積,故截面的半徑為,例8,15,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞軸旋轉(zhuǎn)一周,繞軸旋轉(zhuǎn)一周,繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周,平行截面面積為已知的立體的體積,思考題,三、

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