第十五講-橢球基本知識(shí).ppt

地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系橢球面上的幾種曲率半徑將地面觀測(cè)的方向值歸算到橢球?qū)⒌孛嬗^測(cè)的長(zhǎng)度歸算到橢球面,本講主要內(nèi)容：,一、常用的四種坐標(biāo)系,大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（大地測(cè)量中兩種基本坐標(biāo)系）子午平面直角坐標(biāo)系大地極坐標(biāo)系,1、大地坐標(biāo)系,P點(diǎn)的法線與赤道面的夾角B，叫做P點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為北緯（090）；向南為南緯(090)。P點(diǎn)在橢球面上的位置用L、B表示。,一、常用的四種坐標(biāo)系,p點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角L，叫做p點(diǎn)的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為東經(jīng)（0180），向西西經(jīng)（0180）。,1、大地坐標(biāo)系,大地坐標(biāo)系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點(diǎn)位。在大地坐標(biāo)坐標(biāo)系中如果點(diǎn)不在橢球面上，點(diǎn)的位置用來(lái)表示。從地面點(diǎn)P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。它同正常高及正高有如下關(guān)系：,一、常用的四種坐標(biāo)系,2、空間直角坐標(biāo)系,空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球質(zhì)心（地心坐標(biāo)系）或參考橢球中心（參心坐標(biāo)系），Z軸指向地球北極，x軸指向起始子午面與地球赤道的交點(diǎn)，y軸垂直于XOZ面并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。,一、常用的四種坐標(biāo)系,以橢球中心O為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用X、Y、Z表示。,3、子午面直角坐標(biāo)系,設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，在過(guò)P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x，y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L，x，y表示。,一、常用的四種坐標(biāo)系,4、大地極坐標(biāo)系,M為橢球體面上任意一點(diǎn)，MN為過(guò)M點(diǎn)的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長(zhǎng)，A為大地線在M點(diǎn)的大地方位角。以M為極點(diǎn)、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。P點(diǎn)位置用S、A表示。橢球面上點(diǎn)的極坐標(biāo)（S,A）與大地坐標(biāo)(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。,一、常用的四種坐標(biāo)系,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,橢球面上的點(diǎn)位可在各種坐標(biāo)系中表示，由于所用坐標(biāo)系不同，表現(xiàn)出來(lái)的坐標(biāo)值也不同。,1）子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,過(guò)p點(diǎn)作法線，它與x軸之夾角為B，過(guò)p點(diǎn)作子午圈的切線TP，它與x軸的夾角為（90+B）。子午面直角坐標(biāo)x,y同大地緯度B的關(guān)系式如下：,2）空間直角坐標(biāo)系同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,空間直角坐標(biāo)系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y，前者的相當(dāng)于后者的x，并且二者的經(jīng)度L相同。,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,3）空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,同一地面點(diǎn)在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換,式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長(zhǎng)短半徑按式算得。,N法線長(zhǎng)度，可由式算得。,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,三、地球橢球及其定位,1、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,橢圓的長(zhǎng)半軸：a橢圓的短半軸：b橢圓的扁率：,橢圓的第一偏心率：,橢圓的第二偏心率：,五個(gè)基本幾何參數(shù),我國(guó)所采用的的1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國(guó)家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975國(guó)際橢球參數(shù)；而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。,三、地球橢球及其定位,幾種地球橢球參數(shù),并得：,推得：,同理可得：,1、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,三、地球橢球及其定位,以上圖中的半圓為基礎(chǔ)作一單位半徑的半圓球，圖中OZ1為過(guò)O點(diǎn)的鉛垂線，Z1為天文天頂，ZOZ1，此即O點(diǎn)處的垂線偏差。,三、垂線偏差和它的基本公式,垂線偏差：地面上一點(diǎn)的鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角，稱(chēng)為該點(diǎn)的垂線偏差。,垂線偏差基本公式,在測(cè)站O觀測(cè)M時(shí)以鉛垂線OZ1為基準(zhǔn)，測(cè)得天頂距為Z1，視準(zhǔn)面OZ1M與水平面交于R1。,三、垂線偏差和它的基本公式,當(dāng)不存在垂線偏差觀測(cè)M時(shí)，視準(zhǔn)面OZM與水平面交于R。故（R1R）即為垂線偏差對(duì)方向觀測(cè)值的影響。,四、橢球的定位,橢球定位：將具有一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置確定下來(lái)，從而確定出測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算的具體數(shù)據(jù)。一般通過(guò)大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)。若測(cè)得大地原點(diǎn)的天文經(jīng)度、天文緯度和某一方向的天文方位角,以及大地原點(diǎn)的正常高。,橢球定位主要是確定以上這些定位參數(shù)，若定位參數(shù)確定，大地測(cè)量的起算數(shù)據(jù)也就確定下來(lái)了。,一般在大地測(cè)量初期取,四、橢球的定位,于是,在大地原點(diǎn)處，鉛垂線與橢球面法線重合，大地水準(zhǔn)面與橢球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且兩個(gè)起始子午面平行。這樣橢球位置便完全被固定下來(lái)，達(dá)到定位目的。（一點(diǎn)定位）一點(diǎn)定位難以保證橢球面與大地水準(zhǔn)面最佳吻合。當(dāng)天文大地測(cè)量完成后，按經(jīng)弧度測(cè)量計(jì)算求出原點(diǎn)的再按上式確定出大地測(cè)量的起算數(shù)據(jù)。（多點(diǎn)定位）多點(diǎn)定位在在布設(shè)的天文大地網(wǎng)整個(gè)區(qū)域內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面最佳吻合。,五、橢球面上法截線曲率半徑,法截面：包含曲面上一點(diǎn)法線的平面叫法截面。法截線：法截面與曲面的截線叫法截線。1、卯酉圈曲率半徑卯酉圈：與橢球面上一點(diǎn)的子午圈相垂直的法截線，稱(chēng)為該點(diǎn)的卯酉圈。梅尼埃定理：若通過(guò)曲面上一點(diǎn)引兩條截線，一條為法截線，一條為斜截線，且在該點(diǎn)上這兩條截線有同一公共切線，則斜截線的曲率半徑等于法截線曲率半徑乘以兩截線平面間夾角的余弦。,P點(diǎn)處平行圈平面與卯酉圈平面間的夾角P點(diǎn)的大地緯度B，根據(jù)梅尼埃定理，過(guò)P點(diǎn)的平行圈半徑r與卯酉圈半徑N的關(guān)系為由圖可知，上式表明，卯酉圈的曲率半徑等于法截線介于橢球面和短軸之間的長(zhǎng)度。卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,子午橢圓的一部分上取一微分弧長(zhǎng)，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量，點(diǎn)n是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑M。,任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：,子午圈曲率半徑公式為：,或,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,3、任意法截弧的曲率半徑,子午法截弧是南北方向，其方位角為0或180。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90或270。對(duì)于方位角為的任意法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式。任意方向的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式如下：,4、平均曲率半徑,在實(shí)際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測(cè)量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過(guò)地面某點(diǎn)的所有方向的平均值來(lái)作為這個(gè)球體的半徑是合適的。這個(gè)球面的半徑平均曲率半徑R：,或,因此，等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,1、相對(duì)法截線因測(cè)站點(diǎn)的鉛垂線一般不與法線重合，不同測(cè)站點(diǎn)的法線也不相交，這樣2個(gè)對(duì)向測(cè)站之間邊出現(xiàn)了2條法截線。橢球面法線在橢球短軸上的投影為NsinB，在赤道以上短半軸上的投影為。則橢球中心到法線與短軸的交點(diǎn)之間的距離為,即：緯度不同，橢球中心到法線與短軸的交點(diǎn)之間的距離也不相同。,1、相對(duì)法截線A、B兩點(diǎn)既不位于同一平行圈，也不在同一子午圈上，它們的法線AKa、BKb并不相交，所以包含這兩條法線的法截面ABKa和ABKb并不重合，二者與橢球面的交線分別為AaB和BbA，它們也不重合，這樣橢球面兩點(diǎn)之間出現(xiàn)了兩條法截線。稱(chēng)之為兩點(diǎn)間相對(duì)法截線,定義：橢球面上A、B兩點(diǎn)對(duì)向三角觀測(cè)將形成兩條相對(duì)法截線AaB和BbA它們通常不重合，稱(chēng)為相對(duì)法截線。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,1、相對(duì)法截線正法截線：包含A點(diǎn)的法線與照準(zhǔn)點(diǎn)B的法截面與橢球面的交線稱(chēng)為A點(diǎn)的正法截線。反法截線：包含照準(zhǔn)點(diǎn)B的法線與A點(diǎn)的法截面與橢球面的交線稱(chēng)為A點(diǎn)的反法截線。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,影響：相對(duì)法截線造成了幾何圖形的破裂。如右圖所示，設(shè)橢球面上有A，B，C三點(diǎn)，顯然，A，B，C的正法截線并不能構(gòu)成一個(gè)三角形。大地線位于相對(duì)法截線之間。,2、大地線（測(cè)地線）的定義曲線AB上任一點(diǎn)P的密切平面（無(wú)限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含曲線在該點(diǎn)的法線，該曲線即為曲面上的一條大地線。大地線是曲面上一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,大地線的性質(zhì)大地線是曲面上兩點(diǎn)的最短線大地線是無(wú)數(shù)法截線弧素的連線,3、地面觀測(cè)方向歸算至橢球面歸算的基本要求地面觀測(cè)方向歸算至橢球面上有3個(gè)基本內(nèi)容：1)將測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的地面觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線方向?yàn)闇?zhǔn)的觀測(cè)方向；2)將照準(zhǔn)點(diǎn)沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩點(diǎn)間的法截線方向；3)將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。,將水平觀測(cè)方向歸算到橢球面，通常需要進(jìn)行垂線偏差改正、標(biāo)高差改正和截面差改正，簡(jiǎn)稱(chēng)三差改正。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,垂線偏差改正（1）地面上以鉛垂線為準(zhǔn)觀測(cè)的水平方向值，歸算為以橢球面法線為準(zhǔn)的水平方向值時(shí)，顧及測(cè)站點(diǎn)垂線偏差的影響所加的改正。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,如下圖所示，以測(cè)站為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以、表示，M是地面觀測(cè)目標(biāo)m在球面上的投影。,z1,垂線偏差改正公式：,式中：為測(cè)站點(diǎn)上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測(cè)區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；為照準(zhǔn)點(diǎn)的天頂距；為照準(zhǔn)點(diǎn)的垂直角。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,垂線偏差改正的數(shù)值主要與測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差、觀測(cè)方向的方位角和天頂距（或垂直角）有關(guān)。,標(biāo)高差改正,定義：地面水平方向觀測(cè)值，沿法線方向歸算至參考橢球面上時(shí)，顧及照準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)高，所加的改正稱(chēng)為標(biāo)高差改正，以2表示,原因：由于A、B兩點(diǎn)的法線不在同一平面所產(chǎn)生的。,計(jì)算公式：,H2：照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；B2：照準(zhǔn)點(diǎn)大地緯度M1：測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑；A12：測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,截面差改正(3),定義：法截線方向化為大地線方向所加的改正，稱(chēng)為截面差改正，以3表示。,原因：由于相對(duì)法截線不重合而采用大地線代替產(chǎn)生的。,計(jì)算公式：,3為0的情況：A1=0，90，180，270照準(zhǔn)點(diǎn)與測(cè)站點(diǎn)在同一子午圈或接近于同一平行圈,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,4、三差改正計(jì)算,現(xiàn)行作業(yè)規(guī)定，各等三角測(cè)量歸算時(shí)，一等算至0.001，二等算至0.01，三四等算至0.1。,六、地面觀測(cè)值歸算至橢球面,電磁波測(cè)距儀測(cè)得的長(zhǎng)度是連接地面兩點(diǎn)間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點(diǎn)A和B的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測(cè)距儀測(cè)得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點(diǎn)在橢球面上沿法線的投影點(diǎn)a和b間的大地線的長(zhǎng)度S。,當(dāng)法截線弧長(zhǎng)等于600km時(shí)，用適宜的球面弧長(zhǎng)代替法截線弧長(zhǎng)，其相對(duì)誤差只有1：250萬(wàn)，所以