上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題（含解析）

上海市2020學(xué)年度華師大二附中高二下學(xué)期3月月考試卷數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共4小題，共12.0分）1.對于實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)其解是，下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則且C. 一定有D. 一定有【答案】D【解析】【分析】實(shí)系數(shù)方程可從與0的大小關(guān)系進(jìn)行分情況討論，對選項(xiàng)逐一研究篩選?！驹斀狻窟x項(xiàng)A、B顯然成立；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)韋達(dá)定理得到的選項(xiàng)C的結(jié)論，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)由計(jì)算可得，同樣也能成立；選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，故選D【點(diǎn)睛】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)方程的判別式時(shí)，方程的根可以通過虛數(shù)進(jìn)行表示。2. 教室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線 （ ）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 異面【答案】B【解析】分析：由題設(shè)條件可知，可以借助投影的概念對及三垂線定理選出正確選項(xiàng)解答：解：由題意，直尺所在直線若與地面垂直，則在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線垂直若直尺所在直線若與地面不垂直，則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直綜上，教室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線垂直故選B3.若為非零實(shí)數(shù)，則以下四個命題都成立：；若，則；若，則.則對于任意非零復(fù)數(shù)，上述命題中仍為真命題的個數(shù)為（ ）個.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷?！驹斀狻拷猓涸趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)，存在使，命題錯誤；在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)可得到，故成立；在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)表示是復(fù)數(shù)與的模長，模長相等，復(fù)數(shù)可以不相等。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由于是非零復(fù)數(shù)，所以在得兩邊同時(shí)除以可得，故成立。故選B【點(diǎn)睛】實(shí)數(shù)運(yùn)算成立的等式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)未必成立，不同范圍成立條件不一樣，注意合理使用。4.（2020浙江）在空間中，過點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為B，記B=f（A）設(shè)，是兩個不同的平面，對空間任意一點(diǎn)P，Q1=ff（P），Q2=ff（P），恒有PQ1=PQ2，則（）A. 平面與平面垂直B. 平面與平面所成的（銳）二面角為45C. 平面與平面平行D. 平面與平面所成的（銳）二面角為60【答案】A【解析】設(shè)P1=f（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過點(diǎn)P作平面垂線的垂足Q1=ff（P）=f（P1），點(diǎn)Q1是過點(diǎn)P1作平面垂線的垂足同理，若P2=f（P），得點(diǎn)P2是過點(diǎn)P作平面垂線的垂足因此Q2=ff（P）表示點(diǎn)Q2是過點(diǎn)P2作平面垂線的垂足對任意的點(diǎn)P，恒有PQ1=PQ2，點(diǎn)Q1與Q2重合于同一點(diǎn)由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且P1Q1P2是二面角l的平面角P1Q1P2是直角，平面與平面垂直故選：A二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）5.設(shè)，則_【答案】1【解析】分析】通過運(yùn)算，將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為形式,即可得解.【詳解】解：,所以Imz=1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部的定義，其中正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.6.設(shè)mR，m2+m2+（m21）i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m= 【答案】2【解析】【考點(diǎn)定位】考查復(fù)數(shù)的定義及運(yùn)算，屬容易題。7.若復(fù)數(shù)滿足，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)相等，求出，的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)，則，則由得，即，則，得，則，故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵8.若是實(shí)系數(shù)方程的一個虛根，且，則 【答案】4【解析】設(shè),則方程的另一個根為,且，由韋達(dá)定理直線 所以9.已知空間四邊形中，點(diǎn)分別是邊和的中點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的大小是_；【答案】【解析】【分析】要求異面直線和所成角，先找出與異面直線和平行的兩條相交的直線，探尋出異面直線和所成角，進(jìn)而在三角形中解決角的大小問題【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)所以，同理：所以，異面直線和所成角即為所成角異面直線和所成角即為或其補(bǔ)角在中，由余弦定理得異面直線和所成角為60【點(diǎn)睛】異面直線所成角問題，要借助平行關(guān)系，找出具體角，然后在三角形中，求出角的大小。10.已知在長方體中，則直線與平面所成角的大小是_【答案】【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)作出在平面上的垂足，連接得的射影，即得斜線與平面所成的角，進(jìn)而可得解【詳解】如圖，在上底面作于，連接，易知即為與平面所成的角，利用所給數(shù)據(jù)，求得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了斜線與平面所成的角，難度不大11.已知點(diǎn)是邊長為1的等邊三角形所在平面外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離是_；【答案】【解析】【分析】由于，所以點(diǎn)在平面的射影為底面等邊三角形的重心，設(shè)重心為點(diǎn)，所以，在三角形求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)等邊三角形的重心為點(diǎn)，連接因?yàn)榍?，所以，平面所以，在等邊中，在中，?！军c(diǎn)睛】點(diǎn)到面的距離常見解決方法是：1.找出點(diǎn)到面的距離對應(yīng)線段；2.等體積法求解。12.已知直線、與平面、，下列命題：若平行內(nèi)的一條直線，則；若垂直內(nèi)的兩條直線，則；若，且，則；若，且，則；若，且，則；若，則其中正確的命題為_（填寫所有正確命題的編號）【答案】【解析】【分析】，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知命題錯誤；，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知命題錯誤；，根據(jù)平面與平面平行的判定定理知命題錯誤；，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理知命題錯誤；，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知命題正確；，由平面與平面平行的性質(zhì)定理知命題正確【詳解】對于，若平行內(nèi)的一條直線，則不一定成立，如時(shí)，錯誤；對于，若垂直內(nèi)的兩條直線，則不一定成立，如內(nèi)的這兩條直線平行時(shí)，錯誤；對于，若，且，當(dāng)時(shí)，則由平面與平面平行的判定定理，不能得出，錯誤；對于，若，且，則由平面與平面垂直的判定定理，不能得出，錯誤；對于，若，且，則由直線與平面平行的性質(zhì)定理，得出，正確；對于，若，則由平面與平面平行的性質(zhì)定理，即可判定，正確綜上，其中正確的命題序號為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題13.設(shè)集合，其中是復(fù)數(shù)，若集合中任意兩數(shù)之積及任意一個數(shù)的平方仍是中的元素，則集合_；【答案】或【解析】【分析】根據(jù)若集合中任意兩數(shù)之積及任意一個數(shù)的平方仍是中的元素，分兩種情況討論，一種兩者相乘等于自身的情況，第二種是均不等于自身情況，依次分析?！驹斀狻拷猓杭现腥我鈨蓴?shù)之積仍是中的元素所以會出現(xiàn)兩者相乘等于自身的情況，也有可能均不等于自身情況即其中有一項(xiàng)為或者 （1）當(dāng)時(shí)，或若，則或所以，或又因?yàn)榧现腥我庖粋€數(shù)的平方仍是中的元素所以，剩下的一個數(shù)必為-1，所以集合 當(dāng)時(shí)，則必須又因?yàn)榧现腥我庖粋€數(shù)平方仍是中的元素則，解得，或，所以，集合。（2）當(dāng)時(shí)，三個等式相乘則得到所以得到或若，則三者必有一個為0，同（1）可得集合 。若，則得到，當(dāng)時(shí)，則可以得到且，則不成立；當(dāng)時(shí)，則，不成立。故集合M為或【點(diǎn)睛】求解這類問題時(shí)，要注意邏輯嚴(yán)謹(jǐn)分析，對每一個條件，每一種情況都要力求準(zhǔn)確到位，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)要注意實(shí)系數(shù)方程的解有擴(kuò)充。14.如圖，已知正方體的棱長為，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】當(dāng)取得最小時(shí)，點(diǎn)必定是點(diǎn)在平面上的射影，即在上。與在二面角的兩個面內(nèi)，此時(shí)可將在兩個不同平面上的量通過對平面翻折，轉(zhuǎn)化到同一平面上求解。【詳解】解：當(dāng)取得最小時(shí)，點(diǎn)必定是點(diǎn)在平面上的射影，即在上。與在二面角的兩個面內(nèi)，為此將繞旋轉(zhuǎn)90，使得平面與平面在同一平面內(nèi)，由，故當(dāng)共線且與垂直時(shí)，取得最小。在平面內(nèi)，因?yàn)樗?，又，所以與都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值為?！军c(diǎn)睛】空間中的最短（長）距離常見方法是通過射影等方法轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題。三、解答題（本大題共5小題，共60.0分）15.在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：四邊形是菱形；（2）作出直線與平面的交點(diǎn)（寫出作圖步驟）【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，可證四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，得到四邊形為平行四邊形，再由，可得，得到四邊形是菱形；（2）連接和，則與的交點(diǎn)，即為直線與平面的交點(diǎn)【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則，四邊形為平行四邊形，則，由為正方體，且，分別為，的中點(diǎn)，可得為平行四邊形，則，且，四邊形為平行四邊形，由，可得，四邊形是菱形；（2）連接和，則與的交點(diǎn)，即為直線與平面的交點(diǎn)，如圖所示【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了空間想象與邏輯推理能力，是中檔題16.如圖，在長方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，求：（1）與所成的角；（2）與平面所成的角【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求直線與所成的角，通過可轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，然后在中利用余弦定理解可得；（2）直線與平面所成的角，首先要求出在平面上射影，由長方體可得在平面上射影即為，所以直線與平面所成角的平面角即為或其補(bǔ)角，在中解得線面角的大小?！驹斀狻拷猓阂?yàn)?，分別是棱的中點(diǎn)所以，所以，直線與所成的角即為直線與所成的角所以，直線與所成的角為或其補(bǔ)角連接在中，由余弦定理解得所以，直線與所成的角（2）因?yàn)殚L方體所以，平面連接所以直線與平面所成角的平面角即為或其補(bǔ)角，在中，所以所以直線與平面所成角的平面角即為。【點(diǎn)睛】異面直線所成角常見解法是通過平行找出異面直線所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小；線面所成角常見解法是通過找出斜線在平面上的射影，射影與其直線所成角即為線面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。17.如圖，在空間四邊形中，平面，且，（1）若，求證：平面；（2）求二面角的大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，再由，能證明平面（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的大小【詳解】證明：（1）平面，平面，平面，平面解：（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題18.復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)及為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動，復(fù)數(shù)滿足，求：（1）復(fù)數(shù)模的取值范圍；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)條件可設(shè)，由此可表示出的模形式，進(jìn)而得出模的范圍；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程即求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系，將用（1）中的形式進(jìn)行表示，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，即可解決軌跡方程?！驹斀狻浚?）設(shè)，則；（2）；【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)形式不確定時(shí)，可利用待定系數(shù)法，將復(fù)數(shù)表示出來，然后進(jìn)行分析解題；求點(diǎn)的軌跡方程即求點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系，常見方法有常見曲線的定義、參數(shù)方程等方法。19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）見解析；（） .【解析】試題分析：本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.試題解析：（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點(diǎn)M（M平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個點(diǎn).理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形. 從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過點(diǎn)A作AHCE，交CE的延長線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH=，所以sinAPH=.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.于CDPD.從而PDA是二