高考數(shù)學必修知識講解冪函數(shù)及圖象變換提高VIP

冪函數(shù)及圖象變換【學習目標】1通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合冪函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.2掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能熟練運用圖象和性質(zhì)去解題3掌握初等函數(shù)圖象變換的常用方法 【要點梳理】要點一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).要點詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù).例如：等都不是冪函數(shù).要點二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要點詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，+)都有定義，并且圖象都過點(1，1)；(2)時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸2.作冪函數(shù)圖象的步驟如下:(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；(2)若冪函數(shù)的定義域為(0，+)或0，+)，作圖已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象.3.冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征(3)如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達式，就應(yīng)由定義知必有，即4.冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進行比較常稱為“搭橋”法(2)比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小(3)常用的步驟是：構(gòu)造冪函數(shù)；比較底的大小；由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小要點三、初等函數(shù)圖象變換基本初等函數(shù)包含以下九種函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（三角函數(shù)、反三角函數(shù)待講）由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算以及簡單復合所得的函數(shù)叫初等函數(shù)如：的圖象變換，（1）平移變換y=f(x)y=f(xa) 圖象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 圖象上（）、下（）平移（2）對稱變換y=f(x) y=f(x), 圖象關(guān)于y軸對稱y=f(x) y=f(x) , 圖象關(guān)于x軸對稱y=f(x) y=f(x) 圖象關(guān)于原點對稱y=f(x) 圖象關(guān)于直線y=x對稱（3）翻折變換： y=f(x) y=f(|x|),把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸左邊部分關(guān)于y軸對稱（注意：它是一個偶函數(shù)） y=f(x) y=|f(x)| 把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱 要點詮釋：（1）函數(shù)圖象是由基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過以上變換變化而來。（2）若f(ax)f(ax)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?！镜湫屠}】類型一、求函數(shù)解析式例1.（2015秋 湖南長沙期末）已知冪函數(shù)（kN*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)f（x）的解析式【思路點撥】利用冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性通過kN*，求出k的值，寫出函數(shù)的解析式【答案】【解析】冪函數(shù)（kN*）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以，解得1k3，因為kN*，所以k=1，2；且冪函數(shù)（kN*）在區(qū)間（0，+）為減函數(shù)，k=1，函數(shù)的解析式為：【總結(jié)升華】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴格判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；底數(shù)為自變量；系數(shù)為1舉一反三：【變式1】已知冪函數(shù)的圖象過點，則= 【答案】【解析】設(shè)，則由圖象過點，可得，即 ，所以，即類型二、冪函數(shù)的圖象例2.給定一組函數(shù)的解析式：；，如右圖的一組函數(shù)圖象請把圖象對應(yīng)的解析式序號填在圖象下面的括號內(nèi)【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征確定相應(yīng)的圖象由第一、二、三個圖象在第一象限的圖象特征可知，而第一個圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)；第二個圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)；第三個圖象在軸左側(cè)無圖象，即在上無意義，因而這三個圖象應(yīng)分別填由第四、五、六個圖象在第一象限的圖象特征可知，而第四個圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)；第五個圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)；第六個圖象在軸左側(cè)無圖象，即函數(shù)在上無意義，因而這三個圖象應(yīng)分別填最后一個圖象對應(yīng)的冪指數(shù)大于1，故填【總結(jié)升華】確定這類圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式的順序是：先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進而確定中分母“”的奇偶性；當圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可舉一反三：【變式1】冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，已知分別取-1，四個值，則相應(yīng)圖象依次為： 【答案】【變式2】 已知冪函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）A.均為奇數(shù)，且 B.為偶數(shù)，為奇數(shù)，且C. 為奇數(shù)，為偶數(shù)，且 D. 為奇數(shù)，為偶數(shù)，且【答案】D由函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱知，函數(shù)為偶函數(shù)，故為偶數(shù)，為奇數(shù)由函數(shù)圖象在第一象限為減函數(shù)知類型三、冪函數(shù)的性質(zhì)例3有冪函數(shù)若干個，每個函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：（1）是奇函數(shù)；（2）是內(nèi)的增函數(shù)；（3）函數(shù)的圖象經(jīng)過原點又已知同時具有性質(zhì)（1）的共有15個，具有性質(zhì)（2）的共有12個，具有性質(zhì)（3）的共有18個，試問，這些冪函數(shù)共有幾個？其中冪指數(shù)小于零的有幾個？【答案】21；3 【解析】充分考慮冪函數(shù)的性質(zhì)，合理運用幾何的理論解題由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在內(nèi)的增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定過原點又若一個函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象又經(jīng)過原點，則這個函數(shù)一定是在上的增函數(shù)設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備（1）（2）（3）的函數(shù)分別構(gòu)成集合、，而冪函數(shù)小于零的構(gòu)成集合，依題意得=15，=12, =18.又，,所以,則=15+18-12=21，即共有冪函數(shù)21個又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)一定不經(jīng)過原點反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21-18=3（個）【總結(jié)升華】本題把冪函數(shù)知識與集合知識綜合在一起，構(gòu)思新穎，需充分考慮冪函數(shù)的性質(zhì)，合理運用集合理論解題冪函數(shù)的性質(zhì)與的不同取值相對應(yīng)，本題中的道理一定要體會清楚，冪函數(shù)中有些函數(shù)具備這三個性質(zhì)中1個，有的具備2個，甚至3個，這與的取值范圍有關(guān)，因此一定要利用圖象的位置、形狀掌握這些性質(zhì)例4.比較下列各組數(shù)的大小.(1) 與； (2)與，（3）和.【答案】(1)；(2)；(3) 0)單調(diào)遞減，且， .即.（3）， 【總結(jié)升華】(1)各題中的兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷.(2)題(2)中，我們是利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題.當然，若直接利用x0上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的.(3)題中，引進數(shù)“1”和“0”，三個數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論舉一反三：【變式1】比較，的大小.【答案】【解析】先利用冪函數(shù)的增減性比較與的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較與的大小.在上單調(diào)遞增，且，.作出函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象，易知.故.類型四、求參數(shù)的范圍例5.（2015秋 西寧校級期中）已知冪函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)（1）求m的值；（2）當x1，2時，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若AB=A，求實數(shù)k的取值范圍【思路點撥】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求出m的值（2）先求出f（x），g（x）的值域，再根據(jù)若，得到關(guān)于k的不等式組，解得即可【答案】（1）m=0；（2）0，1【解析】（1）依題意得：，解得m=0或m=2當m=2時，在（0，+）上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去m=0（2）由（1）知，當x1，2時，f（x），g（x）單調(diào)遞增，A=1，4，B=2k，4k，解得，0k1故實數(shù)k的取值范圍為0，1【變式1】若，求實數(shù)a的取值范圍.解法1：， 考察的圖象，得以下四種可能情況:(1) (2) (3) (4)分別解得:(1). (2)無解. (3). (4).a的取值范圍是.解法2：畫出的圖象，認真觀察圖象，可得:越接近y軸，y值越大，即|x|越小，y值越大，要使， 即， 解得:.【總結(jié)升華】以上兩種方法都是運用函數(shù)的單調(diào)性，但顯然第二種方法更好.而這種方法的應(yīng)用，必須對圖象的特征有深刻的認識.可見，能很好地運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑.類型五、冪函數(shù)的應(yīng)用高清課程：冪函數(shù)及圖象變換 例3例6. 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小【答案】在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) 【解析】=，因此將冪函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得帶函數(shù)的圖象，由此可知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)在上找出點關(guān)于直線的對稱點由，【總結(jié)升華】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點題型解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題當一個函數(shù)的圖象有對稱軸時，對于定義域內(nèi)的任意兩個值、，要比較和的大小，需要把、兩個數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)例7. 設(shè)mN*，已知函數(shù)在(0,+)上是增函數(shù) （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)，試討論g(x)在(-,0)上的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間(-,0)上的最值【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意，或解得：或再由mN* ，即 （2）任取且，則= （*）當，即時，由于，得（*）0，即故在上單調(diào)遞增綜上，在上，舉一反三：【變式1】（2015秋 忻州校級期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且f（3）f（5）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若（a0且a1）在區(qū)間2，3上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）m=1，；（2）（1，2）【解析】（1）f（x）為偶函數(shù)，為偶數(shù)，又f（3）f（5），即有：， ，又mZ，m=0或m=1當m=0時，為奇數(shù)（舍去），當m=1時，為偶數(shù)，符合題意m=1，（2）由（1）知：（a0且a1）在區(qū)間2，3上為增函數(shù)令，；當a1時，為增函數(shù)，只需在區(qū)間2，3上為增函數(shù)即：當0a1時，為減函數(shù)，只需在區(qū)間2，3上為減函數(shù)即：，綜上可知：a的取值范圍為：（1，2）類型六：基本初等函數(shù)圖象變換例8作出下列函數(shù)的圖象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如圖(1)； (2)如圖(2)； (3)如圖(3). 【總結(jié)升華】要作出由對數(shù)函數(shù)組成的復合函數(shù)的圖象，仍應(yīng)注意變換作圖法的靈活性，即先作出基本函數(shù)（對數(shù)函數(shù)）圖象，再用平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、伸縮等變換作圖法來作出函數(shù)圖象即可一般地，函數(shù)（為實數(shù)）的圖象是由函數(shù)的圖象沿軸向右（或向左）平移個單位（此時為的圖象），再沿軸向上（或向下）平移個單位而得含有絕對值的函數(shù)的圖象是一種對稱變換，一般地，的圖象是關(guān)于直線對