《線(xiàn)性代數(shù)》課程教學(xué)大綱

線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)大綱Linear Algebra課程代碼： 課程性質(zhì)：專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)理論課/必修適用專(zhuān)業(yè)：工科類(lèi)各專(zhuān)業(yè) 總學(xué)分?jǐn)?shù)：2.0總學(xué)時(shí)數(shù)：32 修訂年月：2016.01編寫(xiě)年月：2016.01 執(zhí) 筆：韓曉卓、李鋒課程簡(jiǎn)介(中文)： 線(xiàn)性代數(shù)是理、工、經(jīng)管各專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一。它是以討論有限維空間線(xiàn)性理論為主，具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其理論與方法已廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)領(lǐng)域中。主要包括：矩陣、行列式、線(xiàn)性方程組、秩問(wèn)題、矩陣的特征值和特征向量、二次型等內(nèi)容。課程簡(jiǎn)介(英文)：Linear Algebra is one of the important and basic courses for all kinds of majors in science, engineering and economic management. With strong abstractness and logic, it is the branch of mathematics, which mainly concerns with the linear theory of finite dimensional spaces. Its theory and methods have been widely used in other science fields. Its content includes matrices, determinants, linear equations, rank problems, eigenvalues and eigenvectors of matrix, quadratic form, etc.一、課程目的線(xiàn)性代數(shù)是高等院校工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的一門(mén)基礎(chǔ)理論課。它是以討論有限維空間線(xiàn)性理論為主，具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生比較系統(tǒng)地獲得線(xiàn)性代數(shù)中的行列式、矩陣、線(xiàn)性方程組、矩陣和向量組的秩，矩陣的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)特的代數(shù)思維模式和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)使學(xué)生了解線(xiàn)性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用,并為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程及進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配(一）教學(xué)內(nèi)容第一章 行列式(6學(xué)時(shí))教學(xué)內(nèi)容：二階三階行列式；n階行列式的定義；行列式的性質(zhì)（證明選講）；行列式按行(列)展開(kāi)（定理1.4證明選講，行列式按某k行（列）展開(kāi)選講）；克萊姆法則。本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)；行列式按一行（列）展開(kāi)定理；克萊姆法則的應(yīng)用。難點(diǎn)：n階行列式的定義的理解； n階行列式計(jì)算。第二章 矩陣(8學(xué)時(shí))教學(xué)內(nèi)容：矩陣的概念；矩陣的運(yùn)算（矩陣的加、減法；數(shù)乘；乘法；矩陣轉(zhuǎn)置；方陣的冪；方陣的行列式）；幾種特殊的矩陣（對(duì)角矩陣，數(shù)量矩陣，三角形矩陣，單位矩陣，對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣）；分塊矩陣（分塊陣及其運(yùn)算，分塊對(duì)角陣）；逆矩陣（可逆陣的定義；奇異陣，伴隨陣與逆陣的關(guān)系；逆陣的性質(zhì)，二階上三角分塊陣的求逆方法）； 本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)： 矩陣的運(yùn)算規(guī)律；逆矩陣的性質(zhì)以及求法；難點(diǎn)：矩陣的乘積及分塊矩陣的乘積；逆矩陣（抽象矩陣的逆矩陣）的求法。第三章 矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組(7學(xué)時(shí))教學(xué)內(nèi)容：矩陣的初等變換（初等矩陣定義；初等矩陣與矩陣初等變換的關(guān)系。用初等變換求矩陣的逆）；矩陣的秩（矩陣的秩的定義；矩陣的秩與其子式的關(guān)系；初等變換求矩陣的秩）。線(xiàn)性方程組的消元解法（消元解法與初等行變換的關(guān)系；線(xiàn)性方程組有唯一解、無(wú)窮多組解和無(wú)解的討論；線(xiàn)性方程組有解的判別定理；齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分和必要條件）； 本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用初等變換求矩陣的逆矩陣與矩陣的秩；利用初等變換求線(xiàn)性方程組的通解。難點(diǎn)：利 用初等變換求線(xiàn)性方程組的通解。第四章 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性(7學(xué)時(shí))教學(xué)內(nèi)容：維向量空間（維向量的定義；向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算）；向量間的線(xiàn)性關(guān)系（線(xiàn)性組合；線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)；關(guān)于線(xiàn)性組合與線(xiàn)性相關(guān)的定理；向量組的秩；矩陣的行秩與列秩）；線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)（齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)；非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)）；本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：向量間的線(xiàn)性關(guān)系的重要結(jié)論；用初等變換求向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩 ；齊次與非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)； 難點(diǎn)： 利用向量間線(xiàn)性關(guān)系的重要結(jié)論證明有關(guān)問(wèn)題；非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)； 第五章 相似矩陣及二次型(4學(xué)時(shí))教學(xué)內(nèi)容：矩陣的特征值與特征向量（矩陣的特征值和特征向量的定義；特征方程；特征值，特征向量的求法及有關(guān)性質(zhì)）；相似矩陣（相似矩陣及其性質(zhì)；n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件；實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量（向量?jī)?nèi)積的定義，向量的長(zhǎng)度；正交向量組（施密特正交化過(guò)程）；正交矩陣的定義及其性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量。利用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣）；二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣（二次型及其矩陣；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；合同矩陣）；二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（選講）；用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的規(guī)范形）；二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的有定性（正定二次型，正定矩陣及其性質(zhì)）本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：矩陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)與求法 ； 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法； 用正交變換法以及配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；難點(diǎn)：階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件；利用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣。（二）學(xué)時(shí)分配本課程的教學(xué)時(shí)數(shù)為56學(xué)時(shí)，課內(nèi)外學(xué)時(shí)比例為1：2，課內(nèi)學(xué)時(shí)32分配如下表：序號(hào)內(nèi) 容學(xué) 時(shí)安 排小計(jì)理論課時(shí)習(xí)題課時(shí)1行列式5162矩陣6283矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組6174向量組的線(xiàn)性相關(guān)性6175相似矩陣及二次型404三、課程教學(xué)的基本要求1.行列式 本章的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求： 知道排列的逆序及逆序數(shù)的概念。從二階、三階行列式的展開(kāi)式的特征出發(fā)，了解 n 階行列式的定義；熟悉行列式的性質(zhì)并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行行列式的計(jì)算；知道行列式按行(列)展開(kāi)定理；并能用它們計(jì)算行列式；掌握克拉默（ Cramer ）法則，會(huì)用克拉默法則求解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組。2.矩陣 本章的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求： 理解矩陣的概念。了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣等特殊的矩陣；熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置以及方陣的冪等概念及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律；理解逆矩陣的概念及其存在的充要條件，熟練掌握逆矩陣的性質(zhì)以及用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。能利用逆矩陣解簡(jiǎn)單的矩陣方程； 了解分塊矩陣及其運(yùn)算。知道分塊矩陣在線(xiàn)性代數(shù)中的作用。能用分塊矩陣討論簡(jiǎn)單的線(xiàn)性代數(shù)問(wèn)題。3. 矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組 本章的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求： 理解矩陣的初等變換的概念，掌握矩陣的初等變換的性質(zhì)；熟悉初等矩陣的概念與性質(zhì)，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；理解矩陣的秩的概念，會(huì)用初等變換求矩陣的秩。 理解線(xiàn)性方程組有唯一解、無(wú)窮多組解以及無(wú)解的充要條件與齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件；熟練掌握用初等變換法求線(xiàn)性方程組通解的方法。 4. 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 本章的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求： 理解 維向量的概念、維向量間的線(xiàn)性關(guān)系（線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)、一個(gè)向量由一組向量線(xiàn)性表出）的概念，掌握關(guān)于向量間的線(xiàn)性關(guān)系的重要結(jié)論；理解向量組的極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩的概念，掌握關(guān)于向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩的主要結(jié)論，了解向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系；熟練掌握用初等變換法求向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩的方法。理解解向量、齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系、通解以及非齊次線(xiàn)性方程組的通解與特解等概念。掌握齊次與非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)；理解向量空間、子空間、向量空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)和自然基的概念。5. 相似矩陣及二次型 本章的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)要求： 理解內(nèi)積、正交以及規(guī)范正交基等概念；掌握線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的正交化、單位化方法。 理解正交矩陣的概念及其性質(zhì)；理解矩陣的特征值與特征向量的概念并掌握其性質(zhì)與求法；理解相似矩陣的概念及性質(zhì)以及 n 階方陣能相似于對(duì)角矩陣的充要條件；了解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)。掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法；理解實(shí)二次型和它的矩陣、秩等概念。理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形的概念。掌握用正交變換法以及配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。了解慣性定理。理解正定二次型與正定矩陣的概念及其性質(zhì)。掌握正定二次型的判別方法。四、本課程與其它課程的聯(lián)系與分工先修課程： 高等數(shù)學(xué)； 后續(xù)課程：作為基礎(chǔ)課，它是許多后繼課，如概率、統(tǒng)計(jì)學(xué)原理、應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)等其他專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課和專(zhuān)業(yè)課的基礎(chǔ)。五、教材與主要參考文獻(xiàn)建議教材:1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編. 線(xiàn)性代數(shù)（第六版）. 高等教育出版社,2014年6月.2 郝志峰 等，線(xiàn)性代數(shù)（修訂版），高等教育出版社，主要參考文獻(xiàn):1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編線(xiàn)性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解，高等教育出版社，2014年7月.2 郝志峰 著. 線(xiàn)性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與典型例題, 高等教育出版社，2006年9月.2 Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications (6th Edition), 2002，影印版線(xiàn)性代數(shù)，機(jī)械工業(yè)出版社，2004，ISBN 7-111-15216-6, pp545，機(jī)械工業(yè)出版社影印3 David C. Lay, Linear Alg