上海市曹楊二中2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

上海市曹楊二中2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、填空題，(前6期每題4分，后6題每題5分，共54分)1.若(其中為虛數(shù)單位)，則_.【答案】【解析】【分析】將z的共軛復(fù)數(shù)寫出來(lái),再算出模即可【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模,注意計(jì)算的正確即可,屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域是_【答案】【解析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域?yàn)椋蚀鸢笧?3.已知向量則與的夾角_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求出與的夾角的余弦值,即可得出與的夾角.【詳解】與的夾角為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的夾角公式,注意算出非特殊三角函數(shù)值在寫夾角的時(shí)候要用反三角函數(shù)表示,不能直接寫三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的反函數(shù)是_.【答案】【解析】【分析】求出的值域,即為的定義域,再將中的和調(diào)換位置,化簡(jiǎn)變形用表示,即可得的表達(dá)式【詳解】的值域?yàn)榈姆春瘮?shù)是,化簡(jiǎn)得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的計(jì)算,反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域,當(dāng)定義域不是時(shí),一定要寫出定義域.本題屬于基礎(chǔ)題.5.數(shù)列的前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式 _.【答案】【解析】【分析】根據(jù)和之間的關(guān)系,應(yīng)用公式得出結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了和之間的關(guān)系式,注意當(dāng)和時(shí)要分開(kāi)討論,題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎(chǔ)題6.冪函數(shù)(mz)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù),則m 【答案】1【解析】【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)(mz)為偶函數(shù)，所以為偶數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)(mz)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù), 所以因?yàn)閙z，所以m17.展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi).【答案】1120【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為,求出n的值,再寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,當(dāng)時(shí),即可求出的系數(shù)【詳解】展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開(kāi)式的通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí),即則展開(kāi)式中的系數(shù)為1120故答案為：1120【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和,和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)點(diǎn)(1,0)是其函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，軸是其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】因?yàn)檩S是其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,所以代入；(1,0)是其函數(shù)圖象的對(duì)稱中心,所以代入,作差即可表示出的值,再根據(jù),即可得的最小值.【詳解】軸是其函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,(1,0)是其函數(shù)圖象的對(duì)稱中心-,得當(dāng)時(shí),有最小值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的表達(dá)式,屬于基礎(chǔ)題.9.有5條線段，其長(zhǎng)度分別為3,4,5,7,9,現(xiàn)從中任取3條，則能構(gòu)成三角形的概率是_.【答案】【解析】【分析】從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構(gòu)成三角形的情況數(shù)列出,即可得概率.詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構(gòu)成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6種情況；即能構(gòu)成三角形的概率是,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式,注意統(tǒng)計(jì)出滿足條件的情況數(shù),再除以總情況數(shù)即可,屬于基礎(chǔ)題.10.記為不大于的最大整數(shù)，設(shè)有集合,則_.【答案】【解析】【分析】求即需同時(shí)滿足a集合和b集合的x的取值范圍,先根據(jù),比較容易得出解集, 再將b集合的解集代入a集合中,判斷出可以成立的值,即可得【詳解】當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),不滿足；當(dāng)時(shí),滿足；當(dāng)時(shí),不滿足；當(dāng)時(shí),滿足；即同時(shí)滿足和的值有-1,；則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的計(jì)算,和取整函數(shù)的理解,針對(duì)兩個(gè)集合求交集的情況,可先對(duì)較簡(jiǎn)單的或者不含參數(shù)的集合求解,再代入較復(fù)雜的或含參數(shù)的集合中去計(jì)算.本題屬于中等題.11. 已知數(shù)對(duì)按如下規(guī)律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），則第60個(gè)數(shù)對(duì)是_【答案】【解析】試題分析：根據(jù)已知條件，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出各點(diǎn)，其規(guī)律如圖所示，因?yàn)?，可知第個(gè)數(shù)對(duì)落在第11個(gè)與平行的直線上的，為.試題解析：將所給出的點(diǎn)列在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從點(diǎn)開(kāi)始，各點(diǎn)分別落在與平行的直線上，且第一組有一個(gè)點(diǎn)，第二組有兩個(gè)點(diǎn)，以此類推第三組有三個(gè)點(diǎn),則第11組的最后一個(gè)數(shù)為第66個(gè)數(shù)，則第60個(gè)點(diǎn)為.考點(diǎn)：一般數(shù)列中的項(xiàng)12.已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最小值為_(kāi).【答案】2【解析】【分析】本題解法較多，具體可考慮采用距離問(wèn)題、柯西不等式法，判別式法，整體換元法，三角換元法進(jìn)行求解，具體求解過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】方法一：距離問(wèn)題問(wèn)題理解為：由對(duì)稱性，我們研究“雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離的倍”問(wèn)題若相切，則有唯一解，兩平行線與的距離所以方法二：柯西不等式法補(bǔ)充知識(shí)：二元柯西不等式已知兩組數(shù)；，則已知兩組數(shù)；，則所以，所以.方法三：判別式法設(shè)，將其代入，下面仿照方法一即可.方法四：整體換元根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，設(shè)，則，且方法五：三角換元由對(duì)稱性，不妨設(shè)（為銳角）所以所以的最小值為2【點(diǎn)睛】本題考查不等式中最值的求解問(wèn)題，解法較為多樣，方法一通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，方法二通過(guò)柯西不等式，方法三通過(guò)判別式法，方法四通過(guò)整體換元法，方法五通過(guò)三角換元，每種解法都各有妙處，這也提醒我們平時(shí)要學(xué)會(huì)從多元化方向解題，培養(yǎng)一題多解的能力，學(xué)會(huì)探查知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，橫向拓寬學(xué)科知識(shí)面二、選擇題 (每小題5分，共20分)13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以選b。14.己知是空間中兩直線，是空間中的一個(gè)平面，則下列命題正確的是（ ）a. 已知，若，則b. 已知，若，則c. 已知，若，則d. 已知，若，則【答案】d【解析】【分析】a. n和m方向無(wú)法確定,不正確；b. 要得到,需要n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,不正確；c. 直線n有可能在平面內(nèi),不正確；d. 平行于平面的垂線的直線與此平面垂直,正確.【詳解】a. 一條直線與一個(gè)平面平行,直線方向無(wú)法確定,所以不一定正確；b. 一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則直線垂直于平面, 無(wú)法表示直線n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,所以不一定正確；c. 直線n有可能在平面內(nèi),所以不一定正確；d. ,則直線n與m的方向相同,則,正確；故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系的判斷,遇到不正確的命題畫(huà)圖找出反例即可.本題屬于基礎(chǔ)題.15.己知函數(shù)，則（ ）a. 僅有有限個(gè)m，使得有零點(diǎn)b. 不存在實(shí)數(shù)m,使得有零點(diǎn)c. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，使得有零點(diǎn)d. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,使得零點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè)【答案】c【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式利用輔助角公式化簡(jiǎn)成,將看成一個(gè)整體,取值范圍為,令,得,由得有無(wú)數(shù)解.詳解】令,得又的取值范圍為對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,都有無(wú)數(shù)解.即對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,使得有零點(diǎn).故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式的化簡(jiǎn)運(yùn)用,遇到的形式時(shí),首先化為,再去計(jì)算要解答的問(wèn)題.本題屬于中等題.16.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,若，則的最小值（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先將化簡(jiǎn)成的形式,再分奇偶不同的情況,用并項(xiàng)求和法求出的值,和累加法求出的值,代入即可將用表示出來(lái),最后化簡(jiǎn)得,根據(jù)基本不等式或二次函數(shù)的最值,求出的最小值是4【詳解】由得,由奇數(shù)平方和公式得,. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),兩式作差得,則,累加得,由自然數(shù)平方和公式得,則又,根據(jù)基本不等式,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),即的最小值是4,故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了并項(xiàng)求和法、累加法、基本不等式的綜合運(yùn)用,尤其當(dāng)奇偶項(xiàng)通項(xiàng)公式不同(或者符號(hào)不同)時(shí),要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)的情況去討論,得到通項(xiàng)公式更簡(jiǎn)單的形式,再去化簡(jiǎn).另外當(dāng)求取值范圍的表達(dá)式中含有超過(guò)一個(gè)未知數(shù)時(shí),需通過(guò)消元法或者基本不等式針對(duì)表達(dá)式變形.本題屬于難題.三、解答題：(共76分)17.如圖所示，在長(zhǎng)方體中， 為棱上點(diǎn).(1) 若，求異面直線和所成角的大小；(2) 若，求證平面.【答案】(1) ；(2)證明詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1) 由,得是異面直線和所成角,由此能示出異面直線和所成角的正切值；(2) 時(shí),由勾股定理逆定理得,由此能證明平面.【詳解】(1),是異面直線和所成角,在長(zhǎng)方體中,平面,m為棱上一點(diǎn),即異面直線和所成角的大小為.(2) 時(shí),.,又,平面.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的正切值的求法,考查直線與平面的證明,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為,過(guò)作斜率不為零的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，橢圓上一點(diǎn)與連線的斜率之積（點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)）.（1）求該橢圓方程；（2）已知定點(diǎn),求橢圓上動(dòng)點(diǎn)n與m點(diǎn)距離的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的周長(zhǎng)為8求得a,然后結(jié)合求得b點(diǎn)的值,則橢圓方程可求; （2）設(shè)出n的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于n的縱坐標(biāo)的函數(shù),然后分類求出橢圓上動(dòng)點(diǎn)n與m點(diǎn)距離的最大值.【詳解】（1）如圖,由的周長(zhǎng)為8,得,即.,設(shè),則.又,得,即,.則橢圓方程為:. （2）設(shè)橢圓上,又,.則當(dāng)時(shí), .即求橢圓上動(dòng)點(diǎn)n與m點(diǎn)距離的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查橢圓方程的求法,訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值,是中檔題.19.某興趣小組測(cè)量電視塔ae的高度h(單位m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿bc高度h=4m，仰角abe=，ade=（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24,tan=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出h的值（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度，若電視塔實(shí)際高度為125m，問(wèn)d為多少時(shí)，-最大【答案】（1）124m.（2）55m.【解析】【詳解】(1)由及abbdad，得，解得h124.因此，算出的電視塔的高度h是124m.(2)由題設(shè)知dab，得tan.由abadbd，得tan，所以tan()，當(dāng)且僅當(dāng)d，即d55時(shí)，上式取等號(hào)所以當(dāng)d55時(shí)，tan()最大因?yàn)?，則00即可,即實(shí)數(shù)的范圍為（3）設(shè),且當(dāng)時(shí),無(wú)解設(shè),且,則,當(dāng)時(shí),無(wú)解若,又當(dāng)時(shí),一定有解又,即令或0又且即a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,遇到二次函數(shù)的性質(zhì)不熟悉時(shí),還可以采取畫(huà)圖的方法研究，寫過(guò)程時(shí)詳細(xì)地討論.本題屬于中等題.21.已知數(shù)列和,記.(1)若，求；(2)若，求關(guān)于m的表達(dá)式；(3)若數(shù)列和均是項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的有窮數(shù)列.，現(xiàn)將和中的項(xiàng)一一取出，并按照從小到大的順序排成一列，得到.求證：對(duì)于給定的，的所有可能取值的奇偶性相同.【答案】(1) ,；(2) ；(3)證明詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)將的值算出,代入即可；(2)遇絕對(duì)值要去絕對(duì)值,討論的正負(fù),分成兩種情況去求的表達(dá)式；(3)因?yàn)榻粨Q和的值,的值不