狀態(tài)反饋和觀測器

第4章系統(tǒng)狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器,目錄4.1狀態(tài)反饋與輸出反饋4.2單輸入單輸出狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置法4.3狀態(tài)重構(gòu)問題4.4觀測器的極點配置,4.1狀態(tài)反饋與輸出反饋,1.狀態(tài)反饋設(shè)原系統(tǒng)：,1/s,u,y,-,+,+,+,+,其中：系統(tǒng)輸入-狀態(tài)反饋陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)(閉環(huán)系統(tǒng)）：若=0，特征方程,狀態(tài)反饋控制律：,2.輸出反饋a.輸出反饋至參考微分處(),1/S,H,u,-,+,+,y,其中-輸出反饋陣,b.輸出反饋至參考輸入：,1/S,u,-,+,+,比較：輸出反饋輸出反饋H，F(xiàn)選擇的自由度比狀態(tài)反饋K小，輸出反饋部分狀態(tài)反饋。C=I，F(xiàn)C=K時，才能等同狀態(tài)反饋。因此，輸出反饋的效果不如狀態(tài)反饋，但輸出反饋實現(xiàn)較方便，而狀態(tài)反饋中不能測量的狀態(tài)變量需用狀態(tài)觀測器重構(gòu)狀態(tài)。引入各種反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)后，系統(tǒng)的能控性和能觀測性如何呢？,4.2閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀測性,定理1：狀態(tài)反饋不改變原系統(tǒng)的能控性，但卻不一定能保證系統(tǒng)的能觀測性證明：設(shè)原系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：引入u=v-kx的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)動態(tài)方程為：,先證能控的充要條件是能控：的能控性陣：的能控性陣：,另一方面：的狀態(tài)反饋系統(tǒng)或：是由經(jīng)初等變換得到，而初等變換,例：解：判斷原系統(tǒng)的能控性，能觀性,能控,能觀測,引入狀態(tài)反饋：,則：,令：,能控,不能觀測,原系統(tǒng)：,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：,引入狀態(tài)反饋后出現(xiàn)零極點對消,定理2：輸出至參考輸入的反饋不改變原系統(tǒng)的能觀測性與能控性,證明：輸出反饋中的FC等效于狀態(tài)反饋中的K，所以輸出反饋也保持了系統(tǒng)的能控性不變。由能觀測性判據(jù)陣，同樣可把SOH看成是SCO經(jīng)初等變換的結(jié)果，因此能觀測性保持不變。,定理3：輸出至狀態(tài)微分的反饋不改變原系統(tǒng)的能觀測性，但可能改變原系統(tǒng)的能控性證明：1）用對偶原理證明能觀測性不變,設(shè)原系統(tǒng)，輸出反饋的系統(tǒng)若原系統(tǒng)能觀測對偶系統(tǒng)能控。由定理1可知，系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)能控性不變對偶系統(tǒng)能觀測性不變。即,關(guān)于能控性：設(shè)原系統(tǒng)能控對偶系統(tǒng)能觀測,而系統(tǒng)的能觀測性陣：,4.3單輸入/單輸出系統(tǒng)的極點配置,控制系統(tǒng)的性能主要取決系統(tǒng)的極點在根平面上的分布。極點配置就是通過狀態(tài)反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動態(tài)特性。,設(shè)原系統(tǒng)：,1/S,u,-,+,+,y,x,v,引入狀態(tài)反饋：,-閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)陣,閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式,定理：用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是：原系統(tǒng)狀態(tài)完全能控證明：充分性設(shè)原系統(tǒng)能控任意配置極點原系統(tǒng)能控，一定存在非奇異線性變換陣將(A，b)能控標(biāo)準(zhǔn)型,引入狀態(tài)反饋，其中其中：,是能控標(biāo)準(zhǔn)型（規(guī)范型）,特征多項式：,比較與,根據(jù)給定的n個希望閉環(huán)極點，其期望的閉環(huán)特征方程,可任意配置極點,能控標(biāo)準(zhǔn)型,必要性：任意配置極點原系統(tǒng)狀態(tài)能控反證法：即假設(shè)原系統(tǒng)可任意配置極點，但原系統(tǒng)不完全能控。,設(shè),系統(tǒng)不完全能控，采用非奇異變換，將系統(tǒng)分解成能控和不能控兩部分，即,的特征值(的極點)不能任意配置與已知矛盾，所以反設(shè)不成立。,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控時，狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)能控部分的極點，而不能影響系統(tǒng)不能控部分的極點。,幾點說明：（1）在原系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的情況下，可通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點；（2）當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時，狀態(tài)反饋只能任意配置系統(tǒng)能控部分的極點，而不能改變系統(tǒng)不能控部分的極點；（3）對單輸入/單輸出系統(tǒng)極點配置定理對多輸入/多輸出系統(tǒng)也成立，僅僅是狀態(tài)反饋矩陣K是不惟一的，對單變量系統(tǒng)K是唯一的。,求解狀態(tài)反饋陣的步驟：驗證原系統(tǒng)的能控性閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：希望的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：計算,直接求出,a)原系統(tǒng)是能控標(biāo)準(zhǔn)型：b)原系統(tǒng)不是能控型，比較與C）或按能控標(biāo)準(zhǔn)型求P變換陣（）d)寫出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程：,標(biāo)準(zhǔn)型法求出,例1：要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點配置在解：能控標(biāo)準(zhǔn)型能控設(shè),1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,例2:要求通過狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點設(shè)置在解：（1）,原系統(tǒng)能控,(2),狀態(tài)完全能控K陣存在，設(shè),(3),(4)令,(5),1/s,1/s,1/s,2,3,3,-,-,-,+,+,y,v,3,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)有一個極點和零點對消，系統(tǒng)不完全能觀測,4.4狀態(tài)反饋對系統(tǒng)零極點的影響,設(shè)單輸入出系統(tǒng)：已知(A,b,c,d)能控，則經(jīng)過將(A,b,c,d)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型,引入狀態(tài)反饋：,設(shè)：,狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的零點不變，極點可變，可能導(dǎo)致系統(tǒng)零極點對消,具有輸入變換器和串聯(lián)補償器的狀態(tài)反饋極點配置,對于完全能控的系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)系統(tǒng)的極點任意配置，但不能改變極點的個數(shù)，不能改變閉環(huán)系統(tǒng)的零點，并且一旦閉環(huán)系統(tǒng)極點確定，還不能改變閉環(huán)傳遞系數(shù)。系統(tǒng)設(shè)計時，穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能所決定的期望的傳遞函數(shù)與原被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均不相一致時，單狀態(tài)反饋達不到要求。,具有輸入變換器和串聯(lián)補償器的狀態(tài)反饋,Gc(s)是串聯(lián)補償器，F(xiàn)是輸入變換器。,設(shè)計的基本原理：（1）根據(jù)期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)計串聯(lián)補償其Gc(s)-實現(xiàn)要求的極點個數(shù)和要求的閉環(huán)零點；（2）通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)要求的閉環(huán)極點；（3）根據(jù)要求的閉環(huán)傳遞系數(shù)，確定輸入變換器F。,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,設(shè)計串聯(lián)補償器Gc(s)，狀態(tài)反饋陣K和輸入變換器F。,（1）設(shè)計串聯(lián)補償器Gc(s)原系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)為,需要增加一個閉環(huán)極點，由于閉環(huán)極點的位置可由狀態(tài)反饋自由移動，從實現(xiàn)方便，可選擇串聯(lián)補償器的傳遞函數(shù)為,（2）設(shè)計狀態(tài)反饋陣K,（3）確定輸入變換器F,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,其它一些情況：（1）增加零點。,串聯(lián)補償器需準(zhǔn)確提供該零點，同時還需提供一個極點。,（2）移動零點。,串聯(lián)補償器必須把零點從-0.5移動到-3.5。采用極點抵消零點，再增加零點，同時還需提供一個極點。,（3）消除零點。,串聯(lián)補償器采用極點抵消零點，同時還需提供一個極點。,4.5輸出反饋實現(xiàn)極點配置,輸出反饋狀態(tài)微分設(shè)多輸入單輸出系統(tǒng)：,B,A,1/s,C,h,u,y,-,+,定理：由輸出至的反饋任意配置極點的充要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的證明：運用對偶原理：若(A,B,C)能觀，則能控，可由狀態(tài)反饋實現(xiàn)極點配置：可求出h,輸出反饋至參考輸入的極點配置：,B,A,1/s,C,f,u,-,+,引入輸出反饋：對于完全能控的系統(tǒng)，采用輸出線性反饋不一定能任意配置極點。,y,v,例：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：,若采用輸出反饋，是否可使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若采用狀態(tài)反饋，是否可使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。分析系統(tǒng)的能控和能觀測性，,采用輸出到輸入的反饋，則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,不論f取任何值都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,4.6全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計,狀態(tài)觀測器狀態(tài)估計器狀態(tài)重構(gòu)原系統(tǒng)狀態(tài)估計狀態(tài)全維狀態(tài)觀測器,b,I/S,C,A,觀測器,k,-,要求：,狀態(tài)觀測器的構(gòu)成：實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)，即設(shè)計一個觀測器系統(tǒng)，該系統(tǒng)的輸入是原系統(tǒng)的輸入和輸出，它的輸出就是原系統(tǒng)的一個狀態(tài)漸近估計。,原系統(tǒng)：構(gòu)造系統(tǒng)：,盡管兩個系統(tǒng)的參數(shù)，輸入信號都一樣，但系統(tǒng)的初始狀態(tài)不可能完全一樣，,但是可加入輸出量比較的反饋來進行修正，這就可得到所求的觀測狀態(tài)。,全維觀測器的設(shè)計：,-觀測器的系統(tǒng)陣,-觀測器的輸出反饋陣,(2),觀測器存在的條件：,偏差狀態(tài)方程,令,狀態(tài)與估計狀態(tài)的偏差,為使觀測器的響應(yīng)速度大于狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度而希望的特征多項式,當(dāng)輸出反饋起作用，可選擇，使,的選擇：,當(dāng)輸出反饋不起作用,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態(tài)反饋部分,觀測器部分,-,定理：若系統(tǒng)(A,B,C)完全能觀測，則可構(gòu)造能任意配置極點的全維觀測器對原系統(tǒng)狀態(tài)來進行估計：,適當(dāng)選取,關(guān)于觀測器的極點：（1）為了保證估計狀態(tài)逐漸逼近實際狀態(tài)，觀測器的極點均具有負實部；（2）觀測器的極點決定了估計狀態(tài)逼近實際狀態(tài)的速度，實部越負，逼近速度越快；（3）觀測器的極點還決定了觀測器的抗干擾能力，響應(yīng)速度越快，觀測器的頻帶越寬，抗干擾能力越差。通常將觀測器的極點配置得使觀測器的響應(yīng)速度比系統(tǒng)稍快些。,定理：若系統(tǒng)(A,B,C)不完全能觀測，則觀測器存在的充分必要條件是其不能觀測部分是漸近穩(wěn)定的。,對于不完全能觀測的系統(tǒng)按能觀測性分解為能觀測和不能觀測兩部分。能觀測部分極點可以任意配置；不能觀測部分本身極點為負實部。,例：設(shè)計觀測器，使觀測器的極點為：解：,原系統(tǒng)能觀測觀測器的極點可任意配置。,令,又,設(shè),觀測器的狀態(tài)方程,原系統(tǒng),觀測器系統(tǒng),4.7降維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器其維數(shù)和控制系統(tǒng)狀態(tài)個數(shù)一樣。實際上，系統(tǒng)的輸出y是能夠嚴(yán)格測量的，因此，利用系統(tǒng)的輸出量直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)，構(gòu)成降維狀態(tài)觀測器?？勺C明，若系統(tǒng)是能觀測的，且輸出為q維，系統(tǒng)的狀態(tài)為n維，則需要觀測器的狀態(tài)可減為n-q維。,定理：對于完全能觀測系統(tǒng),假設(shè)狀態(tài)x是n維，y是q維的。，則存在n-q維降維觀測器為,證明：,設(shè)非奇異變換陣,線性變換得,將和q個輸出量相當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分離出來.,狀態(tài)能直接由輸出y獲得，只要將n-q個狀態(tài)變量由觀測器來重構(gòu)，構(gòu)造子系統(tǒng)的全維觀測器。,為了消去等式右邊y的導(dǎo)數(shù)項，做變換得,設(shè)計q維的全維狀態(tài)觀測器,經(jīng)變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值可表示為而原系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計值為,狀態(tài)觀測器解決了系統(tǒng)狀態(tài)變量重構(gòu)問題，為實現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。依靠狀態(tài)觀測器所構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖所示。整個系統(tǒng)由三部分組成，原系統(tǒng)，觀測器和狀態(tài)反饋。,4.8帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,狀態(tài)反饋部分,觀測器部分,-,帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,原系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋：全維觀測器：,由上得整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（組合系統(tǒng)，2n個狀態(tài)變量）,或狀態(tài)和狀態(tài)估計差,上述兩系統(tǒng)滿足如下的線性變換,閉環(huán)系統(tǒng)的基本特征1）分離定理：組合系統(tǒng)的特征多項式為,由觀測器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項適合觀測器部分的特征多項式的乘積，而且兩者相互獨立。系統(tǒng)（A，B，C)能控且能觀測，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測器反饋陣H可按各自的要求，獨力進行設(shè)計，成為分離特性。,2.傳遞函數(shù)陣的不變性,帶觀測器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。,3.觀測器反饋和直接反饋的等效性系統(tǒng)能觀測時，選擇H陣可使A-HC的特征值均具有負實部，所以必有，因此，當(dāng)時，必有,這表明，帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，只有當(dāng)，才會與直