必修一函數(shù)及其表示講義.doc

1.2.1 函數(shù)及其表示一、映射根據(jù)題意填空。 （1） （2） （3） （4）映射概念：一般地，設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB是集合A到集合B的映射。如上圖：_是映射。象與原象：給定一個集合A到集合B的映射，且A，B，如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。注意：（1）集合A、B、對應(yīng)關(guān)系是一個整體；（2）對應(yīng)關(guān)系有“方向”，強(qiáng)調(diào)從A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，這個唯一性是構(gòu)成映射的核心；（4）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個，集合B中元素對應(yīng)集合A中的元素可能不止一個。對應(yīng)可以為“一對一”或“多對一”，但不能是“一對多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象。（6）如果A有m個元素，B有n個元素，則從集合A中到集合B的映射（不加限制）有個。例1：設(shè)集合AN，BN，對應(yīng)關(guān)系f：xy2x，則（1）集合A中元素2所對應(yīng)的象是_。（2）集合B中元素2所對對應(yīng)的原象是_。【解析】：（1）4（2）1變式練習(xí)：設(shè)f：AB是從集合A到集合B的映射，AB(x，y)xR，yR，若f：（x，y）（xy，xy）（1）求集合A中元素（1，2）在集合B中對應(yīng)的元素_。（2）求集合B中元素（1，2）在集合A中對應(yīng)的元素_?！窘馕觥浚海?）(3，1) （2）(，)二、函數(shù)（一）、函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：yf(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（集合）；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)xA 叫做函數(shù)的值域（集合）。定義域、值域與對應(yīng)關(guān)系f統(tǒng)稱為函數(shù)的三要素。例2：xyOxyOxyOxyO下面哪一個圖形可以作為函數(shù)的圖象（ ）A B C D【解析】：B變式練習(xí)：設(shè)Ax0x2，By1y2，如下圖，能表示從集合A到集合B的映射是（ ）1212A1212B1212C1212D【解析】：D（二）區(qū)間的概念：設(shè)，是兩個實(shí)數(shù)，而且我們規(guī)定：（1）滿足不等式x的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為，；（2）滿足不等式x的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(，)；（3）滿足不等式x或x的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為左閉右開和左開右閉區(qū)間。定 義符 號定 義名 稱符 號數(shù)軸表示（三）、函數(shù)的定義域：自變量x的取值范圍。1、簡單函數(shù)定義域的類型及求法：（1）分式函數(shù)中分母不等于零；（2）偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0；（3）一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽；（4）y (0且1)，ysin x，ycos x，定義域均為R；（5）ytan x的定義域?yàn)閤xR且xk，kZ；（6）對數(shù)函數(shù)的定義域是真數(shù)大于0；（7）函數(shù)f(x)的定義域與指數(shù)的關(guān)系，對于不同的值，定義域不同。（8）由實(shí)際問題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問題的要求。2、對于抽象函數(shù)定義域的求法：（1）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式g(x) 求出；（2）若已知函數(shù)fg(x)的定義域?yàn)?，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在，上的值域。例3：求下列函數(shù)的定義域。（1）f(x) （2）f(x) （3）f(x)（4）f(x) （6）f(x)【解析】：（1）x （2）x（3）x1且x3（4）x2或x3（5）4x1變式練習(xí)1：設(shè)Axy，Bxy，則AB_。【解析】：變式練習(xí)2：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開。【解析】：(2k，2k)，kZ變式練習(xí)3：設(shè)Axy，Bxy，則AB_。【解析】：A(2k，2k)，B4，3，則AB例4：已知等腰三角形的周長為20，請將底邊y表示為腰x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍?！窘馕觥縴202x，5x105x10例5：（1）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，4，則f (x2)的定義域?yàn)開。（2）已知函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?1，0)，則f(x)的定義域?yàn)開?！窘馕觥浚?）1x24，1x2（2）1x0，22x0，12x11變式練習(xí)：（1）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5，則f (32x)的定義域?yàn)開。（2）已知函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?，3，則f(x2)的定義域?yàn)開。【解析】（1）1，4，（2）0x3，1x14，1x24，則2x1或1x2例6：下列說法中正確的是( )A：yf(x)與yf(t)表示同一個函數(shù)B：yf(x)與yf(x1)不可能是同一函數(shù)C：f(x)1與f(x)x0表示同一函數(shù)D：定義域和值域都相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)【解析】A 變式練習(xí)：判斷下列各組函數(shù)，哪些是同一函數(shù)（1）f(x)x 與g (x) （2）f(x)x 與g(x)（3）f(x)x與g(x) （4）f(x)x2 與g (x)(x1)2（5）f(x)x 與g(x) （6）f(x)與g (x)x1（7）f(x)x22x1 與g(t)t22t1例7：已知函數(shù)f(x)x22x3，求（1）f(1)，f(2)（2）f()，f(1)（3）f(1)，ff(1)，f f(2) （4）若g(x)，則求fg(x) 和 gf(x)變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)，求（1）計(jì)算：f (1)，f (2)，f ()（2）計(jì)算：f (1)f (2)f ()f (3)f ()f (4)f ()f (5)f ()f (6)f ()變式練習(xí)2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)2xy（x、yR），且f(1)2，則f(3)（ ）A：2 B：3 C：6 D：9【解析】：f(1)f(10)f(1)f(0)0，得f(0)0f(0)f(11)f(1)f(1)2，得f(1)0f(2)f(11)f(1)f(1)2，得f(2)2f(3)f(12)f(1)f(2)4，得f(3)6變式練習(xí)3：函數(shù)滿足則常數(shù)c等于（ ）A： 3 B： C： D： 【解析】：x 得 c3 B三、函數(shù)的值域（一）、值域：函數(shù)，我們把函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。（二）、基本函數(shù)的值域：1、一次函數(shù)的值域?yàn)镽； 2、二次函數(shù)；xR的值域 3、反比例函數(shù)的值域?yàn)?、指數(shù)函數(shù)y (0且1)的值域?yàn)?0，)5、對數(shù)函數(shù)y (0且1)的值域?yàn)镽；6、正弦ysin x，余弦函數(shù)ycos x的值域1，1；7、正切函數(shù)ytan x的值域?yàn)镽；8、函數(shù)f(x)的值域與指數(shù)的關(guān)系，對于不同的值，值域不同。（三）求值域的具體方法1、觀察法（直接法）：例8：求函數(shù)f(x)2x1，x1，2，3，4，5【解析】：y3，5，7，9，11變式練習(xí)：求函數(shù)的值域：（1）f(x)1 （2）f(x)【解析】：（1）y1（2）y02、配方法：利用二次函數(shù)求值域【二次函數(shù)的對稱軸x，頂點(diǎn)坐標(biāo)(，)】；例9：求函數(shù)f(x)x26x7，xR的值域解：f(x)x26x7(x3)21616，所以函數(shù)的值域yy16或。變式練習(xí)：求函數(shù)的值域 （1）f(x)x24x3，xR （2）f(x)x26x7，xR（3）f(x)x24x3， x1，3 （4）f(x)x26x7，x1，3（5）設(shè)、是方程4x24mxm2（xR）的兩實(shí)根，當(dāng)m為何值時，有最小值？求出這個最小值。 【解析】：3、分離常數(shù)法：【形如反比例函數(shù)的值域y(k0)，】例10：求函數(shù)f(x)的值域?！窘馕觥浚篺(x)2 y3變式練習(xí)：求函數(shù)f(x)的值域。【解析】：f(x)5 y54、單調(diào)法：先判斷函數(shù)f(x)的區(qū)間上的單調(diào)性，再代入端點(diǎn)求值域的方法。例11：已知函數(shù)f(x)，求函數(shù)的最大值和最小值?！窘馕觥浚汉瘮?shù)f(x)在2，6上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的兩個端點(diǎn)分別取得最大值與最小值，當(dāng)x2函數(shù)取最大值2，當(dāng)x6函數(shù)取最小值0.4。變式練習(xí)1：求函數(shù)f(x)的值域?！窘馕觥浚?，12變式練習(xí)2：求下列函數(shù)的值域（1）f(x) （2）f(x)【解析】：（1）f(x) （2）f(x)5、換元法例12：求函數(shù)f(x)x變式練習(xí)1：分別求下列函數(shù)的值域（1）f(x)2x （2）f(x)2x變式練習(xí)2：分別求下列函數(shù)的值域（1）f(x)63 （2）f(x)sin2x2cosx36、基本不等式法【基本不等式章節(jié)重點(diǎn)講解】例13：求函數(shù)f(x)x(x1)的最小值_。例14：求函數(shù)f(x) x(32x) （0x）的最大值_。7、三角函數(shù)法【三角函數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】8、導(dǎo)數(shù)法【導(dǎo)數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】9、三角代換法(參數(shù)法)【極坐標(biāo)與參數(shù)方程章節(jié)重點(diǎn)講解】四、函數(shù)的表示法（一）表示函數(shù)的方法有：有解析法、列表法和圖象法三種。（1）、解析法： 如果函數(shù)yf(x)（xA）中，f(x)是用代數(shù)式（或解析式）來表達(dá)的，則這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法（公式法）。（2）列表法：通過列出自變量與對應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。（3）、圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法，叫做圖像法。（二）求函數(shù)解析式1、拼湊法：已知f g(x)的解析式，要求f(x)的解析式，從fg(x)的解析式中拼湊出“g(x)”，兩邊用“x”代替“g(x)”即可得到f(x)的解析式。例13：若f()，求f(2)【解析】 f () f (x) f(2) 變式練習(xí)：（1）已知f (x)x2 ，求f (x)（2）已知f (1)x2，求f (x)【解析】：（1）f(x)x22 （2）f (x) x212、換元法：已知函數(shù)f g(x)的解析式，令g(x)t，求f(t)的解析式，用x代替兩邊所有的t，即可。例14：已知函數(shù)f (2x1) x22x，求f (1)【解析】令2x1t，則 x f (t )()22 f (x) f (1) 0變式練習(xí)：（1）已知f (1)x2，求f (x)（2）已知g(x) 12x，f g(x)(x0)，求f ()（3）已知f ()x，則f(1)_。（4）已知f ()4x233，則f(2) f(4) f(8)f(28)的值等于_?！窘馕觥浚海?）f (x) x21 （2）f ()15 （3）f(1)1 （4）令t，則x，則f (t)4233，故f(2) f(4) f(8)f(28) 481232233820083、方程組法：已知f(x)與fg(x)滿足的關(guān)系式，要求f(x)時，用g(x)代替兩邊所有的x，得到關(guān)于f(x)，fg(x)的方程組，解方程組得f(x)。例15：已知函數(shù)f (x)滿足，f(x)2 f ()3x2，求f (x)的解析式?！窘馕觥浚河么鎥得：f ()2 f (x)32 解之得：f (x)x2變式練習(xí)：已知函數(shù)f(x)滿足：f (x)2 f (x)x2x，求函數(shù)f(x)的解析式?！窘馕觥浚篺(x) 4、待定系數(shù)法：（1）、初中所學(xué)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法。一次函數(shù)：f(x)kxb (k0) ； 反比例函數(shù)：f (x)(k0)，二次函數(shù)：（2）若已知f(x)函數(shù)的類型，求f(x)的解析式，可根據(jù)類型設(shè)其解析式，然后確定其系數(shù)即可。例16：已知一次函數(shù)f(x)滿足ff(x)4x3，求f (x)的解析式?！窘馕觥吭O(shè)：f(x)kxb (k0) ff(x) f (kxb) k(kxb)b k2xkbb 4x3 解之得或 f (x)2x1 或 f (x)2x3例17：已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且2 f (1)3 f (2)3，2 f (1)3 f (0)1，求f (x)的解析式?！窘馕觥吭O(shè)：f(x)kxb (k0)，由題意得 解之得： f (x)x變式練習(xí)：（1）已知一次函數(shù)f(x)滿足ff(x)9x8，求f (x)的解析式。（2）已知一次函數(shù)f(x)滿足：3f(x1)2f(x1)2x17，求f (x)的解析式。【解析】（1）f (x)3x2 或 f (x)3x4 （2）f (x)2x7四、分段函數(shù)：在定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系（對應(yīng)法則）不同，這樣函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。由此可知，作分段函數(shù)的圖像時，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出。注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)；（2）在分段時端點(diǎn)不重也不漏；（3）分段函數(shù)的定義域?yàn)槊慷畏秶牟⒓?，值域也是每個區(qū)域內(nèi)值域的并集。（一）分段函數(shù)的圖象例18：作出函數(shù)f(x)x的圖象?！窘馕觥浚篺(x)x 變式練習(xí)：作出分段函數(shù)的圖像（二）分段函數(shù)的求值。例19：已知函數(shù)f (x) 求：（1）f (3) （2）f f (3) （3）f f f (3) 【解析】： （1）32，f (3)32433； （2）32， f f (3) f (3)(3) （3）22， f f ( 3 ) f ()變式練習(xí)1：已知函數(shù)f (x) ，（1）求f f (1) （2）若f() 3，求的值。【解析】：（1）f f (1) 2 （2）或變式練習(xí)2：設(shè)0，函數(shù)f(x)，若f(f()4，則f()等于（）A：8B：4C：2D：1【解析】A課 后 綜 合 練 習(xí)1、如下圖（1）（2）（3）（4）四個圖象各表示兩個變量x，y的對應(yīng)關(guān)系，其中表示y是x的函數(shù)關(guān)系的有_。 【解析】：（2）（3）2、函數(shù)yf(x)的圖象與直線x的交點(diǎn)的個數(shù)為（）A：必有1個B：1個或2個C：至多1個D：可能2個以上【解析】：C3、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_?！窘馕觥浚?4、已知f(x)是定義