不定積分的計算

.,不定積分的計算,一、第一換元積分法,二、第二換元積分法,三、分部積分法,.,問題,？,解決方法,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運算，設(shè)置中間變量.,過程,令,說明結(jié)果正確,一、第一換元積分法,.,該積分法可由下面的逆運算證明,這種積分方法也叫做“湊微分法”。,.,定理1,可導(dǎo),則有換元公式,設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=(x)連續(xù),如何應(yīng)用上述公式來求不定積分?,則使用此公式的關(guān)鍵在于將,化為,的形式，,假設(shè)要求,所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法.,.,例1求,解u=2x+1,du=d(2x+1)=2dx,則,想到公式,注意換回原變量,.,例2求,解：,則,.,這種換元法又稱為湊微分法或配元法,即引進一個新變量以代替原來的變量,對于變量代換熟練以后,可以不寫出中間變量u.,例1求,解法二：,.,例3求,一般地,有,.,例4求,類似,.,例5求,一般地,有,.,例6求,解,說明:,當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)(如正弦函數(shù)和余弦函數(shù))相乘時，拆開奇次項去湊微分.,.,例7求,.,例8求,一般地,有,.,例9求,一般地,有,.,第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，卻沒有一般的法則可循這種方法的特點是湊微分，要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如,等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達式中拼湊出合適的微分因子,.,例10求,.,例11求,.,例12求,.,例13求,.,例14求,.,例15求,.,解,類似可得,例16.求,.,小結(jié),積分常用技巧:,(1)分項積分:,(2)降低冪次:,(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;湊微分法（陪元方法）,(4)巧妙換元或配元。,利用積化和差;分式分項等;,利用倍角公式,如,.,作業(yè),P1551(1)-(18),.,二、第二換元積分法,若,則,若對結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計算，則可知其正確性。,.,例1求,則,于是,.,例2求,解,令,.,說明,當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）,例3求,解,令,.,三、分部積分法,由導(dǎo)數(shù)公式,積分得:,分部積分公式,或,分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題的.,.,例1.求,解:令,則,原式=,分析：被積函數(shù)xlnx是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積,采用分部積分.,.,例2求積分,解（一）,令,顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進行.,解（二）,令,分析：被積函數(shù)xcosx是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積,采用分部積分.,.,(1)v要容易求出;,容易積出.,.,解題技巧：分部積分法求不定積分的關(guān)鍵是要確定u，由計算的經(jīng)驗，可以得出以下順序：“反（反三角函數(shù)）、對（對數(shù)函數(shù)）、冪（冪函數(shù)）、指（指數(shù)函數(shù)）、三（三角函數(shù)）”，當(dāng)兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為u.,即把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按,“反對冪指三”的順序,前者為后者為,.,例3.求,解:令,則,原式=,.,例4求,解設(shè)u=arctanx,v=x,則,.,例5求,解設(shè)u=lnx,dv=dx,則,.,例6求,設(shè)u=x2,則du=2xdx,v=-cosx,于是,解：,.,例7求,上式最后一項正好是所求積分,移到等式左邊然后除以2,可知exsinx的一個原函數(shù)為,.,說明:,分部積分題目的主要類型:,1)直接分部化簡積分;,2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;,(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型要一致,解出積分后加C),.,不定積分計算練習(xí)題,.,.,例1求,解:令,則,故,原式,注意換回原變量,想到公式,.,例2求,解u=2x+1,du=2dx,則,想到公式,.,例3求,例4求,例5求,.,例6求,.,例7求,.,第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代