第七章函數(shù)矩陣與矩陣微分方程

第七章函數(shù)矩陣與矩陣微分方程函數(shù)矩陣定義：以實變量的函數(shù)為元素的矩陣,稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間上的實函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完全相同。例：已知,計算定義：設(shè)為一個階函數(shù)矩陣，如果存在階函數(shù)矩陣使得對于任何都有那么我們稱在區(qū)間是可逆的。,稱是的逆矩陣，一般記為例：已知那么在區(qū)間上是可逆的，其逆為,函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理:階矩陣在區(qū)間上可逆的充分必要條件是在上處處不為零，并且其中為矩陣的伴隨矩陣。定義：區(qū)間上的型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為的秩。,特別地，設(shè)為區(qū)間上的階矩陣函數(shù)，如果的秩為，則稱一個滿秩矩陣。注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。例：已知,那么。于是在任何區(qū)間上的秩都是2。即是滿秩的。但是在上是否可逆，完全依賴于的取值。當(dāng)區(qū)間包含有原點時，在上有零點，從而是不可逆的。函數(shù)矩陣對純量的導(dǎo)數(shù)和積分定義：如果的所有各元素在處有極限，即,其中為固定常數(shù)。則稱在處有極限，且記為其中,如果的各元素在處連續(xù)，即則稱在處連續(xù)，且記為其中,容易驗證下面的等式是成立的：設(shè)則,定義：如果的所有各元素在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，并且記為,函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運算有下列性質(zhì)：是常數(shù)矩陣的充分必要條件是設(shè)均可導(dǎo)，則,設(shè)是的純量函數(shù)，是函數(shù)矩陣，與均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)是常數(shù)時有,(4)設(shè)均可導(dǎo)，且與是可乘的，則因為矩陣沒有交換律，所以,(5)如果與均可導(dǎo)，則(6)設(shè)為矩陣函數(shù)，是的純量函數(shù)，與均可導(dǎo)，則,定義：如果函數(shù)矩陣的所有各元素在上可積，則稱在上可積，且,函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1：已知函數(shù)矩陣試計算,證明：,由于，所以下面求。由伴隨矩陣公式可得,再求,例2：已知函數(shù)矩陣,試求,例3：已知函數(shù)矩陣試求證明：,同樣可以求得,例4：已知函數(shù)矩陣試計算,函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間上的個連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實數(shù)使得對于所有的等式成立，我們稱，在上,線性相關(guān)。,否則就說線性無關(guān)。即如果只有在等式才成立，那么就說線性無關(guān)。定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量記,以為元素的常數(shù)矩陣稱為的Gram矩陣，稱為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量線性無關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。,例：設(shè)則于是的Gram矩陣為,所以故當(dāng)時，在上是線性無關(guān)的。,定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣,是的Wronski矩陣。,其中分別是的一階，二階，階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：設(shè)是的Wronski矩陣。如果在區(qū)間上的某個點，常數(shù)矩陣的秩等于，則向量在上線性無關(guān)。,例：設(shè)則因為的秩為2，所以與線性無關(guān)。,函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用形如,的線性微分方程組在引進(jìn)函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中,上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為,定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為例1：設(shè),求微分方程組滿足初始條件的解。解：首先計算出矩陣函數(shù),由前面的定理可知微分方程組滿足初