第三講分離變量法

.,第三講分離變量法,分離變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普遍方法之一，它適用于各種類型的偏微分方程?；舅枷胧菍⒍嘣瘮?shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題.為此，我們首先復(fù)習(xí)二階線性常微分方程求解公式及傅里葉級(jí)數(shù)理論。,.,一、基礎(chǔ)知識(shí),.,2、傅立葉級(jí)數(shù),若函數(shù)f(t)的周期為T=2L，則傅里葉展開式為,.,狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則1、當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；2、當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。,.,二.有界弦的自由振動(dòng),例1.研究?jī)啥斯潭ň鶆虻淖杂烧駝?dòng).,求解定解問題,特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.,.,設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得,由不恒為零，有：,取參數(shù),.,.,利用邊界條件,.,則,特征值問題,下面分三種情形討論特征值問題的求解,函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)。,.,由邊值條件,(i)方程通解為,(ii)時(shí)，通解,由邊值條件得：,C1=C2=0從而，無意義.,無意義,.,由邊值條件：,從而,即：,(iii）時(shí)，通解,故,而,得,.,再求解T：,其解為,所以,疊加,.,.,代入初始條件得：,將展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得,定解問題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。,.,則無窮級(jí)數(shù)解,為如下混合問題的解,.,解：令,得,化簡(jiǎn):,引入?yún)?shù)得,例2：研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng)問題.,第二類邊界條件,.,得C1=C2=0從而，無意義,分離變量：,時(shí)，,由邊值條件,.,(ii)時(shí),(iii)時(shí),則而,由邊值條件,由邊值條件,從而,.,本征值,本征函數(shù),T的方程,其解為,.,所以,故,代入初始條件:,將展開為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得,.,三.有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,對(duì)于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,其解題過程和波動(dòng)方程的過程類似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.,.,其中為給定的函數(shù).,例齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,.,令,代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得,當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),由邊界條件,.,從而,特征函數(shù)為：,.,T的方程,解得,所以,.,將疊加,利用初始條件確定系數(shù),將初始條件,代入上式，得,所以系數(shù),.,分離變量流程圖,.,例細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題,長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。,解：定解問題為,.,設(shè)且,得本征值問題,.,當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),由得,由得故,即,令,有,函數(shù)方程,.,圖1,由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無窮多個(gè)實(shí)根,故本征值為：,.,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù),的方程：,解為,故,可以證明,函數(shù)系在上正交,由初始條件得,.,（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解,（三）將特征值代入另一常微分方程，得到,（四）將疊加，利用初始條件確定系數(shù),（一）將偏微分方程化為常微分方程,（方程齊次）,分離變量法解題步驟