第二節(jié)數(shù)字濾波

.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,一、數(shù)字濾波器基本概念,濾波器的作用,高速繼電保護(hù)裝置都工作在故障發(fā)生后的最初瞬變過程中，這時的電壓和電流信號由于混有衰減直流分量和復(fù)雜的諧波成分而發(fā)生嚴(yán)重的畸變。目前大多數(shù)保護(hù)裝置的原理是建立在反映正弦基波或某些整倍數(shù)諧波基礎(chǔ)上，所以濾波器一直是繼電保護(hù)裝置的關(guān)鍵器件。目前所使用的微機(jī)繼電保護(hù)幾乎都采用了數(shù)字濾波器。,濾波器,模擬濾波器,數(shù)字式濾波器,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),數(shù)字濾波器,2.2數(shù)字濾波器,數(shù)字濾波器是將輸入模擬信號x(t)經(jīng)過采樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換變成數(shù)字量后，進(jìn)行某種數(shù)學(xué)運(yùn)算（所謂數(shù)字濾波器通常是指一種程序或算法（也可以用硬件實現(xiàn)）去掉信號中的無用成分，然后再經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換得到模擬量輸出y(t)。,（1）濾波精度高，具有高度的靈活性通過改變?yōu)V波算法或某些參數(shù)，可以非常靈活地調(diào)整濾波特性，易于適應(yīng)不同應(yīng)用場合的要求。,（2）穩(wěn)定性和可靠性高模擬器件受環(huán)境影響較大，而數(shù)字系統(tǒng)受影響要小得多。,數(shù)字濾波器的優(yōu)點：,（3）便于分時復(fù)用采用模擬濾波器時，每一個輸入通道都需要一個濾波器，而數(shù)字濾波器通過分時復(fù)用，一套數(shù)字濾波器就可以完成所有通道的濾波任務(wù)，保證了各通道的濾波特性完全一致。,按頻率特性分類,帶阻濾波器,高通濾波器,低通濾波器,帶通濾波器,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),按脈沖響應(yīng)時間的不同分類,2.2數(shù)字濾波器,按運(yùn)算結(jié)構(gòu)不同分類,無限長沖擊響應(yīng)濾波器（IIR）,有限長脈沖響應(yīng)濾波器（FIR）,IIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)包括無限個采樣值，h(n)在區(qū)間內(nèi)有無限個不等于零的采樣值。,FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)，在區(qū)間內(nèi)有有限個采樣點，n1和n2是兩個有限值。,非遞歸型,遞歸型,數(shù)字濾波器的運(yùn)算過程可用下述常系數(shù)線性差分方程來描述,通過選擇濾波器系數(shù)ai和bj，可以濾除輸入信號序列x(n)中的某些無用頻率成分。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,當(dāng)bi全為零時，上式稱為非遞歸濾波器，非遞歸濾波器，即當(dāng)前的輸出y(n)只與過去和當(dāng)前的輸入值x(n-i)有關(guān)，而與過去的輸出值y(n-j)無關(guān)。,只含有前饋通道而無反饋通道,如果系數(shù)bj不全為0，即當(dāng)前的輸出不僅與過去和當(dāng)前的輸入有關(guān)，還與過去的輸出有關(guān)，這就是遞歸型濾波器。,含有反饋通道,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),二、簡單濾波器及級聯(lián)濾波器,2.2數(shù)字濾波器,最簡單的數(shù)字濾波器是利用加、減法運(yùn)算構(gòu)成的線性濾波器。這種濾波器是假定輸入信號由穩(wěn)態(tài)基波、穩(wěn)態(tài)整次諧波和穩(wěn)態(tài)直流所組成，不考慮暫態(tài)過程和其它高頻成分。所以這種濾波比較粗糙，但運(yùn)算量較小。一般用于速度較低的保護(hù)中。如過負(fù)荷保護(hù)、過電流保護(hù)和一些后備保護(hù)。,減法濾波器（差分濾波器）,差分方程為,y(n)=x(n)-x(n-k),z變換,Y(z)=X(z)(1z-k),轉(zhuǎn)移函數(shù),將代入得到它的幅頻特性為,通常令fs=Nf1，N=1，2，即每基頻周期內(nèi)有N點采樣。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,如果想消除m次諧波，確定參數(shù)k（濾波器的階次）值，則應(yīng)當(dāng)使時,p=1，2，.,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,例1已知采樣頻率fs=600Hz，基波頻率f1=50Hz。則,（1）要消除偶次諧波，取m=2p（p=0，1，2，.），代入上式得k=6，可消去直流成分及2、4、6等偶次諧波。濾波器的差分方程為,y(n)=x(n)x(n-6),（2）要消除三次諧波及其整數(shù)倍的諧波，則可取m=3p，得k=4。濾波器的差分方程為：y(n)=x(n)x(x-4)。,（3）要消除直流、工頻及其所有整數(shù)倍的諧波分量，可取m=p，k=12。,在電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時，該濾波器沒有輸出；在系統(tǒng)發(fā)生故障后的一個基波周期內(nèi)，它只輸出故障分量，所以可以用來使實現(xiàn)啟動元件，選相元件及其它利用故障分量原理構(gòu)成的保護(hù)。,.,取前6Ts時刻的采樣值,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),減法濾波器程序入,取當(dāng)前采樣值,濾波結(jié)果存入RAM區(qū),返回,減法程序流程,2.2數(shù)字濾波器,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,2加法濾波器,差分方程為,y(n)=x(n)+x(n-k),z變換為,H(z)=1+z-k,幅頻特性為,p=0，1，2，,如果已知k，可得濾除的諧波次數(shù),.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),例2已知采樣頻率fs=600Hz，基波頻率f1=50Hz，則N=fs/f1=12，得,2.2數(shù)字濾波器,要消除1、3、5等奇次諧波，可令m=2p+1，得k=6，這種濾波器也不輸出基波分量。,要消除3、9、15等次諧波，可令m=3(2p+1)，得k=2。,y(n)=x(n)+x(n-6),y(n)=x(n)+x(n-2),.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,3積分濾波器,差分方程為,y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-k),z變換為,H(z)=1+z-1+z-2+z-k=,幅頻特性為,p=0，1，2，,如果已知k，可得濾除的諧波次數(shù),若p取0時，m也為0，但幅頻特性不為0，所以不論fs、k取何值，都不能濾除直流分量（具有低通特性）。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),頻率特性：,2.2數(shù)字濾波器,例3已知fs=600Hz，代入上式得,（1）要濾除偶次諧波，可令m=2p，得k=5。,y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-5),濾波器的差分方程為,（2）若要濾除3的整數(shù)倍諧波，可令m=3p，得k=3，濾波器的差分方程為,y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3),.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,4加減法濾波器,差分方程為,z變換為,（1）k為奇數(shù)時的幅頻特性,p=0，1，2，,如果已知k，可得濾除的諧波次數(shù),.,可見這種濾波器可以濾除N/(k+1)整數(shù)倍次諧波。當(dāng)p=0，m=0時，幅頻特性也為零，即無論k、fs取何值，都能濾除直流分量。它的幅頻特性曲線見圖,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,例4：已知fs=600Hz，則,若要消除3的整數(shù)倍諧波，可令m=3p，可得k=3。,若要消除偶次諧波，可令m=2p，得k=5。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,（2）k為偶數(shù)時的幅頻特性,p=0，1，2，,如果已知k，可得濾除的諧波次數(shù),.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,例5：已知fs=600Hz，則,若令m=4p+2，則可濾除2、6、10等次諧波，代入上式得k=2。,5簡單濾波單元的組合,一個由m個簡單濾波單元組成的級聯(lián)濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為,幅頻特性,相頻特性,時延特性,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),例6設(shè)采樣頻率為fs=600Hz，要求完全濾除直流分量和2、3、4、6次諧波分量。,2.2數(shù)字濾波器,解：采用兩個減法濾波（帶通）單元和兩個積分濾波（低通),單元級聯(lián)：,H1(z)=(1-z-2)，0、6次,H2(z)=(1-z-6)，0、2、4次,H3(z)=(1+z-1+z-2)，4次,H4(z)=(1+z-1+z-2+z-3)3、6次,減法濾波單元可濾除直流分量和2、4、6次諧波分量，兩個積分單元可濾除3、4、6次諧波，其幅頻特性曲線如圖所示。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),例7有一個50Hz基頻帶通濾波器，分別由下列濾波單元組成,2.2數(shù)字濾波器,一個減法濾波器,H1(z)=1-z-6,兩個積分濾波器,采樣頻率為fs=1200Hz。試分析該濾波器能完全濾除多少次諧波？,解：濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為,H(z)=H1(z)H2(z)H3(z)=(1-z-6)(1-z-8)(1-z-10)/(1-z-1)2,幅頻特性,當(dāng)fs=1200Hz時，fs=24f1，Ts=1/（24f1），上式可寫成,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,幅頻特性曲線,當(dāng)m=4p時，減法濾波器可濾除直流分量和4、8、12次諧波。,當(dāng)m=3p時，第一個積分濾波器H2(z)可濾除第3、6、9次諧波。,當(dāng)m=2.4p時，第二個積分濾波器H3(z)可濾除2.4、4.8、7.2、9.6次諧波。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,三、用零極點配置法設(shè)計數(shù)字濾波器,這是通過直接在Z平面上合理的設(shè)置零點和極點，以得到符合要求的頻率響應(yīng)特性和時延特性。,（一）零、極點對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響,N階數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移傳遞函數(shù)的一般形式為,式中，ci、di分別為Z平面上的零點、極點。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,為零向量，,為極向量。,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,幅頻特性,相頻特性,零、極點位置對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響,極點的影響,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),零點的影響,2.2數(shù)字濾波器,例題：如圖所示為離散控制系統(tǒng)框圖。試分析其穩(wěn)定性。其中采樣周期T=1s，K=1，H(s)=1。,解：此系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,其中,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,.,第二章微型計算機(jī)繼電保護(hù)的數(shù)字信號基礎(chǔ),2.2數(shù)字濾波器,所以,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,當(dāng)K=1時，,解得,.,2.2數(shù)字濾波器,（二）用零、極點配置法設(shè)計數(shù)字濾波器,1零、極點配置法,因為數(shù)字濾波器的差分方程系數(shù)必須是實數(shù)，這就要求數(shù)字濾波器的脈沖傳函H(z)的零、極點必須是以共軛的形式成對出現(xiàn)；從穩(wěn)定性考慮，要求極點的幅值必須小于1，即要位于單位圓內(nèi)。從提高濾波效果看，系統(tǒng)的零點設(shè)置在單位圓上比較好。,H(z)零極點配置及與濾波效果的關(guān)系：,1）如果在單位圓上設(shè)置一對共軛復(fù)零點，如，,則數(shù)字濾波器的頻率特性將會在f=f1處出現(xiàn)零傳輸，即可以完全濾除輸入信號中的f1頻率分量。,2）如果在單位圓內(nèi)設(shè)置一對共軛復(fù)極點，如，,則數(shù)字濾波器的頻率特性將會在f=f2處出現(xiàn)峰值，而且r（極點到圓心的距離，稱為極徑）越接近1（即極點越接近圓上），峰值越尖銳，如圖所示。說明數(shù)字濾波器對頻率為f2的信號分量具有提取作用。,.,2.2數(shù)字濾波器,簡單零、極點的頻率響應(yīng),零點的配置：,如果要求數(shù)字濾波器濾除輸入信號中的第k次諧波分量，則應(yīng)該在Z平面上處設(shè)置零點（其中，r0，Ts為采樣周期，k=fi/f1），若z是復(fù)數(shù)，為使脈沖傳函的系數(shù)為實數(shù)，該點應(yīng)是一對共軛復(fù)數(shù)，因此脈沖傳函中的相應(yīng)因子應(yīng)設(shè)置為：,.,2.2數(shù)字濾波器,若要完全濾除k次諧波，可令r=1，即在單位圓上設(shè)置共軛零點。當(dāng)零點設(shè)置在正實軸上時，有k=0（欲濾除直流），對應(yīng)的傳遞函數(shù)為,濾除直流,當(dāng)零點位于負(fù)實軸上時，對應(yīng)的傳函為,極點的配置：,這里討論的是單一濾除某一次諧波時，數(shù)字濾波器的脈沖傳函H(z)中的零點配置方法。而它的極點配置方法與零點配置方法類似，如果要提取輸入信號中的第k次諧波分量，則極點的配置應(yīng)為,，,在H(z)中的因子是,為保證數(shù)字濾波器的穩(wěn)定性，r的取值小于1。,.,2.2數(shù)字濾波器,綜上所述，零極點配置法設(shè)計數(shù)字濾波器，實質(zhì)上是根據(jù)工程的需要，提出要濾除的或要提取的諧波頻率kf1來選擇數(shù)字濾波器的脈沖傳函H(z)的零極點，根據(jù)來構(gòu)造數(shù)字濾波器的H(z)中的因子表達(dá)式Hk(z)，然后再利用H(z)與對應(yīng)的時域差分方程來實現(xiàn)滿足要求的數(shù)字濾波器算法。,.,2.2數(shù)字濾波器,2零點和極點配置方法的應(yīng)用,（1）全零點數(shù)字濾波器,在H(z)中只含零點，不含極點的濾波器。它屬于一種非遞歸型數(shù)字濾波器。,設(shè)采樣頻率fs是輸入信號基波頻率f1的N倍，且N為偶數(shù)?，F(xiàn)要濾除K=m以外的整數(shù)次諧波，為滿足這一要求，數(shù)字濾波器的零點應(yīng)選為Z平面單位圓上的一些點r=1，則全零點數(shù)字濾波器的脈沖傳函應(yīng)選為各零點因子脈沖傳函之積（相當(dāng)于級聯(lián)），即,，,式中A為放大倍數(shù)。幅頻特性為,.,2.2數(shù)字濾波器,如：設(shè)N=12，現(xiàn)要求保留基波，完全濾除直流和其他整數(shù)次諧波分量，則數(shù)字濾波器的脈沖傳函為,將上式完全展開成關(guān)于z的多項式，再根據(jù)時域差分方程與H(z)之間的對應(yīng)關(guān)系，即可求出濾波器的時域差分方程，即時域算法。下表給出了濾除直流分量直到12次諧波分量的脈沖傳函H(z)中所對應(yīng)因子的表達(dá)式。,.,2.2數(shù)字濾波器,可見，有一些脈沖傳函是相同的，它們是關(guān)于6次諧波濾除因子對稱的。這是由于只要諧波頻率k1f1與k2f2所對應(yīng)的脈沖傳函零點與是共軛復(fù)數(shù)關(guān)系，濾除k1次和k2次諧波的脈沖傳函因子Hk1(z)和Hk2(z)就是相同的。同時也說明了同一個數(shù)字濾波器可以濾除兩種不同頻率的諧波信號。,在實際工程中，當(dāng)需要同時濾除第k次和k+1次諧波信號時，可以將這兩個諧波濾波器的脈沖傳函相乘，就得到了所要設(shè)計的數(shù)字濾波器的脈沖傳函H(z)，即,H(z)=Hk(z)Hk+1(z),例設(shè)采樣頻率fs=600Hz，要求保留基波，完全濾除直流分量和其他諧波分量（最高k=5次）。試用零點配置法設(shè)計數(shù)字濾波器。,解根據(jù)全零點數(shù)字濾波器的設(shè)計方法得,H0(z)=1-z-1，H2(z)=1-z-1+z-2，H3(z)=1+z-2H4(z)=1+z-1+z-2，H5(z)=1+1.732z-1+z-2,.,2.2數(shù)字濾波器,其脈沖傳函為,差分方程為,由于需要濾除的諧波次數(shù)較多，所以這個濾波器的數(shù)據(jù)窗較長（10個采樣值）。,特點：在輸入信號中，只含有直流分量、基波和有限個基波頻率整數(shù)倍頻的諧波分量時，采用這種方法提取基波分量或某一個基波整數(shù)倍頻的諧波分量是一個非常有實用價值的數(shù)字濾波算法。但當(dāng)要濾除的諧波分量的個數(shù)較多時，濾波器的數(shù)據(jù)量用的較多，使濾波器的響應(yīng)時間增加。,.,2.2數(shù)字濾波器,（2）狹窄帶通濾波器,由前面分析可知，全零點數(shù)字濾波器能夠濾除輸入信號中不需要的基波及各整數(shù)倍次諧波分量，但是在輸入信號中一旦出現(xiàn)了無法預(yù)知的非整數(shù)倍頻的諧波成分時，這種濾波器的輸出信號中將含有無用的諧波成分。,為了抑制這種