第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布

.,第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布,.,內(nèi)容,第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義第二節(jié)多元正態(tài)的性質(zhì)第三節(jié)多元正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)第四節(jié)多元正態(tài)的樣本分布,.,第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義,一、標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布,則,設(shè)隨機(jī)向量,其分量獨(dú)立同分布于,密度函數(shù)為,.,其中的,均值為,.,協(xié)方差矩陣為,.,二、一般的正態(tài)分布,設(shè)隨機(jī)向量,若其的密度函數(shù)為,.,其中的均值為,協(xié)方差為,稱服從均值為E(X)，協(xié)方差為的正態(tài)分布。,.,三、一般的p維正態(tài)和p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系,設(shè)，其中是一個(gè)階非退化矩陣，服從維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則,服從p維正態(tài)分布，且均值向量為,.,x的協(xié)方差矩陣為,.,其密度函數(shù)為,.,若，則1存在，是非退化元正態(tài)分布；,若，則不存在，是退化元正態(tài)分布，不存在密度函數(shù)。,值得注意,設(shè)隨機(jī)向量，是常數(shù)向量，是一個(gè)的常數(shù)矩陣，則服從正態(tài)分布，記為，其中,.,例：設(shè)隨機(jī)向量，則的分布是退化的三元正態(tài)分布。,.,第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì),二、x是一個(gè)服從p維正態(tài)分布，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何線性函數(shù)服從一元正態(tài)分布。,一、多元正態(tài)分布的特征函數(shù),三、X服從維正態(tài)分布，則，其中為常數(shù)矩陣，為維的常數(shù)向量，則,.,四、設(shè)，則的任何子向量也服從多元正態(tài)分布，其均值為的相應(yīng)子向量，協(xié)方差為的相應(yīng)子矩陣。,.,五、設(shè),，相互獨(dú)立，且，則對(duì)任意個(gè)常數(shù)，有,.,六、，則分布。,.,七、將作如下的分塊：子向量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。證：必要性,.,.,.,.,八、設(shè)，其中是階矩陣，是階矩陣，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。,.,九、設(shè)，其中是階矩陣，是階矩陣，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。,同上可證。,.,十、將作如下的分塊：,則與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立。,證：,.,.,則給定時(shí)的條件分布為，其中,十一、將作如下的分塊：,為給定的條件下數(shù)學(xué)期望。,.,十二、偏相關(guān)系數(shù),矩陣稱為條件協(xié)方差矩陣，它的元素用表示。是當(dāng)給定的條件下，與（）的偏相關(guān)系數(shù)，定義為,它度量了在值給定的條件下，與（）相關(guān)性的強(qiáng)弱。,.,例設(shè)XN6(,)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。,.,.,求x7給定的條件下，x1，x6的偏協(xié)方差矩陣,.,.,.,.,.,.,3實(shí)例分析及SAS/CORR,例1今對(duì)31人進(jìn)行人體測(cè)試，考察的7個(gè)指標(biāo)是：x1：年齡x2：體重x3：肺活量x4：1.5英里跑所需時(shí)間x5：休息時(shí)的脈搏x6：跑步時(shí)的脈搏x7：跑步時(shí)記錄的最大的脈搏對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行一些相關(guān)分析。,.,SAS的程序dataa;inputx1-x7;cards;4489.4744.60911.37621781824075.0745.31310.07621851853889.0249.8749.2255178180474861.2447.92011.50521701765282.7847.46710.5053170172;proccorrnosimplcov;varx1;withx7;partialx3;run;,.,proccorrnosimplcov;分析相關(guān)系數(shù)nosimpl是要求不打印描述性統(tǒng)計(jì)量。,varx1;指定分析相關(guān)系數(shù)的變量。,withx7;with指定變量與var指定的變量之間的相關(guān)系數(shù)。,partialx3;當(dāng)指定的變量給定時(shí)，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。,.,.,在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時(shí)記錄的最大脈搏成負(fù)相關(guān),1PartialVariables:x31WithVariables:x71Variables:x1PartialCovarianceMatrix,DF=29x1x7-24.95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients,N=31Prob|r|underH0:PartialRho=0 x1x7-0.545730.0018,.,第三節(jié)極大似然估計(jì)及其性質(zhì),.,則總體的密度函數(shù)為,X1，X2，Xn是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，滿足X1，X2，Xn相互獨(dú)立，且同正態(tài)分布,稱X為樣本數(shù)據(jù)矩陣。,一、樣本的聯(lián)合密度函數(shù),.,為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。,.,所以，似然函數(shù)還可以表示為：,.,二、和的極大似然估計(jì),所謂和的極大似然估計(jì)，是尋找和滿足條件,.,令,.,可以證明和的極大似然估計(jì)為,.,三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì),（一）極大似然估計(jì)的不變性質(zhì)設(shè)是的極大似然估計(jì)是，而且變換f()是一一對(duì)應(yīng)的，則f()的極大似然估計(jì)就是,.,（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì),其中Sij是樣本協(xié)方差矩陣S中相應(yīng)位置上的元素,.,（三）偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì),則偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì),其中,，,。,.,（四）復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì),將x和S作如下的分塊,.,的線性函數(shù)為,.,定義(復(fù)相關(guān)系數(shù)),一個(gè)變量y與一組變量X1,X2,XK的負(fù)相關(guān)系數(shù)是以y為被解釋變量，X1,X2,XK為自變量的回歸方程的可決系數(shù)。,.,為了研究四川經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響因素，欲建立四川省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型。主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)采用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率（Y），投資指標(biāo)資本形成總額增長(zhǎng)率（X1），人口指標(biāo)用自然增長(zhǎng)率（X2），就業(yè)指標(biāo)失業(yè)率（X3）和消費(fèi)指標(biāo)居民消費(fèi)水平增長(zhǎng)率（X4）。分析指標(biāo)之間的關(guān)系。,.,dataa;inputyx1-x4;cards;數(shù)據(jù)行;proccorrnosimplnoprobcov;run;,.,prociml;sigma22=76.586056192.59407381-3.4580761949.03157071,2.594073815.14447619-0.782523814.24046429,-3.45807619-0.782523813.63747619-2.32063571,49.031570714.24046429-2.3206357153.90793143;sigma12=57.790535244.91975476-2.9884452452.41117214;fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690;printfcorr;procreg;modely=x1-x4;run;,.,AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePrFModel41089.28592272.32148501.20FWilksLambda0.545616206.874330.0004PillaisTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004RoysGreatestRoot0.832790156.874330.0004直接檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值向量是否相等。,.,DependentVariable:x1（對(duì)X1進(jìn)行的檢驗(yàn)）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.874667910.8746679116.900.0002Error361.863008400.05175023CorrectedTotal372.73767632X1在類(lèi)間有顯著性差異。,DependentVariable:x2（對(duì)X2進(jìn)行的檢驗(yàn)）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.083120770.083120771.950.1710Error361.533700280.04260279CorrectedTotal371.61682105X2在類(lèi)間沒(méi)有顯著性差異。,.,DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢驗(yàn)）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel116.4695844316.4695844321.45FModel10.001126940.001126940.030.8643Error361.369780950.03804947CorrectedTotal371.37090789X4在類(lèi)間沒(méi)有顯著性差異。,.,第四節(jié)抽樣分布,一、維希特（Wishart）,1、定義隨機(jī)矩陣的分布,矩陣中的每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量，則矩陣X的分布是其列向量拉長(zhǎng)，組成一個(gè)長(zhǎng)向量,.,特別當(dāng)是階對(duì)稱陣，則的分布為的下三角部分組成的長(zhǎng)向量,在一元正態(tài)隨機(jī)變量中，我們?cè)?jīng)討論了分布，在多元正態(tài)隨機(jī)變量也有類(lèi)似的樣本分布。維希特分布（Wishart）相當(dāng)于一元統(tǒng)計(jì)中的分布。,.,定義維希特（Wishart）分布的統(tǒng)計(jì)量,設(shè)個(gè)隨機(jī)向量,獨(dú)立同分布于，則隨機(jī)矩陣,.,服從自由度為的非中心維斯特分布，記為。,.,定理1：若，且，則的分布密度為特別，當(dāng)和時(shí)，服從分布。,維希特（Wishart）分布的密度函數(shù),.,二、維斯特(Wishart)分布有如下的性質(zhì)：,（1）若A1和A2獨(dú)立，其分布分別和，則的分布為，即維斯特分布有可加性。,（2），C為mp階的矩陣，則的分布為分布。,.,三、抽樣分布,定理1：設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自多元正態(tài)總體Np(,)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有,則有,.,證明：,獨(dú)立,.,.,.,故,且相互獨(dú)立。,.,獨(dú)立,.,當(dāng)，時(shí)，由卡方分布的定義可知,可見(jiàn)維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣。,服從自由度為的卡方分布。,定理2設(shè)獨(dú)立同正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量,.,證：,由于樣本均值,相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和為自由度為的卡方分布。,.,在一元正態(tài)的情形下，我們有樣本的統(tǒng)計(jì)量當(dāng)總體的方差未知時(shí)，我們必須用樣本的方差來(lái)代替總體的方差，則那么在多元正態(tài)的情形下，是否有相同的問(wèn)題呢？回答時(shí)肯定的。,.,定義：,稱T2服從參數(shù)為P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，當(dāng)。,當(dāng)時(shí)，服從自由度為n的中心霍特林分布，記為。,.,定理：,.,定理：設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有,.,定理：設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，,.,設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨