控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ppt精選課件

工程控制原理2.數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),主講：周曉君辦公室：機(jī)械副樓209-2室電子郵件：sdzhouxj辦公電話：56331523,建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。,2.數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1.1數(shù)學(xué)模型對于一個(gè)復(fù)雜的物理系統(tǒng)，為了對系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行分析和綜合，必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述該系統(tǒng)，這個(gè)表達(dá)式稱為該系統(tǒng)的“數(shù)學(xué)模型”。由于動態(tài)過程中有關(guān)物理量都是時(shí)間的函數(shù)，所以，通常用微分方程來描述系統(tǒng)。,2.數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù),2.1.1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的一個(gè)或一組方程式。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)）時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不管各變量隨時(shí)間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)。因此，靜態(tài)模型都是代數(shù)式，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1.1數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學(xué)模型。對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價(jià)的。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1.2建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法物理系統(tǒng)往往比較復(fù)雜，因而必須作一些理想化的假設(shè)，獲得簡化的數(shù)學(xué)模型。理論分析法（解析法）：對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，依據(jù)系統(tǒng)本身所遵循的有關(guān)定律列寫數(shù)學(xué)表達(dá)式，并在列寫過程中進(jìn)行必要的簡化。實(shí)驗(yàn)研究法根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應(yīng)或其它實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型。即人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)。對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，需要通過理論分析與實(shí)驗(yàn)研究結(jié)合起來，才能獲得適用的數(shù)學(xué)模型。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)(1)線性系統(tǒng)若描述系統(tǒng)的微分方程是變量及其導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則此系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的線性性質(zhì)是指系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性。疊加性：指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。齊次性：指當(dāng)輸入信號乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,(2)非線性系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述。非線性系統(tǒng)不滿足疊加性和齊次性。系統(tǒng)中只要含有一個(gè)非線性性質(zhì)的元件，就成為一個(gè)非線性系統(tǒng)。許多機(jī)械系統(tǒng)各物理量之間的關(guān)系都是非線性的，即使對所謂的線性系統(tǒng)來說，也只是在一定的工作范圍內(nèi)保持線性關(guān)系。因此，研究機(jī)械系統(tǒng)的某些動態(tài)特性時(shí)，必須考慮系統(tǒng)中的非線性特征。,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),例,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),(2)非線性系統(tǒng)許多機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓及氣動系統(tǒng)等，其物理量之間都包含有非線性關(guān)系。例如：在大輸入信號作用下，元件的輸出量可能飽和(即飽和非線性)；在小信號輸入下，元件沒有輸出量(即死區(qū)非線性)；某些元件中可能存在著平方非線性關(guān)系。如下圖所示。,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),(2)非線性系統(tǒng)是否線性元件的判別：元件的輸出與輸入間關(guān)系為一次冪函數(shù)線性元件二次或高次冪函數(shù)、周期函數(shù)或超越函數(shù)非線性元件判別系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型微分方程是否非線性：其中的函數(shù)出現(xiàn)高于一次的項(xiàng)，或者函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是輸出量的函數(shù)。,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),機(jī)械系統(tǒng)中常見的一些非線性問題,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),傳動間隙：由齒輪及絲杠螺母副組成的機(jī)床進(jìn)給傳動系統(tǒng)中，經(jīng)常存在有傳動間隙，使輸入轉(zhuǎn)角xi和輸出位移xo之間有滯環(huán)關(guān)系。,死區(qū)：在死區(qū)范圍內(nèi)，系統(tǒng)有輸入而沒有輸出。例如：負(fù)開口的液壓伺服閥,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),摩擦力：機(jī)械滑動運(yùn)動副，如：機(jī)床滑動導(dǎo)軌運(yùn)動副、主軸套筒運(yùn)動副、活塞液壓缸運(yùn)動副等，在運(yùn)動中都存在摩擦力。右圖為干摩擦力（也稱庫倫摩擦力，其大小為f）與運(yùn)動速度dx/dt的關(guān)系。摩擦力f總是與速度dx/dt的方向相反。,2.1.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),摩擦力：實(shí)際運(yùn)動副中的摩擦力與運(yùn)動速度的大小有關(guān)，如右圖。F與dx/dt的曲線大致分為三個(gè)階段：（F與dx/dt的方向相反）,起動時(shí)的靜動摩擦力；（摩擦力數(shù)值較大）低速時(shí)的混合摩擦力；（摩擦力呈下降特性）粘性摩擦力。（摩擦力隨速度的增加而增加）,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化工程上，絕對的線性元件和線性系統(tǒng)是不存在的；數(shù)學(xué)上，非線性微分方程的求解困難，目前只能采用數(shù)值解法，但也存在較大的數(shù)值誤差。為了解決工程實(shí)際問題，必須對非線性微分方程進(jìn)行線性化處理。本質(zhì)非線性性質(zhì)：在工作點(diǎn)附近存在著不連續(xù)直線、跳躍、折線，以及非單值關(guān)系等嚴(yán)重非線性性質(zhì)的元件或系統(tǒng)。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,對于非本質(zhì)非線性元件或系統(tǒng)，可以在工作點(diǎn)附近用切線來替代函數(shù)關(guān)系，這就是非線性數(shù)學(xué)模型的線性化方法之一（微小偏差法）。系統(tǒng)正常工作時(shí)，通常都有一個(gè)預(yù)定工作點(diǎn)，即系統(tǒng)處于某一平衡位置，對于自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)或隨動系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的工作狀態(tài)稍一偏離此平衡位置，整個(gè)系統(tǒng)就會立即作出反應(yīng)，并力圖恢復(fù)原來的平衡位置。,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或微小偏差法。在預(yù)定工作點(diǎn)處一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一斷直線來代替。一個(gè)變量的非線性函數(shù)f(x)，在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點(diǎn)附件用Taylor級數(shù)展開,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,增量較小時(shí)，可略去其二次以上高次冪項(xiàng)，則有,兩個(gè)變量的非線性函數(shù)f(x,y)，在(x0,y0)處連續(xù)可微，則也可將它在該點(diǎn)附件用Taylor級數(shù)展開,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,增量較小時(shí)，可略去其二次以上高次冪項(xiàng)，則有,單變量非線性函數(shù)f(x)的線性化數(shù)學(xué)模型為,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,雙變量非線性函數(shù)f(x,y)的線性化數(shù)學(xué)模型為,非線性系統(tǒng)線性化時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)必須明確系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)的工作點(diǎn)，因?yàn)椴煌ぷ鼽c(diǎn)所得到線性化方程的系數(shù)不同，即：非線性曲線上各點(diǎn)的斜率（導(dǎo)數(shù)）是不同的；(2)如果變量在較大范圍內(nèi)變化，則用這種線性化方法建立的數(shù)學(xué)模型，除工作點(diǎn)外的其他工況必定存在較大的誤差。因此非線性系統(tǒng)線性化是有條件的：變量偏離預(yù)定工作點(diǎn)很小。(3)對于某些典型的本質(zhì)非線性，如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的，則在不連續(xù)點(diǎn)附近不能得到收斂的Taylor級數(shù)，此時(shí)就不能線性化。(4)線性化后的微分方程是以增量為基礎(chǔ)的增量方程。,2.1.4系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,試把非線性方程zxy在區(qū)域5x7、10y12上線性化。求用線性化方程來計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研究的區(qū)域?yàn)?x7、10y12，故選擇工作點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66。求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)（x0,y0,z0）處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，則有,例題,因此，線性化方程式為：,例題,當(dāng)x=5，y=10時(shí)，z的精確值為：zxy=510=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y-66=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)為,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立建立微分方程的步驟是：1)分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2)從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理、化學(xué)、生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級對前一級的影響。3)將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：機(jī)械系統(tǒng)中部件的運(yùn)動有直線和轉(zhuǎn)動兩種。機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素。列寫其微分方程通常用達(dá)朗貝爾原理。即：作用于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的合力，同質(zhì)點(diǎn)慣性力形成平衡力系。質(zhì)量：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：彈簧：彈簧各點(diǎn)受力相同，但各點(diǎn)的變形量不同。,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：阻尼：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例1,直線運(yùn)動（機(jī)械平移系統(tǒng)）,靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例1,直線運(yùn)動（機(jī)械平移系統(tǒng)）,式中：m、D、k通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移運(yùn)動系統(tǒng)可以由上述二階常系數(shù)微分方程描述。,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例2,彈簧-阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)運(yùn)動方程為一階常系數(shù)微分方程。,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例3,機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),圖中：J旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；k扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；D粘性阻尼系數(shù)。,(1)機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例3,機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),數(shù)學(xué)模型：扭矩平衡方程,(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律寫出微分方程式，進(jìn)而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。a)基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點(diǎn)的所有電流之代數(shù)和應(yīng)等于0（即流出節(jié)點(diǎn)的電流之和等于所有流進(jìn)節(jié)點(diǎn)的電流之和）。b)基爾霍夫電壓定律：電網(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：電阻：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,電壓：,(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例1,R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò),(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例1,R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò),數(shù)學(xué)模型：,一般情況下，R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。若L0，則系統(tǒng)微分方程簡化為,(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例2,有源電路網(wǎng)絡(luò),(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例3,直流電動機(jī)的伺服控制系統(tǒng),激磁電流,電機(jī)電樞輸入電壓,電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角,電機(jī)感應(yīng)電動勢,電機(jī)繞組電感,繞組電阻,電機(jī)扭矩,(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例3,數(shù)學(xué)模型：,直流電動機(jī)的伺服控制系統(tǒng),(2)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫：,2.1.5系統(tǒng)微分方程的建立,例3,電樞控制式直流電動機(jī)的控制系統(tǒng)動態(tài)數(shù)學(xué)模型,當(dāng)電樞電感很小時(shí)，通?？梢院雎圆挥?jì)，則系統(tǒng)微分方程可簡化為,直流電動機(jī)的伺服控制系統(tǒng),流入,流出,例題：右圖為四邊伺服閥及液壓缸組成的液壓伺服控制系統(tǒng)。,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,活塞桿固定，液壓缸與伺服閥閥體連為一體，工作時(shí)缸體帶動工作臺(質(zhì)量為m)移動，負(fù)載包含有慣性和粘性負(fù)載。試建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,解：給閥桿一位移量xi，此時(shí)閥口打開，液壓油推動缸體并帶動負(fù)載產(chǎn)生位移xo，閥體有此位移相當(dāng)于給閥口開度一個(gè)反饋量xo，即xv=xi-xo。該系統(tǒng)是輸入為xi、輸出為xo的閉環(huán)系統(tǒng)。假設(shè)油液不可壓縮，并忽略系統(tǒng)中液體的泄漏。系統(tǒng)動力學(xué)方程：,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例題,流體流經(jīng)微小開口的伺服閥時(shí)，其流量關(guān)系：,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例題,是一非線性函數(shù)關(guān)系。由上述三個(gè)關(guān)系式得出的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型也是非線性方程。因此必須對式(a)進(jìn)行線性化處理。,(a),寫成增量方程,將式(a)在預(yù)定工作點(diǎn)(xv0,p0)附近進(jìn)行微小偏差線性化,增量方程：,2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例題,(b),Kq、Kc可以根據(jù)工作點(diǎn)的不同，從閥的特性曲線求得。（不同的工作點(diǎn)，有不同的Kq、Kc）,由于隨著負(fù)載壓降p的增大，負(fù)載流量q將減小，因而q/p總是負(fù)值。為使流量-壓力系數(shù)Kc為正，定義,若預(yù)定工作點(diǎn)選在閥的零位，即：xv0=0，p0=