變式問題教的粗淺思考

變式問題教學的粗淺思考02三牧中學數(shù)學組 林山杰“一題多解，解法優(yōu)化；一題多變，變中求同；多題一法，同模通法”是數(shù)學解題與習題教學中非常重要的教學方法，也是學生學習的方法對各個數(shù)學知識模塊，進行這三個維度的探究教學，非常有益于學生的數(shù)學思維能力的培養(yǎng)本文主要側(cè)重于思考與研究常見的幾何特征模型的一些變式問題的一些結(jié)論，并介紹一點對問題變式的改編方法的思考圖1-1主題2：關(guān)于一些常見的含有平分角結(jié)構(gòu)的特征圖形的互逆命題組問題2-1-1：如圖2-1-1，（點D在OA上），有三個命題：OB平分AOC，BDOC， OD=DB則知二可證其余，即，這三個問題顯然互為逆命題，且易證為真命題可以簡單歸納為“平分角”“平行”“等腰”知二可得第三這三個命題的證明顯然都是從角的等量關(guān)系來轉(zhuǎn)化其中而這三組“角的等量關(guān)系”，顯然可以從其中任意兩個推出第三個證明思路中可以看出角的等量關(guān)系可以與線的位置關(guān)系（平行的三線八角結(jié)構(gòu)），線的數(shù)量關(guān)系（等邊對等角及等角對等邊）相互轉(zhuǎn)化而幾何證明，線角是核心元素，線角轉(zhuǎn)化是重要方法技巧這個問題改變平行的位置特征，可以得到問題2-1-2：如圖2-1-2，（點E在OA反向延長線上），有三個命題：OB平分AOC，BOEC， OE=OC則知二可證其余，即，其證明思路與前一個問題幾乎完全相同，稍有一些小區(qū)別，需要用到三角形外角定理證明比較簡潔點問題2-2：如圖2-2，（點D在BC上），有四個命題：AB=AC（它等價于B=C，只寫出其中一個），ADBC于D， BD=CD， AD平分BAC顯然這個圖形中，知二可證其余其中，就是三線合一定理而是根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，于是再用三線合一可以推出第五個真命題：，只需AAS證明ABDACD，前面四個命題也是證明這兩個三角形全等，只不過前面四個有教材的定理體系，可以直接使用有關(guān)結(jié)論第五個命題不是定理第六個真命題：本質(zhì)也是證明這兩個三角形全等，只是所給條件滿足SSA，不能直接證明，需要添輔助線來構(gòu)造新的全等，最后轉(zhuǎn)化出所證問題有常見的幾種證明方法方法1：由AD平分BAC的條件，構(gòu)造角平分線上的點D到角兩邊的垂線段DH，DG則DH=DG，接下來HL證明BDHCDG，從而B=C，等角對等邊推出AB=AC，于是轉(zhuǎn)化為前面的問題方法2（等面積法證明角平分線的另一個定理，教材中已經(jīng)刪去）：輔助線同方法1，得出DH=DG，從而(SABD/SACD)=(AB/AC)又ABD與ACD等底同高，得出(SABD/SACD)=(BD/DC)所以 (AB/AC)=(BD/DC)再由BD=CD知AB=AC，余下證明略方法3：由BD=CD可以構(gòu)造倍長中線的全等三角形結(jié)構(gòu)即SAS證明ABDACD，從而BAD=CAD=BAD，所以AB=AB=CA，余下證明略方法4：輔助線圖形同方法3，但是輔助線的作法不同過B作AC的平行線與AD的延長線相交于A，則由平行+平分角結(jié)構(gòu)得出等腰AB=AB，再由平行+平分線結(jié)構(gòu)得出ABDACD（AAS或ASA），其余證明略問題2-3：如圖2-3，在四邊形CPOQ中，OC平分POQ，CP=CQ，CPQ+CQO=180（等價于QCP+QOP=180）由可知OPC與OQC滿足SSA若OP=OQ，則二者全等，此時P與Q關(guān)于OC對稱若OPOQ，則二者不全等，即為SSA的反例圖形下面研究下這個四邊形CPOQ在如圖所示條件（OPOQ）下的互逆命題組，即知二可證其余，即，命題1：簡證如下：構(gòu)造輔助線CG，CH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理（本質(zhì)是AAS證明OCGOCH）由推出GG=CH，根據(jù)HL證明CPGCQH，從而得出CPG=CQH，從而CPQ+CQO=180命題2：簡證：相同的輔助線，先證CPGCQH，再用角平分線的判定定理（本質(zhì)是HL證明RtOCGRtOCH）推出OC平分POQ命題3：簡證：相同的輔助線，先證GG=CH，再根據(jù)AAS證明CPGCQH，余下證明略我們發(fā)現(xiàn)這三個命題的證明思路本質(zhì)是一樣的，證明兩對三角形全等，只是證明全等的方法路徑順序有所改變而已這個四邊形很重要，在許多常見的問題中都會見到它的身影，這是后話另外還可以應(yīng)用圓的知識來證明有關(guān)結(jié)論，略去只是教材中缺乏“對角互補的四邊形四頂點共圓”的結(jié)論還要注意這個四邊形與等腰COO的轉(zhuǎn)化，以及OQ + OP =2OH，OQ -OP =2QH問題2-4，如圖2-3，在四邊形ABCD中，F(xiàn)在邊CD上，BCAD，BF平分ABC，AF平分BAC，BFAF， CF=DF，BC+AD=AB這個圖形存在一系列知道三個條件可以推出其余三個結(jié)論的命題，他們是否都是真命題？其中有這幾個是假命題：，反例圖形如四邊形ABCD； ，反例圖形是ABCD； ，反例圖形是ABCD；其他的命題都是真命題；其中四個命題知三可以推出第四個 命題1：簡證如下：顯然兩平行直線AD，BC被AB所截得的同旁內(nèi)角的平分線BF與AF互相垂直，利用等式性質(zhì)對角的等量關(guān)系進行變形可得延長BF，AD交于點G，由平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG在等腰ABG中利用三線合一結(jié)構(gòu)（本質(zhì)是AFBAFG）得出BF=FG再由平行平分線結(jié)構(gòu)推出CFBDFG，從而CF=FD命題2：簡證如下：，問題轉(zhuǎn)化為命題1命題3：，同命題2思路命題4：，同命題2思路命題5：簡證思路：平行平分線結(jié)構(gòu)推出CFBDFG，平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG，在等腰ABG中利用三線合一結(jié)構(gòu)得出BFAF，其余問題略命題6：簡證思路：在AB上截取BE=BC，連接EF的條件得出軸對稱全等BCFBEF，再導角證明AEF=180BEF=180BCF=ADF，從而SAS證明AFEAFD命題7：，由條件的對稱性知，同命題5命題8：，由條件的對稱性知，同命題6其他真命題的本質(zhì)都是證明其中四對全等AFBAFG，CFBDFG，BCFBEF，AFEAFD，中有兩對成立留待讀者自己思考，有個別題目需要設(shè)法繞開SSA的障礙或者證明三點共線當條件強化為直角梯形的圖形時，所有命題都成立感悟：逆向思維帶來的逆問題變式可以產(chǎn)生很多有意義的問題但是有些圖形的情況某些逆命題比較難，可以適當向?qū)W生介紹統(tǒng)一法和反證法這樣的例子后面的總結(jié)文章再介紹通過總結(jié)常見的基本結(jié)構(gòu)，在問題2-4中，我的思考模式都是模塊化的思路如何培養(yǎng)學生這種思維能力是很值得推敲的教學問題，需要在教學實踐中慢慢思考總結(jié)一個圖形的互逆命題組放在一個整