函數(shù)的凹凸性,極值ppt課件.ppt

1,函數(shù)曲線的凹凸性,問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位于所張弦的上方,圖形上任意弧段位于所張弦的下方,2,定義,3,有什么想法？,4,5,四、曲線凹凸的判定,定理2,6,判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對(duì),進(jìn)行比較.,有什么公式能把以上的函數(shù)值與函數(shù)的,二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢?,泰勒公式,分析,7,(1)在I內(nèi),則在I內(nèi)圖形是凹的;,(2)在I內(nèi),則在I內(nèi)圖形是凸的.,證:,兩式相加,說(shuō)明(1)成立;,(2),設(shè)函數(shù),在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)在一階泰勒公式可得,定理2.(凹凸判定法),8,例2,9,例3,證,10,拐點(diǎn),11,五、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1.定義,2.拐點(diǎn)的求法,證,12,方法1:,拐點(diǎn)的求法,13,例4,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),14,方法2:,想一想為什么？,15,例5,解,16,例6,解,注意:,17,18,例7,解,19,練習(xí),20,第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第五節(jié)函數(shù)的極值與最大,最小值,21,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).,一、函數(shù)極值的定義,22,23,是函數(shù)可能取得極值的點(diǎn)。,一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),通過(guò)觀察以上的圖形:,一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn),24,二、函數(shù)極值的求法,定理1(必要條件),定義,注意:,例如,25,26,首先考察下列函數(shù)的圖形:,27,判別函數(shù)的極值點(diǎn),主要是判別極值可疑點(diǎn)左、右,對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào).,兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.,28,定理2(第一充分條件),(是極值點(diǎn)情形),29,求極值的步驟:,(不是極值點(diǎn)情形),30,例1,解,列表討論,極大值,極小值,31,32,看這一部分,33,當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,34,定理3(第二充分條件),證,取得極大值,取得極小值,35,例2,解,36,例3,解,37,說(shuō)明：,為什么？,38,就是說(shuō)：,39,定理3(第二充分條件)的推廣,40,例3,解,注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).,41,小結(jié),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為臨界點(diǎn).,函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.,判別法,第一充分條件;,第二充分條件;,(注意使用條件),42,