材料力學(xué)第8章-能量法1ppt課件

第八章能量法,一、桿件的應(yīng)變能,二、應(yīng)變能普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理),三、卡氏定理,能量法,四、互等定理,五、虛功原理單位力法圖乘法,六、超靜定問(wèn)題力法,七、沖擊應(yīng)力,求解彈性體系(如桿件)的變形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程靜力平衡關(guān)系幾何方程變形幾何關(guān)系物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,利用應(yīng)變能的概念，解決與彈性體系變形有關(guān)的問(wèn)題的方法。在求解組合變形、曲桿或桿系以及超靜定問(wèn)題時(shí)，能量法是一種非常有效的方法，是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。,能量法/基本概念,2、能量法,能量法有關(guān)的幾個(gè)基本概念,3、能量守恒：忽略緩慢加載過(guò)程中動(dòng)能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲(chǔ)存的應(yīng)變能U在數(shù)值上與外力所作的功W相等。功能原理UW,1、外力功:線彈性體系在外力的作用下產(chǎn)生變形，每個(gè)外力在與它相對(duì)應(yīng)的位移上所作的功W。,2、應(yīng)變能:彈性體受外力作用下產(chǎn)生變形而儲(chǔ)存了能量，這個(gè)被儲(chǔ)存的能量即為應(yīng)變能或變形能U。,能量法/基本概念,一、桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的應(yīng)變能,1、軸向拉伸或壓縮,F,L,L,O,B,L,F,A,能量法/桿件的應(yīng)變能,式中軸力，A橫截面面積,由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：,能量法/桿件的應(yīng)變能,取微段研究：,微段的應(yīng)變能：,整個(gè)桿件的拉壓應(yīng)變能,受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的應(yīng)變能,q,L,dx,x,能量法/桿件的應(yīng)變能,2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn),Mx,L,Mx,O,B,Mx,A,圓截面桿的應(yīng)變能,式中T圓桿橫截面上的扭矩；圓桿橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。,能量法/桿件的應(yīng)變能,受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量),整個(gè)桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為,可取微段分析：,能量法/桿件的應(yīng)變能,3、平面彎曲,純彎曲梁的應(yīng)變能：,式中M梁橫截面上的彎矩；I梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,能量法/桿件的應(yīng)變能,橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的應(yīng)變能,整梁的彎曲應(yīng)變能,按微段分析：,和拉壓、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能比較,能量法/桿件的應(yīng)變能,4、剪切,純剪切時(shí)微段梁的應(yīng)變能：,FS,dx,FS,由于切應(yīng)力在截面上并非均勻分布。引入系數(shù)k,因此微段梁的應(yīng)變能為：,能量法/桿件的應(yīng)變能,整個(gè)梁的剪切應(yīng)變能：,式中,(b為截面的寬度，S為截面對(duì)中性軸的靜矩),(2)一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁:剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于其彎曲應(yīng)變能，通常忽略不計(jì)。,(1)k由截面的幾何形狀決定:矩形截面:k=1.2,圓截面:k=10/9,圓環(huán)形截面:k=2,能量法/桿件的應(yīng)變能,例：矩形截面懸臂梁，長(zhǎng)L，截面高h(yuǎn)，寬b，k=1.2。,細(xì)長(zhǎng)梁,整個(gè)梁的彎曲應(yīng)變能：,細(xì)長(zhǎng)梁的剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于彎曲應(yīng)變能，可忽略不計(jì)！,整個(gè)梁的剪切應(yīng)變能：,得,解：,二、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理),F,基本變形下應(yīng)變能的一般表達(dá)式：,式中F廣義力(力或力偶)；廣義位移(線位移或角位移)且F=C(力與位移成線性關(guān)系),表明：彈性體的應(yīng)變能是一個(gè)狀態(tài)量，僅決定于外力和位移的最終值，與加載的過(guò)程無(wú)關(guān)。,能量法/克拉貝隆原理,應(yīng)變能的普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理)的導(dǎo)出,能量法/克拉貝隆原理,證明：,即外力增加的過(guò)程為：,材料是線彈性的，則對(duì)應(yīng)的位移也以的比例增加，相應(yīng)的位移為：,式中：01(從0線性增加到1),能量法/克拉貝隆原理,如果增加d，則位移的相應(yīng)增量為：,則外力,在以上位移增量上所作的功為（略去高階微量）：,積分得,此式稱(chēng)為克拉貝隆原理。,能量法/克拉貝隆原理,特別注意點(diǎn)：,廣義力，可以是一個(gè)力，也可以是一個(gè)力偶，或者是一對(duì)力，或者是一對(duì)力偶。,在所有力共同作用下(因與全部作用力有關(guān))，與廣義力相對(duì)應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。力沿力矢方向的線位移力偶力偶轉(zhuǎn)向的角位移一對(duì)力該對(duì)力兩作用點(diǎn)沿力矢方向的相對(duì)線位移一對(duì)力偶該對(duì)力偶兩作用截面間沿力偶轉(zhuǎn)向的相對(duì)角位移,能量法/克拉貝隆原理,力：F，位移：,力：m，位移：,例子,力：F，位移：,力：m，位移：,能量法/克拉貝隆原理,關(guān)于應(yīng)變能計(jì)算的討論,以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變形能的計(jì)算。,應(yīng)變能可以通過(guò)外力功計(jì)算，也可以通過(guò)桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個(gè)桿件上的應(yīng)變能。,3應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。例如：,能量法/克拉貝隆原理,4應(yīng)變能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。,能量法/克拉貝隆原理,M(x)只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角,FN(x)只產(chǎn)生軸向線位移,T(x)只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角,不計(jì)FS產(chǎn)生的應(yīng)變能,例1試計(jì)算圖示吊車(chē)架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點(diǎn)A的豎直位移。已知E=200GPa,F=57.6kN。斜桿AB由兩根50505mm等邊角鋼組成，每根角鋼的橫截面面積，橫桿AC由兩根No.10槽鋼組成，每根槽鋼的橫截面面積。設(shè)各桿自重可以不計(jì)。,能量法/克拉貝隆原理,解:,由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件求得AB桿的內(nèi)力：,AC桿的內(nèi)力為：,桿系的應(yīng)變能：,設(shè)節(jié)點(diǎn)A的豎直位移為，則由得：,能量法/克拉貝隆原理,例2圖示等截面懸臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F和集中力偶m作用。設(shè)材料是線彈性的，試計(jì)算梁的應(yīng)變能。考慮兩種不同的加載次序，略去剪力的影響。,解：(1)集中力F和集中力偶m同時(shí)由零開(kāi)始按比例逐漸增加至最終值。,梁自由端的轉(zhuǎn)角為：,(方向與m一致),自由端的垂直位移為：,梁的應(yīng)變能,能量法/克拉貝隆原理,(2)先作用F,加載時(shí)做功為：,再加力偶矩m，外力所作的功為：,梁的總應(yīng)變能：,從這兩種不同的加載次序來(lái)看，梁的應(yīng)變能僅與載荷的始態(tài)和終態(tài)有關(guān)，而與加載次序無(wú)關(guān)。,能量法/克拉貝隆原理,(3)AB梁的應(yīng)變能也可通過(guò)截面上的內(nèi)力來(lái)計(jì)算。,代入應(yīng)變能的內(nèi)力表達(dá)式：,彎矩方程：,能量法/克拉貝隆原理,從結(jié)果中可以看到：第一、三項(xiàng)分別為F和m單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)變能，故F、m同時(shí)作用在桿內(nèi)所引起的應(yīng)變能不等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的應(yīng)變能之和。其原因是這兩個(gè)載荷都使梁產(chǎn)生了同一種彎曲變形，彼此都在對(duì)方引起的位移上做了功（結(jié)果中的第二項(xiàng)即代表F和m共同作用時(shí)在相互影響下所做的功）。,能量法/克拉貝隆原理,三、卡氏定理,卡氏第二定理,卡氏第一定理,線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上的某一廣義外力的變化率(偏導(dǎo)數(shù))，等于與該廣義外力相應(yīng)的廣義位移。,結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一廣義外力相應(yīng)的廣義位移的變化率，等于該廣義外力的值。,能量法/卡氏定理,卡氏定理的特殊形式,(1)橫力彎曲的梁：,(2)小曲率的平面曲桿：,式中s沿曲桿軸線的曲線長(zhǎng)度。,能量法/卡氏定理,(3)桁架,(4)產(chǎn)生拉(壓)、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的圓截面等直桿,應(yīng)用卡氏定理求出為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用的方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。,能量法/卡氏定理,在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個(gè)虛設(shè)的集中力或集中力偶；或一對(duì)力或一對(duì)力偶，此時(shí)應(yīng)變能為：,或,若所得位移為正，則表示與附加力的方向一致；若為負(fù)值，則表示與虛加力的方向相反。,附加載荷法,由卡氏定理得：,能量法/卡氏定理,例5圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。,解：,1.求B,(1)列彎矩方程，并求導(dǎo),DC段：,CB段：,BA段：,能量法/卡氏定理,(2)求B,例5圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。,能量法/卡氏定理,例5圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。,解：,2.求D,(1)加附加力,DC：,CB：,BA：,(2)列彎矩方程,能量法/卡氏定理,例5圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。,(3)求D,能量法/卡氏定理,例6圖示彎曲剛度為EI的等截面開(kāi)口圓環(huán)受一對(duì)集中力F作用。環(huán)的材料為線彈性的，不計(jì)圓環(huán)內(nèi)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開(kāi)位移。,解：,將一對(duì)力F視為廣義力，即為相應(yīng)的廣義位移,能量法/卡氏定理,例7圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。,分析：在中間鉸B兩側(cè)截面處各加一個(gè)外力偶矩MB。,解：,能量法/卡氏定理,梁的彎矩方程及其對(duì)MB的偏導(dǎo)數(shù)分別為,（0xl）,AB段,BC段,能量法/卡氏定理,中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為,結(jié)果為正，表示廣義位移的轉(zhuǎn)向和MB的轉(zhuǎn)向一致。,能量法/卡氏定理,例8懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為y1和y2。試證明：,證明：設(shè)作用在1,2兩截面的外力分別為F1和F2，且F1=F,F2F，則梁的應(yīng)變能為U=U(F1,F2)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，,有,能量法/卡氏定理,注意：若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)相同的外力時(shí)，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開(kāi)。,能量法/卡氏定理,能量法/卡氏定理,例9試用卡氏第二定理求圖a所示剛架的支反力。已知兩桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力的影響。,解：這是一個(gè)一次超靜定剛架。,取B處的支反力X為多余未知力。靜定基如圖(b)。,能量法/卡氏定理,BD段,各段彎矩及其對(duì)X的偏導(dǎo)如下,DC段,CA段,注意到B處的變形協(xié)調(diào)條件By=0及卡氏第二定理,解得,進(jìn)一步對(duì)圖(b)列平衡方程，可得A處的支反力,能量法/卡氏定理,第八章能量法,四、功的互等定理位移互等定理,在Fj作用下引起的Fi方向上的位移,四、功的互等定理位移互等定理,功的互等定理位移互等定理是材料力學(xué)中的普遍定理，它說(shuō)明材料服從胡克定律且在小變形的條件下，作用在桿件上的不同點(diǎn)的力和位移間相互關(guān)系。,以圖示梁為例證明如下：,能量法/互等定理,1.先在1點(diǎn)作用F1,再在2點(diǎn)作用F2,外力功：,外力功：,應(yīng)變能：,能量法/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先在2點(diǎn)作用F2,再在1點(diǎn)作用F1,外力功：,外力功：,應(yīng)變能：,能量法/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先作用F2再作用F1,變形能只取決于力與位移的最終值，,與加載次序無(wú)關(guān),即：,功的互等定理,能量法/互等定理,功的互等定理,結(jié)構(gòu)的第一力系在第二力系所引起的彈性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的彈性位移上所做的功。,能量法/互等定理,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理對(duì)于所有的線性結(jié)構(gòu)都適用。,2.力和位移應(yīng)理解為廣義力和廣義位移。,當(dāng)F1=F2=F時(shí),（力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)）,能量法/互等定理,例10試求圖示梁在Me的跨中撓度yC,解：,1.當(dāng)Me作用時(shí)(第一力系),設(shè)想在C點(diǎn)作用F(第二力系),2.由功的互等定理,3.查表(附錄C),能量法/互等定理,討論：若應(yīng)用位移互等定理任何求解？,例11已知簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下