SARS傳播的數(shù)學模型.doc

SARS傳播的數(shù)學模型摘 要通過對題目附件1的SARS模型進行分析和評價，加深了對SARS的認識和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點，建立了關于SARS病人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用Matlab軟件進行數(shù)值計算，與圖形模擬方法求得模型中的有關參數(shù)。當1 =1.5 和2 =1時，理論圖形與實際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數(shù)據(jù)的變化圖，能正確地預測它們的發(fā)展趨勢。他們對于模型中的參數(shù)有非常強的靈感性，1的值作微小的改變對于整個疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對SARS疫情的有關措施是完全正確的。本文重點分析了關于SARS病人率的模型一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對結果加以分析并對整個疫情作出預測，并推論出SARS病人率關于t的表達式i(t),然后提出了對傳染病的控制方案，同時列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關鍵詞：SARS 微分方程 曲線擬合 數(shù)學模型 相軌線一 、問題的提出SARS俗稱非典型肺炎，是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。我國作為發(fā)展中大國深受其害：SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領導下，全國人民與SARS頑強抗爭，取得了可喜的階段性勝利，并從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到在沒有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當?shù)哪Ｐ蛯ARS傳播規(guī)律進行定量地分析、研究，為預測和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息，無論對現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實意義。二 、模型的假設1 地總人數(shù)N可視為常數(shù)，即流入人口等于流出人口。2 據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的強制措施下，人口基本不流動，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。4 隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系，不具有傳染性。5 SARS康復者二度感染的概率為0。6 國家完善了監(jiān)控手段，加強了對SARS病毒監(jiān)控的力度，故可假設所有感染SARS病毒的人群都進入了SARS病人類和疑似類。7 由于對SARS病原體的研究不夠深入，無有效藥物可以使人體免疫，同時SARS病毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。 三、模型的建立（一） 參數(shù)的設定和符號說明s(t)：t時刻健康者在總體人群中的比例i(t)：t時刻SARS病人在總體人群中的比例l(t)：t時刻疑似病人在總體人群中的比例r(t)：t時刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。 ：SARS病人日接觸率。為每個病人每天有效接觸（足以使健康者受感染變?yōu)椴∪耍┑钠骄藬?shù)。：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例。：日轉化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：日死亡率。為每天SARS病人死亡的數(shù)量和當天病人總數(shù)量的比值。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。（二）模型建立模型一 感染為SARS患者情況由假設，每個病人每天可使個健康者變?yōu)椴∪耍驗椴∪巳藬?shù)為，所以每天共有個健康者被感染，于是就是病人數(shù)的增加率，又因為每天被治愈率為，死亡率為，所以每天有個病人被治愈，有個病人死亡。那么病人的感染為由于 對于退出者 () 由假設可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下： (3) 模型二 疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二： (5)四、模型求解（一）參數(shù)的確定和分析：1.的確定 =， =， =用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得： =0.055076，=0.038183，=0.002443。（處理數(shù)據(jù)見附件）2的確定確定 很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、的解析解。為了解決這個問題我們用MATLAB軟件中龍格庫塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、做出它們與時間的函數(shù)圖象圖1，然后我們再對取一組數(shù)，分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象圖2，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調試。我們發(fā)現(xiàn)當1.5時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：:根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合的圖象（畫圖程序見附件）通過數(shù)值解作出的關于時間t 的變化（畫圖程序見附件）分析兩個圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當符合，具有相同的發(fā)展趨勢。但是在0,10的SARS初期范圍內，曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前，沒有相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和報道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的曲線相比較，不能準確反映SARS產生初期時的趨勢，所以邊界值應該去掉，而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢。并且通過對SARS蔓延期特點的分析，在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎上，還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的SARS初始狀態(tài)，所以曲線是合理的。（2）確定與確定時類似，先根據(jù)實際數(shù)據(jù)畫出圖形實際數(shù)據(jù)圖形然后再對取一組數(shù)，分別畫出通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調試。發(fā)現(xiàn)當1.0時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：在0,10的初期范圍內，曲線趨勢不同，原因同前。整個曲線反映了疑似患者在SARS的過程中的變化規(guī)律。五、結果分析與檢驗（一）討論 的性質平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為從模型（一）中消去，利用的定義，可得 （6）由（6）式解得 （7）（二）對于合理確定的，我們可以畫出圖，圖形如下：（畫圖程序見附件由于在這個SARS病毒發(fā)展過程中，是變化的，故可以畫出取不同值時的圖形，如下取0.4192，0.2858、0.1858時的圖形。分析（3）式和（7）式，可知：1 不論初始條件，如何，病人終會消失，即SARS最終會被消滅,亦即。證明省略。從圖形上看，相軌線終將與s軸相交（t充分大）。2 設最終未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程 （8）是（8）在（0,1/）內的根，在圖形上是相軌線與s軸在（0,1/）內交點的橫坐標。對于確定下來的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病傳染過程分析整個傳染過程，隨著政府和公眾對SARS的重視程度的變化，可知接觸數(shù)隨著治愈率、死亡率和接觸率的不斷變化而變化。（1）在SARS爆發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會對SARS病毒傳播的速度和危害程度認識不夠，所以政府和公眾沒有引起重視。治愈率和死亡率很小，而接觸率相對較大，所以很小。當，則開始增加，可認為是疾病蔓延階段。（2）當=時，達到最大值 （9）對于我們確定的，可以求出0.8368，可認為是疾病傳染到達了高峰期。（3）當 Y=polyconf(p,t,S)Y = Columns 1 through 8 136.3240 113.2654 102.2891 98.9706 100.0091 103.0173 106.3408 108.9028 Columns 9 through 16 110.0729 109.5573 107.3071 103.4430 98.1954 91.8561 84.7414 77.1647 Columns 17 through 24 69.4163 61.7507 54.3784 47.4629 41.1208 35.4237 30.4038 26.0584 Columns 25 through 32 22.3576 19.2498 16.6691 14.5410 12.7882 11.3350 10.1116 9.0563 Columns 33 through 40 8.1181 7.2574 6.4460 5.6667 4.9121 4.1828 3.4855 2.8306 Columns 41 through 48 2.2300 1.6952 1.2351 0.8551 0.5557 0.3324 0.1760 0.0733 Columns 49 through 56 0.0087 -0.0338 -0.0688 -0.1065 -0.1512 -0.1995 -0.2396 -0.2