同濟(jì)版大一高數(shù)下第七章第一節(jié)微分方程的基本概念ppt課件

.,1,主講教師:王升瑞,高等數(shù)學(xué),第二十九講,.,2,微分方程,第七章,積分問題,微分方程問題,推廣,.,3,微分方程的基本概念,第一節(jié),微分方程的基本概念,引例,幾何問題,物理問題,第七章,.,4,引例1.,一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的,解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:,(C為任意常數(shù)),由得C=1,因此所求曲線方程為,由得,切線斜率為2x,求該曲線的方程.,.,5,引例2.列車在平直路上以,的速度行駛,制動時,獲得加速度,求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.,解:設(shè)列車在制動后t秒行駛了s米,已知,由前一次積分,可得,利用后兩式可得,因此所求運(yùn)動規(guī)律為,說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才,能停住,以及制動后行駛了多少路程.,即求s=s(t).,再積分,.,6,常微分方程(未知數(shù)是一元函數(shù)),偏微分方程(未知數(shù)是多元函數(shù)),含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(微分）的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),(n階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n階常微分方程的形式是,的階.,分類,或,.,7,引例2,使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程,確定通解中任意常數(shù)的條件.,n階方程的初始條件(或初值條件):,的階數(shù)相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常數(shù)的解,定解條件,其圖形稱為積分曲線.,.,8,例3二階微分方程,試問下列函數(shù),是否是方程的解,是通解還是特解?,解:分別將四個函數(shù)代入方程,均左邊=右邊,則這四個函數(shù)均為方程的解.,是方程的特解.,是方程的特解.,其中有兩個任意常數(shù)是方程的通解.,其中只有一個常數(shù),則即不是方程的,通解,也不是特解.,.,9,求曲線所滿足的微分方程.,例4已知曲線上點(diǎn)P(x,y)處的法線與x軸交點(diǎn)為Q,解:如圖所示,令Y=0,得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),即,曲線上的點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為,且線段PQ被y軸平分,設(shè)法線上的任一點(diǎn)為(X,Y),.,10,內(nèi)容小結(jié),1.微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,說明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一個解.,例如,方程,解;,階;,通解;,特解,y=x及y=C,.,11,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:例1，4),2)根據(jù)物理規(guī)律列方程(如:例2),3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(P298,6),(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.