VAR模型和VEC模型

一、VAR模型二、實例分析三、VECM模型,西姆斯(Sims)1970年提出了VAR（VectorAutoregressive）模型（向量自回歸模型）。在VAR模型中，沒有內生變量和外生變量之分，而是所有的變量都被看作內生變量，初始對模型系數不施加任何約束，即每個方程都有相同的解釋變量所有被解釋變量若干期的滯后值。VAR模型在涉及到多變量并且有相互制約和影響的經濟分析中都是一個強有力的分析工具，特別是在聯立方程的預測能力受到質疑的時候，這種模型的提出在預測方面和脈沖響應分析方面均顯示出較大的優(yōu)勢。,（一）、VAR模型的形式,在一個含有n個方程（即n個被解釋變量）的VAR模型中，每個被解釋變量都對自身以及其它被解釋變量的若干期滯后值回歸，若令滯后階數為k，則VAR模型的一般形式可用下式表示：其中，表示由第t期觀測值構成的n維列向量，為系數矩陣，是由隨機誤差項構成的n維列向量，其中隨機誤差項（i=1,2,n）為白噪聲過程。,即被解釋變量分別對自身以及對方的2階滯后值回歸。模型的特點：1、每個變量Yt都是內生變量。2、方程等號右邊的解釋變量都是滯后變量。3、每個方程的解釋變量都相同。4、Yt的動態(tài)結構由它的k階滯后就可以刻劃出來，K期之前的變量對Yt無影響。5、隨機誤差項是白噪聲過程。VAR模型是由內生變量的動態(tài)結構來描述的，不需要關于變量之間的相互關系的先驗理論假設。,為便于直觀理解，假定n=2,k=2,則VAR模型可寫成：,（二）、VAR模型的識別、估計和預測,1、VAR模型的識別（滯后期的確定）前面提到，建立VAR模型的一個難點就是確定滯后項數。通常理論知識給出滯后項數的一個大致范圍，例如貨幣政策的時滯一般為6-12個月，因此若應用VAR模型對貨幣政策效應進行分析時，如果是月度數據我們就可以確定滯后階數應小于12。如果要具體得確定滯后項數，就需要用到其它的一些方法，下面我們將介紹其中的幾種方法：,常用方法有似然比方法和信息準則法。下面只介紹信息準則法。Akaike信息準則：AIC=Schwartz信息準則：SC=其中，代表由估計殘差的方差和協(xié)方差組成的矩陣的行列式，T代表樣本容量，表示的是所有方程中回歸項的個數（包括常數項）。例如，對于一個含有a個方程，滯后項數為b的VAR模型，。,2、VAR模型的識別,檢驗的方法是主觀地定出滯后期上限Q，對滯后長度b=1,2,Q，分別求出AIC和SC，則對應的AIC和SC的同時最小值（不是取絕對值）即為滯后期b（以模型總的AIC和SC為判斷標準，不是以單個方程的AIC和SC），可以進一步結合模型統(tǒng)計檢驗來確定b。此法有一定的主觀性。,利用實例（al3.wf1)數據各種滯后期的AIC和SC值。,綜合兩種檢驗結果還是滯后期為3合適。為了更準確地判斷其滯后期，再看其它的檢驗方法。,關于其它識別方法：,Eviews5.1版本結出了5個評價標準的結果(見下頁解釋)。例如利用實例的文件aL3得（在VAR模型估計結果窗口中點view再選取lagstructure,laglengthCriteria得到），根據金融理論，貨幣效應時滯在一年左右，所以選擇最大4階,也可以結合模型檢驗來確定。,在五個評價指標中有4個認為滯后期應為3，見系統(tǒng)自動標出的結果，即*號處。,五個檢驗指標：LR檢驗統(tǒng)計量，PRE最終預測誤差，AIC信息準則，SC信息準則，HQ信息準則。這五個檢驗可以歸為三類。1、LR檢驗統(tǒng)計量，似然比（LikelihoodRatio,LR)檢驗涉及兩類模型，無約束模型（沒有任何限制的模型）和約束模型（指在零假設約束條件下的模型），似然比統(tǒng)計量是指無約束模型和有約束模型的最大似然值之差的2倍，即：LR=2(Lu-Lr)2(k)。如果無約束模型和約束模型的殘差的最大似然之差越大，就越有證據證明約束模型不可靠。2、PRE最終預測誤差，它是使把FPE(n)=2n(T+n)/(T-n)的最小值的n作為VAR模型的最佳階數。2n為滯后n期時殘差的方差估計，T為樣本個數。它是優(yōu)點是平衡了選擇低階數造成偏離性的風險和選擇高滯后階數造成方差增長的風險。3、信息準則，包括SC、AIC和HQ。如果滯后期越長，則要估計參數就越多，自由度就越少。因此信息準則就是尋求滯后期與自由度之間的一種均衡。一般根據SC、AIC和HQ的信息量取值最小的準則確定模型的階數。,3、平穩(wěn)性檢驗,VAR模型也可以作序列平穩(wěn)性檢驗的，可以用單位根方法進行檢驗。在VAR模型的輸出窗口中，通過ViewLagStructureARRootsTable或者ARRootsGraph分別得到VAR模型特征方程的根的倒數值的表和圖。例如在案例4中，得到如下圖：,如果全部特征根的倒數值都在單位園內，則VAR模型是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定，不穩(wěn)定不可以作脈沖響應函數分析。這表明本例的VAR模型是穩(wěn)定的,4、VAR模型的估計,前面我們提到，如果VAR模型中變量是平穩(wěn)的，并且方程右邊包含相同的解釋變量，隨機誤差項滿足基本假定，則我們可以分別應用普通最小二乘法對單個方程予以估計，所得到的估計值是一致的、漸進有效的。當上述條件不滿足時，我們需要用到估計聯立方程模型的其它方法。由于所用到的數學知識已經超出了本書的范圍，并且在Eviews軟件中可以方便的實現對VAR模型的估計，在此我們不再多做介紹。,5、預測一個較小的VAR模型產生的預測結果甚至要好于一個大的聯立方程模型產生的預測結果，因此VAR模型的一個主要作用就是預測。,（三）、脈沖響應函數,假設系統(tǒng)處于均衡狀態(tài)，如果由于某種原因，破壞了均衡，系統(tǒng)對該干擾作出反映，偏離均衡然后恢復均衡，這個過程用脈沖響應函數來描述。脈沖響應函數是度量來自于每個方程的隨機誤差項的一個標準差新信息（見新信息解釋）沖擊時被解釋變量的響應程度和持續(xù)時間。例如假定某個方程的隨機誤差項在第t期發(fā)生突變，而后各期重新恢復平靜，這時脈沖響應測量表示的是各期（t,t+1,t+2）的被解釋變量對該沖擊的反應。例如VAR(1)：Yt=c+Yt-1+et,則,為了保證這樣的不相關性，需要對脈沖響應函數進行調整，利用Choleski分解可以把協(xié)方差陣變?yōu)閷蔷仃?，這時的脈沖響應函數稱為正交脈沖響應函數。通過測量脈沖響應，我們能夠清楚地看到隨機誤差項的一個標準差新信息在某一時期的沖擊對未來各期被解釋變量的影響。同時脈沖響應表明了各個變量對該變量沖擊的傳導作用。（其原理參看潘紅宇時間序列分析，對外經貿大學出版社，P204）。,廣義脈沖響應函數(GeneralizedImpulse)是Pesaran和shin在1998年提出的。Pesaran和Shin證明：1、廣義脈沖響應是唯一的，即消除了變量的順序會影響脈沖響應結果的問題。并且考慮了觀測到的不同形式沖擊和它們之間的相關性。2、Pesaran和Shin還進一步證明了正交分解的脈沖響應是廣義脈沖分解的特殊形式。當協(xié)方差矩陣是對角陣時，二者是一致的。3、它還可以應用于非線性多變量模型中，因為它不考慮沖擊的范圍、符號和歷史。因此,利用廣義脈沖響應函數得到的結果更具穩(wěn)定性和說服力。,新信息(Innovation),定義：如果對所有t隨機過程vt滿足：E(vt)=0,E(vtvt)=2,有界，E(vtXt-1)=0,即vt與以前的Xt無關，則稱vt是相對于Xt-1的新信息過程。新信息過程一定是白噪聲過程，反之不一定。新信息過程總是相對的，是相對于某個特定信息集，對其它信息集不一定是新信息過程。,（四）方差分解,方差分解(variancedecomposition)表示的是當系統(tǒng)的某個變量受到一個標準差沖擊以后,以一個變量的預測誤差方差百分比的形式反映變量之間的交互作用。即方差分解就是對于內生變量的預測誤差的方差進行分解，判斷其方差的來源，或者了解某個特定隨機新信息所引起的方差占總方差的比重。可以進行看出內生變量的變動主要由哪里變量所導致的。說明其它變量對該變量的變動有沒有預測作用。見下面實例。,(五).結構VAR模型和縮減型的VAR模型,結構型VAR模型，即SVAR模型。此模型是在滯后相關關系基礎上加入變量之間的同期相關關系形式。用來關注當期外生變量的影響。SVAR在處理隨機沖擊同期相關時，可以對時間序列的關系予以限制，因此可以得到唯一方差分解及脈沖反應函數?？s減型的VAR模型。估計方式見例題。,（六）.實例分析利用VAR模型對我國貨幣政策的有效性進行檢驗。,1、數據來源：取我國狹義貨幣供應量M1，商品零售物價指數CPI（1994年1季度為100），以及代表產出水平的國內生產總值GDP的季度數據，時間為1994年第一季度到2004年第二季度。文件aL3.wf1,2、建模。在選擇滯后項時，應用信息準則，根據金融理論，貨幣效應時滯在一年左右，所以我們選擇最大4階。,根據AIC信息準則，我們應選擇滯后項為4，根據SC信息準則，我們應選擇滯后項為2或3，考慮到3階后AIC值下降較緩，以及結合模型的R2和DeterminantResidualCovariance的值，最后選擇滯后項為3?；蛘哂蒃views5.1可得到（在VAR模型估計結果窗口中點view再選取lagstructure,laglengthCriteria)：,在五個評價指標中有4個認為滯后期應為3（見系統(tǒng)自動標出的結果，即*號處）。,本例選擇結果如下：,設置滯后期，必須配對出現，例如，1258則每個方程所包含的變量的滯后期均為：yt-1,yt-2,yt-5,yt-6,yt-7yt-8,這里是輸入外生變量，例如如果需要常數項，則輸入c，如果需要加上時間趨勢項則輸入t（t要預先輸入）。如果想構建縮減型的VAR模型及其VECM模型則需在此輸入外生變量。,變量下面第1和2括號值分別標準差和T統(tǒng)計量，在同一變量不同的滯后項，有的是顯著的，有的是不顯著的，有的符號與經濟理論不相符，驗證了我們所說的VAR模型是缺乏理論依據的。首先，對于物價CPI,上一季度的貨幣供應量對其的影響是顯著的，并且系數為正，與理論相符，說明貨幣供應量的增加將使物價水平上升，而上第二個季度M1的對CPI的影響是負的，而且更顯著，正負交叉影響表現出M1和CPI相互關系的特征。,其次，對于貨幣供應量來說，上一季度的GDP對其影響不顯著，說明貨幣供應量不受上期的產出但受物價水平的影響顯著。但上第2季度的GDP對M1產生顯著負影響。再次，對于GDP,上期的貨幣供應量對其是顯著正影響。這從一個側面驗證了前幾年我國實施的穩(wěn)健的貨幣政策效果是有效的，而上期物價水平則對產出是不顯著負影響。,3.縮減型的VAR模型：加上同期外生變量gdp2，同時下面也加上了趨勢項t。,結果如下：,4.為了保證序列的平穩(wěn)性，也可先對所有的數據進行處理再建立VAR模型，如取它們的自然對數。用genr功能。Lgdp=log(gdp),Lcpi=log(cpi),Lm1=log(m1)。然后分別對Lgdp,Lcpi,Lm1三變量建立VAR模型?；蛘咧苯佑胠og(gdp),log(cpi),log(m1)建立VAR模型。,5.預測。點makemodel后得到：,點Solve得到如下對話框，基本選擇有5項：,在模擬種類中有2項，第1為確定性，第2為隨機性。,在動態(tài)方法中有動態(tài)求解等項。在靜態(tài)條件下，滯后期是用實際值，而在動態(tài)情況下，滯后期用擬合值,在Solutionscenarios&output(輸出結果保存的序列名），求解得到的序列名是采用原序列加上后綴的方式命名，例如如果選擇baseline，則GDP的預測值放在GDP_0。,在備份序列名，以免在用不同模型進行預測時，沖掉了上一次的預測值。例如如果選擇了scenarios1，則預測值放在GDP_1中。,注意：上述兩對話框都不能選擇Actual(實際值），否則計算不出預測值。,此時必須勾上下面的選擇才有效。,在工作文件窗口中cpi和cpi_0分別為原始數據及擬合值，其它同理?？梢杂肎enr命令求出每個變量的殘差。,Baseline為預測值（擬合值）,6、脈沖響應脈沖響應函數是度量來自于每個方程的隨機誤差項的一個標準差新息沖擊時被解釋變量的響應程度和持續(xù)時間。通過測量脈沖響應，我們能夠清楚地看到隨機誤差項的一個標準差新信息在某一時期的沖擊對未來各期被解釋變量的傳導作用。在方程的輸出窗口中點viewimpulseResponse得到：,在彈出對話框中：顯示格式選擇：表、每個脈沖響應函數圖、合成圖（來自于同一變量沖擊的脈沖響應函數圖合并顯示）。左邊兩個框：從上到下：第一個為輸入要沖擊的變量。第二輸入欲要計算脈沖響應的變量名。第三為是計算的期數。還有是否計算累計反映。右邊圖：關于計算脈沖響應函數標準差的方法：喬利期基(cholesky)分解和廣義脈沖響應等。右邊為輸入VAR模型出現的變量順序，變量的順序會對結果產生影響。,注意：雖然喬利期基(cholesky)分解被廣泛應用，但是方程的順序將會強烈地影響脈沖響應。因為如果新信息是相關的話，它們將包含一個不與某特定變量相聯系的共同成分。通常將共同成分的效應歸屬于VAR系統(tǒng)中第一個出現的變量（依照方程順序），即Cpi、m1、gdp的方程對應的1t,2t,3t的共同成分都歸到1t,，因此方程的順序（即變量順序）會影響脈沖響應的結果。因此一般選擇廣義脈沖響應。,積累反應，一般不選取,脈沖響應函數圖的解釋,有兩種作圖方式：單個響應圖（MultipleGraphs和多個響應合成圖(CombinedGraphs)。在脈沖響應單個函數圖中,橫軸表示沖擊作用滯后期數,縱軸分別表示反映變量的增長率(如果勾上AccumulatedResponses,則縱軸表示增長率的累計值),實線表示脈沖響應函數,代表該變量受到其它變量的隨機誤差項一個標準差的沖擊后，該變量現在和未來的反應程度和持續(xù)時間。虛線表示正負兩倍標準差偏離帶。,此表反應的是某變量對各個變量（含本身）沖擊時響應程度的數值大小，非增長率。括號內為T統(tǒng)計量。,脈沖響應函數的數值表,M1對M1的一個標準差沖擊，一開始反應敏感，在第一期達到最高值，隨后迅速下降到最低點，然后緩慢上升保持不變在10期內都是正的。,M1(外界對m1的干擾)對gdp的一個標準差沖擊的反應比較弱，幾乎在所0左右波。說明貨幣流通量對經濟的沖擊較弱。,M1對Cpi的一個標準差沖擊的反應敏感，在第一期達到最低值，然后趨于平穩(wěn)，同時表明M1對CPI的傳導作用始終為負。,GDP對Cpi、GDP、m1的一個標準差沖擊的反應的脈沖響應函數圖。分析略。,根據上面的脈沖響應函數圖，可以詳細分析各個變量對另一些變量沖擊的持續(xù)效應和持續(xù)時間。,Cpi分別對cpi、GDP、m1的一個標準差沖擊的反應的脈沖響應函數圖。自己作分析。,對于單個脈沖響應圖，Eviews給出一個2S.E的置信區(qū)間,這是選擇順序為m1,gdp,cpi，其結果和前面的結果有一定的差異，見右圖。,廣義脈沖響應,廣義脈沖響應函數(GeneralizedImpulse)是Pesaran和shin在1998年提出的。Pesaran和Shin證明：1、廣義脈沖響應是唯一的，即消除了變量的順序會影響脈沖響應結果的問題。并且考慮了觀測到的不同形式沖擊和它們之間的相關性。2、Pesaran和Shin還進一步證明了正交分解的脈沖響應是廣義脈沖分解的特殊形式。當協(xié)方差矩陣是對角陣時，二者是一致的。3、它可應用于非線性多變量模型中，因為它不考慮沖擊的范圍、符號和歷史。因此,利用廣義脈沖響應函數得到的結果更具穩(wěn)定性和說服力。廣義脈沖響應的計算如下：,選擇此項，則右邊就不會存在變量順序選擇問題。,廣義脈沖響應,7、方差分解,通過方差分解可以了解到各個變量的沖擊能解釋某個變量的份額以及各個變量有沒有預測作用,因為方差S.E的變動代表著該變量的變動規(guī)律。在模型的輸出窗口中選取Viewvarancedecomposition到方差分解。注意方差也與變量的順序有關。,這圖是顯示M1的方差分解，顯示cpi的沖擊從弱到強，長期來看能解釋m1的40%-48%，而gdp能解釋約6%左右。CPI對M1的沖擊是明顯的。同時表明CPI對M1變動的預測作用約41.3%.,這圖是顯示cpi的方差分解，顯示gdp的沖擊從長期來看能解釋cpi的4%左右，而m1也是能解釋4%左右。兩者相差不大。,這圖是GDP的方差分解，顯示cpi的沖擊基本上能解釋gdp的22%左右。而M1沖擊從弱到強，平均能解釋25%左右。,三、VECM模型,VECM模型是VAR模型的進一步延伸。如果VAR模型是協(xié)整的，則可以構建VAR的誤差修正模型VECM模型。步驟：第一、通過VAR模型確定模型的滯后期。第二、確定協(xié)整方程，由于VAR模型是多個變量，變量間可能存在多個協(xié)整關系，因此用EG兩步法來確定協(xié)整方程是不完整的，可用Johansen協(xié)整檢驗來確定。第三、進行穩(wěn)定性檢驗。第四、求脈沖響應函數和方差分解。,下面用案列來說明此方法的計算過程,我國房地產相關數據，以季度作為計量單位，房地產銷售累計面積（萬平方米）Mz，資金來源非自籌（億元）Cap，本期加權平均利率i（銀行間市場加權平均的7天拆借利率），從1999年第1季度到2010年第4季度，數據來自中宏數據庫，中國產業(yè)分析平臺、CCER數據庫，并經過整理得到。數據文件為：房地產相關數據.wf1，,第一步：確定VECM方程中變量的滯后期,一般地，可以用VAR模型回歸結果的滯后期，最大滯后期一般選取4。因此最后本例選滯后期為4。結果如下，注意滯后期的確定影響協(xié)整結果!,第二步：確定協(xié)整方程（采用Johansen協(xié)整檢驗）,EG兩步法的缺陷是:在小樣本下,參數估計的誤差較大,并且當變量超過兩個以上時，變量間可能存在多個協(xié)整關系，此方法無法找到所有可能的協(xié)整向量，其分析結果不容易解釋，所以EG兩步法主要適用于包括兩個變量即存在單一協(xié)整關系的系統(tǒng)。針對EG兩步法的缺陷，Johansen（1988）提出極大似然估計法（MLE），以檢驗多變量之間的協(xié)整關系，Johansen檢驗的基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數的問題轉化為一個求特征根和對應的特征向量的問題，以此判斷協(xié)整關系是否存在以及協(xié)整關系的個數，Johansen檢驗可用于檢驗多個變量的協(xié)整性，同時求出它們之間的若干協(xié)整關系。,注意輸入的變量順序（capImz)會影響協(xié)整方程的變量形式，但不會影響所確定的協(xié)整方程個數。,此檢驗有五個備選項：1）假設序列無均值、無趨勢項。并且協(xié)整方程中無常數項、無趨勢項。2）假設序列無均值、無趨勢項。并且協(xié)整方程中有常數項、無趨勢項。3）假設序列有線性趨勢項。并且協(xié)整方程中有常數項、無趨勢項。4）假設序列有線性趨勢項。并且協(xié)整方程中有常數項、有線性趨勢項。5）假設序列有二次趨勢項。并且協(xié)整方程中有常數項、有線性趨勢項。,外生變量輸入,顯著性水平輸入,一般的選擇方法是：選項1和5較少用，只有當所有序列均值都為0時，才適用選1。當所有序列都不含趨勢時，適用選項2。當序列含有趨勢，并且趨勢為隨機時，適用選項3。當序列含有趨勢，并且某些序列趨勢為平穩(wěn)時，適用選項4。根據本例情況，采用選項3。,結果如右圖，在5%顯著性水平下,從跡統(tǒng)計量(tracestatistic)看，第一：針對沒有協(xié)整的原假設，結論是:拒絕原假設,有協(xié)整關系；(因為32.7433229.7907)第二，針對至多有一個協(xié)整關系的原假設，結果是：接受至多存在1個協(xié)整關系；第三，針對至多有二個協(xié)整關系的原假設，接受至多存在2個協(xié)整關系。從最大特征值看不存在協(xié)整關系。一般以跡統(tǒng)計量為判斷標準。檢驗下半部分（見下頁）給出了一個、二個協(xié)整關系的各類協(xié)整方程。注意：1、在不同的原假設下，得到不同的結論。2、協(xié)整關系是表示若干個變量的協(xié)整，并非都是指所有變量之間的協(xié)整關系。3、協(xié)整方程以某個變量為基準，這里以cap為基準。cap,I,mz的順序會影響協(xié)整方程中的變量結構，但不會影響存在協(xié)整方程的個數。,解釋:,Johansen檢驗的依據:rank(A*B)如果rank(A*B)=r,表明存在r個協(xié)整關系.rank決定于矩陣A*B中非零特征根的個數,第一部分為存在一個協(xié)整關系的協(xié)整方程，給出的是協(xié)整向量，寫成方程要變負號：Capt=307.866It+0.101095Mzt+1321.24(常數在這里沒有顯示，可以VAR模型中限定1個協(xié)整方程時可顯示出來，見下頁）。,由于是用MLE法估計，因此似然函數值越大越好。,1個協(xié)整關系時的誤差項調整系數。即分別對應