第七章 解析幾何與微分幾何 SECTION9.doc

9 空間曲線一、 曲線的基本概念與公式曲線的方程與正向曲 線 方 程 的 形 式曲 線 的 正 向交面式參數(shù)式或（t為任意參數(shù)，s為曲線的弧長）矢量式r = r ( t )或r = r ( s )（r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s同上） t（或s）增加時，曲線上一點運動的方向 圖 7.18活動標架的三個單位矢量 t為單位切線矢量，方向與曲線的正向一致；n為單位主法線矢量，它指向曲線的凹方；b為單位副法線矢量，b=tn.t,n,b構成右手系（圖7.18）.這三個矢量稱為曲線在點M的活動標架（或叫動標三面形、伴隨三面形，也叫活動標形）.活動標架所在直線和平面的方程 設M為(x0,y0,z0)（圖7.18）.1切線過曲線上兩點N,M的直線NM，當NM時的極限位置.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中表示在點M(x0,y0,z0)處的值，等等.參數(shù)t可以取為弧長s，這時用表示，等等.矢量式 r=r0+（以t為參數(shù)）式中表示在點M(x0,y0,z0)處的值，為另一個參數(shù).交面式式中表示在M點的值，等等.2法面與切線垂直的平面（通過M的法面上一切直線都稱為曲線在M的法線）.其方程為參數(shù)式 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0（以t為參數(shù)）式中也可取弧長s為參數(shù).矢量式 (r-r0) =0（以t為參數(shù)）交面式 3密切面通過曲線上三點M,P,N作一平面，當時，平面的極限位置（切線在密切面上）.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中表示在M點的值，等等，參數(shù)t也可取為弧長s.矢量式 (r-r0)=0（以t為參數(shù)）4主法線法面與密切面的交線.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中l(wèi)=,m=, n=（以s為參數(shù)）表示在點M的值，等等.矢量式 r=r0+（以t為參數(shù)） r=r0+（以s為參數(shù)）式中為另一個參數(shù).5副法線垂直于密切面的直線.其方程為參數(shù)式（以t為參數(shù)）式中l(wèi),m,n如(1)式定義.矢量式r0=r0+ （以t為參數(shù)）6從切面通過切線與副法線的平面.其方程為參數(shù)式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）矢量式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）曲率與撓率的定義與公式公 式 與 意 義圖 形曲率曲率半徑 k表示包含點M的部分曲線偏離直線的程度，也是切線方向對于弧長的轉動率 撓率撓率半徑表示包含點M的部分曲線偏離平面曲線的程度.=0的曲線是平面曲線. 是曲線在點M撓率的絕對值，它等于副法線方向對于弧長的轉動率. 撓率的符號：當點M沿曲線的正向移動時，矢量與n反向，則取正號，反之取負號（圖(b)）(a)(b) 表中分別表示t,b對s的導數(shù).曲率與撓率的計算公式1曲率參數(shù)式k=（以t為參數(shù)） k= （以s為參數(shù)）矢量式k=或（以t為參數(shù)） k=（以s為參數(shù)）2撓率的絕對值參數(shù)式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）矢量式或 （以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）式中s為弧長，t為任意參數(shù)，“”表示對s求導,“” 表示對t求導.雪列-弗萊納公式（或基本公式）,式中t,n,b為活動標架的三個基本單位矢量，為曲率半徑，為撓率半徑.這組公式的特點就是基本矢量t,n,b關于弧長s的導數(shù)可以用t,n,b的線性組合來表達，它的系數(shù)組成一個反對稱方陣：這組公式與=t合并起來描述了點M在曲線上移動時活動標架的運動規(guī)律.把活動標架看作一個剛體，就是當M沿曲線移動時，M的活動標架好象剛體那樣繞M轉動.這時把s看作時間，則根據(jù)運動學的原理可以得出活動標架的瞬時轉動速度的表達式為這表明轉動矢量落在從法面上.這個瞬時轉動矢量稱為達布矢量.它僅分解為兩個矢量t和b，因此活動標架的瞬時轉動可以看作兩個轉動之和.一個轉動對應于t,按轉動速度的定義，它繞著方向為t的軸轉動；另一個繞著方向為b的軸轉動.因此得到曲率與撓率的運動學意義：曲線的曲率等于活動標架繞著副法線的轉動支量，撓率等于繞著切線的轉動支量.最后，由可以驗證，空間曲線的雪列-弗萊納公式就是這就是雪列-弗萊納公式的運動學意義.基本定理與自然方程在一閉區(qū)間asb上給定任意兩個連續(xù)函數(shù)k(s)和(s)，其中k(s)0，則除了空間的位置差別外，唯一地存在一條空間曲線，它以s為弧長，可k(s)為曲率，(s)為撓率.方程組k=k(s),=(s) 稱為空間曲線的自然方程.二、 螺旋線的方程與圖形一般螺旋線與柱面母線的交角為定角()的空間曲線稱為一般螺旋線（或定傾曲線）.這種曲線具有性質：1曲率與撓率的比等于常數(shù)(k=tan).2切線與一固定方向的交角為定角().3主法線與一固定方向垂直.4副法線與一固定方向的交角為定角. 圖 7.19圓柱螺旋線一動點繞一直線作等速轉動，并沿這直線作等速移動，則稱這個動點的軌跡為圓柱螺旋線（圖7.19），其參數(shù)方程為式中，為角速度，h稱為螺距，稱為螺旋角，式中對右螺旋線取正號，對左螺旋線取負號，如果以弧長s為參數(shù)，其方程為 圖 7.20 曲率