三維問題有限元分析(包括軸對稱問題)ppt課件

第六章三維問題有限元分析 講授 陳得良TelQ 416501065Email deliang chen 1 四教學基本內容 第五章三維問題有限元分析第一節(jié)三維應力狀態(tài)第二節(jié)4節(jié)點四面體單元第三節(jié)8節(jié)點六面體等參單元第四節(jié)20節(jié)點等參單元第五節(jié)ansys空間問題實例第六節(jié)空間軸對稱問題有限元法第七節(jié)Ansys軸對稱旋轉問題實例 2 工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題 如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體 受對稱于軸線載荷作用的回轉體 這類問題經典彈性力學往往無能為力 在FEM中 空間問題只要求0階連續(xù) 因此構造單元方便 空間問題簡介 3 空間問題的主要困難 1 離散化不直觀 網格自動生成 2 分割的單元數(shù)量多 未知量的數(shù)目劇增 對某些問題簡化 軸對稱問題 空間分析的優(yōu)點精確 4 6 1三維應力狀態(tài) 工程結構一般都是空間的彈性體 受力作用后 其內部各點將沿x y z坐標軸方向產生位移 是三維空間問題 其應力狀態(tài)如圖6 1所示 圖6 1空間結構應力狀態(tài) 各點沿x y z方向的位移以u v w表示 這些位移為各點坐標的函數(shù) 即 u u x y z v v x y z w w x y z 5 由彈性力學知 應變與位移間的幾何關系是 6 1 三維彈性體的應變分量 用矩陣表示為 6 2 6 彈性體受力作用 內部任意一點的應力狀態(tài)也是三維的 用列向量表示為 在線彈性范圍內 應力與應變間的物理關系矩陣表達式為 對于各向同性彈性體 在三維應力狀態(tài)下 彈性矩陣的形式為 6 3 6 4 7 1 空間問題常用單元 四面體單元 長方體單元 直邊六面體單元 曲邊六面體單元 軸對稱單元 4結點四面體單元 是空間問題最簡單的單元 也是常應變 常應力單元 可以類似平面問題三結點三角形單元進行分析 8結點長方體單元 可以類似平面四結點矩形單元進行分析 8結點直邊六面體單元 可以類似平面四結點任意四邊形等參元分析 20結點曲邊六面體單元 等參單元 可以類似平面八結點曲邊四邊形等參元進行分析 軸對稱單元 一平面單元繞一對稱軸旋轉形成的空間問題 只需在rz平面劃分網格 就像平面問題xy平面中的網格一樣 這樣這類空間問題可以得到簡化 環(huán)向位移等于零 2 結點位移3個分量 3 基本方程比平面問題多 3個平衡方程 6個幾何方程 6個物理方程 8 6 2四節(jié)點四面體單元 圖6 2表示任一簡單四面體單元 其中四個結點編號設為i j m n 或1 2 3 4 單元變形時 各結點沿x y z方向上的位移 以列向量表示為 圖6 2四面體單元 8 單元變形時 單元內各點也有沿x y z方向的位移u v w 一般應為坐標x y z的函數(shù) 對于這種簡單的四面體單元 其內部位移可假設為坐標的線性函數(shù) 為滿足變形協(xié)調條件 取為 6 5 式 6 5 含有12個待定系數(shù)a 可由單元的12項結點位移決定 將4個結點的坐標值代入式 6 5 的u式中 i j m n共4個結點 分別有 6 6 1單元形函數(shù) 9 其中 式中 V為四面體的體積 且有 6 7 由式 6 6 求出 再代回式 6 5 中 整理后得 10 為使四面體的體積V不為負值 在右手坐標系中 使右手旋轉按著由i j m的轉向轉動時 且法向n方向前進 用求位移u的同樣方法 可求得 將位移的3個線性方程形成的線性方程組用矩陣表示為 6 8 式中 6 9 11 2單元剛度矩陣 將式 6 8 代入幾何方程式 6 2 經過微分運算 可得單元內應變?yōu)?6 10 式中 6 11 簡單四面體單元內 各點的應變都是一樣的 這是一種常應變單元 是三維單元中精度最低的單元 這一點與平面問題的簡單三角形單元相似 由于單元內位移都假定為線性變化的 因而由位移一階導數(shù)組成的應變也為常量 12 同樣 用虛功原理建立結點力和結點位移間的關系式 從而得出簡單四面體單元的剛度矩陣 6 12 6 13 按結點分塊表示 此單元剛度矩陣可表示為 6 14 13 r i j m n S i j m n 6 15 式中 彈性體三維 空間 問題的原始平衡方程組 即 其中 其中任一子矩陣為 14 3整體結構載荷列向量 整體結構的結點載荷列向量 6 16 式中 單元上集中力等效結點載荷列向量 單元上表面力等效結點載荷列向量 單元上體積力等效結點載荷列向量 單元結點載荷列向量 等效結點力公式為 式中 15 6 38節(jié)點六面體等參單元 8 x5 y5 z5 7 如同二維等參單元一樣 三維等參單元的有關公式的建立也是采用局部自然坐標 曲面坐標 可參考的母體單元則為一正六面體 圖6 3則表示了任意六面體單元與母體單元 局部的三維自然坐標與整體的直角坐標系的幾何關系 母體單元 任意六面體單元 對面不全平行 圖6 38結點三維等參單元 16 用形函數(shù)表示的位移插值形式的位移模式 可以直接利用拉格朗日插值公式 得到單元位移函數(shù)為 根據(jù)等參單元的定義 自然坐標與整體直角坐標之間的關系可以寫為 其中形函數(shù)為 例 其中為節(jié)點坐標值 角點 17 由節(jié)點位移求單元應變時 他要求形函數(shù)在整體坐標下的導數(shù) 但形函數(shù)是建立在局部坐標下的 這就需要將局部坐標中的表達式轉換到整體坐標系中 如同平面等參單元一樣 需要通過雅克比矩陣來實現(xiàn) 由偏導法則 同理可得 寫成矩陣 18 求單元剛度矩陣 尚需對積分的單元體積進行積分變換 反之 有了上式很容易得到單元的應變應力矩陣 19 6 420結點等參元 為適應三維結構的曲面邊界 可以采用曲面六面體單元 正方體基本單元內任一點與實際曲面單元內的點一一對應 結點也一一對應 這里 實際單元邊界線中間的結點9 10 20 都 映射 成為正方體的棱邊中點 8結點單元是線性單元 其位移模式是三維線性的 在8結點單元的基礎上每邊增加一個中點作為節(jié)點就構成了20節(jié)點單元 此時六面體單元每條邊上有3個節(jié)點 他們既可以是直線的 也可以是曲線的 因此每個面也可以是平面的 也可以是曲面的 1形狀函數(shù) 20 a 直角坐標系與實際單元 b 自然坐標系與基本單元 圖6 320結點三維等參單元 位移函數(shù)和幾何坐標的變換式應取為相同的參數(shù) 其坐標變換關系可表示為 6 17 則單元的位移函數(shù)可寫成 21 6 18 在自然坐標系 局部坐標系 中 各結點的形狀函數(shù)可寫成如下形式 對于8個頂角結點 i 1 2 8 式中xi yi zi 結點i的坐標 ui vi wi 結點i沿x y z方向的位移 Ni 對應于i結點的形狀函數(shù) 22 對于的邊上點 i 17 18 19 20 6 19 對于的邊上點 i 9 11 13 15 對于的邊上點 i 10 12 14 16 23 2單元剛度矩陣 三維變形狀態(tài)下 一點的應變與位移的幾何關系為 6 20 24 6 22 為便于以下計算 彈性矩陣 D 可分塊寫為 6 23 令 則 為60 60的方陣 可按結點寫為子塊形式 25 式中第i行j列的子矩陣為 6 24 將 6 20 6 22 分塊式代入 6 23 其被積函數(shù)可寫為 6 25 式中 與式 5 9 相似 按坐標變換式 6 17 應有 26 同樣可有 6 26 三維六面體的雅可比矩陣為 6 27 同理可采用三維高斯求積公式計算單元剛度矩陣 即 27 式中 L M N為沿 方向的積分點數(shù)目 而積分點坐標及權重可由高斯積分表查得 對于20節(jié)點的三維單元 通?？扇》e分點數(shù)目m 3 即3 3 3 查表可得對應的積分點坐標和權重為 28 參照方法 可以很方便的得到另外兩個方向的積分點坐標值和權重 29 6 5ANSYS空間問題示例 1問題描述 如圖6 4所示 一個圓柱實體 柱高0 2m 圓柱橫截面直徑為0 1m 約束方式 底面全約束 承受載荷 A點承受Z方向集中載荷Fz 5000N和Y方向集中載荷Fy 5000N B點承受X方向集中載荷Fx 5000N C點承受Z方向集中載荷Fz 5000N D點承受X方向集中載荷Fx 5000N 彈性模量為EX 210GP 泊松比 0 3 2ANSYS求解操作過程 30 1 選擇單元類型運行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 彈出ElementTypes對話框 如圖6 5所示 然后單擊Add 彈出LibraryofElementTypes窗口 如圖6 6所示 選擇SOLID45單元 單擊OK 圖6 5單元類型對話框 圖6 6單元類型庫對話框 31 2 設置材料屬性運行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 彈出如圖6 7所示對話框 雙擊Isotropic 彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框 如圖6 8所示 在EX選項欄中設置數(shù)值2 1e11 在PRXY選項欄中設置數(shù)值0 3 設置完畢單擊OK按鈕 圖6 7選擇材料屬性對話框 圖6 8設置材料屬性對話框 32 3 建立模型運行Preprocessor Modeling Create Areas Rectangle By2Corners 彈出如圖6 9所示對話框 在WPX選項欄中填寫0 在WPY選項欄中填寫0 在Width選項欄中填寫0 05 在Height選項欄中填寫0 2 點擊OK 生成如圖6 10所示圖形 圖6 9兩點建立矩形對話框 圖6 10生成的長方形面 33 將長方形旋轉成柱體 運行Preprocessor Modeling Operate Extrude Areas AboutAxis 彈出如圖6 11所示拾取框 選擇圖7中長方形后彈出單擊OK 再選擇長方形左上角和左下角結點后 單擊OK 彈出如圖6 12所示對話框 在ARC選項欄中填入旋轉角度360度 設置完畢單擊OK按鈕 生成如圖6 13所示圓柱體 圖6 11拾取對稱軸對話框 圖6 12設置繞軸旋轉參數(shù)對話框 圖6 13圓柱模型 34 運行Meshing SizeCntrls ManualSize Global Size彈出如圖6 14所示對話框 設置SIZE選項欄中的數(shù)據(jù)為0 01 運行Meshing Mesh Volumes Free自由劃分網格后得到如圖6 15所示圖形 圖6 14設置網格尺寸對話框 圖6 15圓柱有限元模型 5 施加約束運行Solution DefineLoads Apply Displacement OnAreas 拾取圓柱的底面 施加全約束 35 6 施加載荷顯示圖形的關鍵點 運行PlotCtrls Numbering彈出如圖6 16所示對話框 激活KPNumbers后面的選框 使它變成on形式 選擇菜單Solution DefineLoads Apply Structure Force MomentOnKeypoints 載荷分別如下 8點承受Z方向集中載荷Fz 5000N和Y方向集中載荷Fy 5000N 10點承受X方向集中載荷Fx 5000N 3點承受Z方向集中載荷Fz 5000N 6點承受X方向集中載荷Fx 5000N 施加載荷 圖形如圖6 17所示 圖6 16編號顯示設置對話框 36 圖6 17圓柱實體示意圖 7 求解選擇Solution Solve CurrentLS 開始計算 計算結束會彈出計算完畢對話框 單擊Close 關閉對話框計算完畢 8 后處理運行GeneralPostproc PlotResults ContourPlot NodalSolu 彈出如圖6 18所示對話框 運行DOFSolution Displacementvectorsum和Stress vonMisesstress 分別顯示圓柱體的位移和應力云圖 37 圖6 18云圖顯示對話框 結果顯示如圖6 19和圖6 20所示 38 圖6 19位移云圖圖6 20應力云圖 39 6 6空間軸對稱問題的有限元法 對空間軸對稱問題 常采用圓柱坐標系 r表示徑向坐標 z表示軸向坐標 任一對稱面為rz面 在有限元分析時 可采用軸對稱的環(huán)形單元進行 環(huán)形單元可以是任何平面單元 某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉形成的回轉體稱為軸對稱物體 此平面稱為子午面 在動力機械 特別是葉輪機械中 有很多零件都具有軸對稱特性 比如輪盤 旋轉軸 承力環(huán)等 對于直齒圓柱齒輪 由于齒的存在 嚴格地說它并非軸對稱物體 如果忽略齒的部分 將齒用外載荷表示 則所得到的齒根以內的旋轉體部分為軸對稱物體 軸對稱物體的變形及應力分布不一定是軸對稱的 只有當其約束和載荷都對稱于旋轉軸時 軸對稱物體的變形和應力分布才是軸對稱的 軸對稱物體 軸對稱約束 軸對稱載荷 軸對稱系統(tǒng)對軸對稱系統(tǒng)的應力分析 軸對稱物體 40 1 幾何形狀關于軸線對稱 2 作用于其上的載荷關于軸線對稱 3 約束條件關于軸線對稱 因過z軸的任一子午面都是對稱面 其上任一點p只在該平面上發(fā)生位移 即彈性體內任一點的位移 應力與應變只與坐標r z有關 與無關 從而 軸對稱問題可轉化為二維問題 但因與平面問題有區(qū)別 常稱為二維半問題 柱坐標系 41 注意 應變雖然與無關 但是周向應變 周向應力 由徑向位移引起 因為徑向位移會導致周長的改變 1 基本方程 位移分量 應力分量 應變分量 42 虛功方程 應變分量 軸對稱問題的彈性矩陣 43 2 軸對稱問題的離散化 對于軸對稱問題 利用其軸對稱特性 在對其進行網格劃分時可知取任意通過Z軸的截面進行 類似平面問題的網格形式 本節(jié)以三角形單元為例 1 位移模式 軸對稱問題的環(huán)向位移恒等于零 徑向r位移與軸向z位移不等于零 對于圖示情形 依照平面問題的三角形單元分析 取位移模式為 代入結點位移后 可解出a1 a6 再代入上式 得 x r y z 44 其中形函數(shù) 單元中位移 根據(jù)彈性力學理論 空間軸對稱問題的幾何方程為 2 單元中應變 45 將u w表達式代入上式 整理后 46 式中 其中 B 矩陣中含有變量r z 因此它不是常數(shù)矩陣 即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應變單元 47 3 單元中應力 根據(jù)彈性力學理論 空間軸對稱問題的應力 應變關系為 彈性矩陣 48 單元中任意一點的應力 4 單元剛度矩陣 由于被積函數(shù)與 無關 故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分 故有 49 單元剛度矩陣的積分參照圖示分區(qū) 按下式采用數(shù)值積分的方法進行 50 當單元較小時 可把各個單元中的r z近似看作常數(shù) 并且分別等于各單元形心的坐標 即 這樣 就可把各個單元近似地當做常應變單元 51 單元剛度矩陣 k 的分塊形式 其中的近似子矩陣為 52 5 等效結點荷載 類似平面問題 對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力 表面力的等效結點力為 體力 53 面力 1 均布表面力設單元ij邊上作用均布表面力 其集度為 l 當ri rj時 靜力等效原則 54 2 三角形分布表面力沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力 表面力在i點集度為 當ri rj時 靜力等效原則 2 3集中在i點 1 3集中在j點 55 56 圓筒直徑0 4m 高度0 6m 壁厚0 005m 材料Q235 彈性模量E 2 1e11Pa 泊松比 0 3 約束 圓筒的下部在軸線方向固定 其它方向自由 載荷 頂部環(huán)線上承受軸向線壓力P 200000N m 圖6 4圓筒示意圖 圖6 5單元類型對話框 1問題描述 6 7ANSYS軸對稱旋轉單元計算示例 57 1 選擇單元類型運行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 彈出ElementTypes對話框單擊Add 彈出LibraryofElementTypes對話框 如圖7 6所示 選擇SHELL51單元 2ANSYS求解操作過程 圖7 6單元類型庫對話框 圖7 7選擇材料屬性對話框 58 2 設置材料屬性運行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 彈出DefineMaterialModelBehavior對話框 如圖7 7所示 雙擊Isotropic選項 彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框 如圖7 8所示 圖7 8設置材料屬性對話框 59 3 定義單元實常數(shù)選擇MainMenu Preprocessor RealConstants Add Edit Delete 彈出如圖7 9所示對話框 單擊Add按鈕彈出ElementTypeforRealConstants對話框 如圖7 10所示 選擇Type1SHELL51 單擊OK 彈出RealConstantSetNumber1 forSHELL51對話框 如圖7 11所示 在TK I 項輸入0 005 單擊OK 圖7 9實常數(shù)對話框圖7 10選擇要設置實常數(shù)的單元類型 60 圖7 11設置SHELL51實常數(shù)對話框 4 建立模型首先生成關鍵點 運行主菜單Preprocessor Modeling Create Keypoints InActiveCS 彈出如圖7 12所示對話框 創(chuàng)建關鍵點1 0 2 0 0 2 0 2 0 6 0 生成圓筒母線 運行MainMenu Preprocessor Modeling Create Lines Lines StraightLine 彈出拾取關鍵點對話框 拾取關鍵點1 2 單擊OK 61 圖7 12創(chuàng)建關鍵點對話框 5 設置單元屬性運行MainMenu Preprocessor Meshing MeshTool 彈出MeshTool對話框 在ElementAttributes下拉列表中選擇Lines 然后單擊其后的Set按鈕彈出拾取線對話框 單擊PickAll 彈出分配線單元屬性對話框 將MAT TEAL TYPE依次設置為1 1 1 單擊OK 6 劃分網格 62 單擊MeshTool中Lines后的Set按鈕 彈出拾取線對話框 單擊PickAll彈出控制線單元尺寸對話框 將NDIV設置為10 單擊OK 在MeshTool對話框中的Mesh下拉列表中選擇Lines單擊Mesh 彈出拾取線對話框 單擊PickAll 劃分網格完畢 運行PlotCtrls Style Si