電路基礎(chǔ)課件-第6章非正弦周期信號電路.ppt

第6章非正弦周期信號電路 6 1非正弦周期信號及分解6 2非正弦周期信號的頻譜6 3非正弦周期信號的有效值 平均值和平均功率6 4非正弦周期電路的計算小結(jié) 6 1非正弦周期信號及分解 6 1 1非正弦周期信號幾種常見的非正弦波 圖6 1幾種常見的非正弦波 a 尖脈沖電流 b 矩形波電壓 c 鋸齒波電壓 6 1 2非正弦周期信號的分解在介紹非正弦周期信號的分解之前 我們先討論幾個不同頻率的正弦波的合成 設(shè)有一個正弦電壓u1 U1msin t 其波形如圖6 2 a 所示 顯然這一波形與同頻率矩形波相差甚遠 如果在這個波形上面加上第二個正弦電壓波形 其頻率是u1的3倍 而振幅為u1的1 3 則表示式為 其波形如圖6 2 b 所示 如果再加上第三個正弦電壓波形 其頻率為u1的5倍 振幅為u1的1 5 其表示式為 其波形如圖6 2 c 所示 照這樣繼續(xù)下去 如果疊加的正弦項是無窮多個 那么它們的合成波形就會與圖6 2 d 的矩形波一樣 圖6 2矩形波的合成 由此可以看出 幾個不同頻率的正弦波可以合成一個非正弦的周期波 反之 一個非正弦的周期波可以分解成許多不同頻率的正弦波之和 由數(shù)學(xué)知識可知 如果一個函數(shù)是周期性的 且滿足狄里赫利條件 那么它可以展開成一個收斂級數(shù) 即付里葉級數(shù) 電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)一般都能滿足這個條件 設(shè)給定的周期函數(shù)f t 的周期為T 角頻率 2 T 則f t 的付里葉級數(shù)展開式為 6 1 利用三角函數(shù)公式 還可以把式 6 1 寫成另一種形式 6 2 式中 a0 ak bk稱為付里葉系數(shù) 可由下列積分求得 6 3 式 6 1 和式 6 2 各系數(shù)之間存在如下關(guān)系 6 4 例6 1已知矩形周期電壓的波形如圖6 3所示 求u t 的付里葉級數(shù) 解圖示矩形周期電壓在一個周期內(nèi)的表示式為 6 5 圖6 3例6 1圖 由式 6 3 可知 當(dāng)k為奇數(shù)時 當(dāng)k為偶數(shù)時 由此可得 例6 2求圖6 4所示周期信號的付里葉級數(shù)展開式 解i t 在一個周期內(nèi)的表示式為 圖6 4例6 2圖 利用分步積分法及 得 利用函數(shù)的對稱性質(zhì) 可使系數(shù)a0 ak bk的確定得到簡化 1 如果周期函數(shù)的波形對稱于橫軸 即在一個周期內(nèi) 橫軸上方的正面積與橫軸下方的負面積互相抵消 就不存在直流分量 如圖6 3所示 2 如果周期函數(shù)的波形對稱于坐標原點 即f t f t 為奇函數(shù) 如圖6 4所示 其付里葉級數(shù)展開式將不含直流分量和余弦項 只含正弦項 3 如果周期函數(shù)的波形對稱于縱軸 即f t f t 為偶函數(shù) 如圖6 5所示 將它分解成付里葉級數(shù)時 將不含正弦項 只含有直流分量和余弦項 4 如果函數(shù)的波形是鏡像對稱 即f t f t T 2 也就是在任一周期內(nèi)把第二個半波的波形向前移動 i t 的付里葉級數(shù)展開式為 圖6 5偶函數(shù)波形 圖6 6鏡像對稱波形成 作業(yè) P181頁 3 P194頁6 1 6 2非正弦周期信號的頻譜 1 振幅頻譜圖的作法 圖6 9振幅頻譜圖 畫出一個直角坐標 以諧波角頻率k 為橫坐標 在各諧波角頻率所對應(yīng)的點上 作出一條條垂直的線叫做譜線 如果每條譜線的高度代表該頻率諧波的振幅 這樣畫出的圖形稱為振幅頻譜圖 如圖6 9所示 將各譜線的頂點連接起來的曲線 一般用虛線表示 稱為振幅包絡(luò)線 例6 3圖6 10 a 為電視機和示波器掃描電路中常用的鋸齒波 試畫出其振幅頻譜圖 解查表6 1 可得鋸齒波電壓的付里葉級數(shù)展開式為 圖6 10例6 3圖 根據(jù)上式可以畫出其頻譜圖如圖6 10 b 所示 例6 4圖6 11給出了矩形脈沖電壓的波形 它是無線電技術(shù)中一種很重要的信號 其中脈沖幅度為Um 脈沖的持續(xù)時間為 脈沖的周期為 試畫出其頻譜圖 圖6 11例6 4圖 解該信號在一個周期的數(shù)學(xué)表達式為 由于此信號對稱于縱軸 因此 bk 付里葉級數(shù)不含正弦分量 只含直流分量和余弦分量 若令T 3 則其頻譜圖如圖6 11 b 所示 2 周期信號的頻譜特性 1 頻譜是由一系列不連續(xù)的譜線組成 2 相臨兩條譜線之間的間隔是基波頻率 譜線的這種 矩形脈沖的付里葉級數(shù)展開式為 性質(zhì)稱為譜波性 3 各譜線的高度 總的趨勢是逐漸減小的 4 如果脈沖的周期T不變 脈沖的持續(xù)時間 減小 也就是脈沖變窄 此時 振幅頻譜的收斂速度將變慢 如圖6 12 b 所示 此圖的 2 T 6 與圖6 12 a 比較 T 3 收斂速度明顯變慢了 5 如果脈沖的持續(xù)時間 不變 周期T增大時 譜線將變密 如圖6 12 c 所示 此圖的T 6 作業(yè) P195頁6 2 6 3非正弦周期信號的有效值 平均值和平均功率 6 3 1有效值 6 6 下面我們討論非正弦周期信號的有效值與各次諧波有效值的關(guān)系 若將電流i分解成付里葉級數(shù) 將上式積分號內(nèi)直流分量與各次諧波之和的平方展開 結(jié)果有以下四種類型 將該表達式代入式 6 6 得 因此 電流i的有效值可按下式計算 同理 非正弦周期電壓的有效值為 6 7 6 8 所以 非正弦周期電流和電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根 各次諧波有效值與最大值之間的關(guān)系為 例6 5已知周期電流的付里葉級數(shù)展開式為i 100 63 7sin t 31 8sin2 t 21 2sin3 tA求其有效值 解 所以 電流i的有效值為112 9A 6 3 2平均值 實踐中還會用到平均值的概念 以電流為例 其定義為 6 9 即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值 式 6 9 也稱為整流平均值 它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值 例如 當(dāng)i Imsin t時 其平均值為 比較式 6 3 6 6 6 9 可以看出 非正弦交流電路中的直流分量 有效值和平均值是三個不同的概念 應(yīng)加以區(qū)分 6 3 3平均功率設(shè)有一個二端網(wǎng)絡(luò) 在非正弦周期電壓u的作用下產(chǎn)生非正弦周期電流i 若選擇電壓和電流的方向一致 如圖6 14所示 此二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時功率和平均功率為 同理 電壓平均值的表示式為 6 10 圖6 14平均功率用圖 將電壓和電流展開成付里葉級數(shù) 有 二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為 將上式積分號內(nèi)兩個積數(shù)的乘積展開 分別計算各乘積項在一個周期內(nèi)的平均值 有以下五種類型項 因此 二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率可按下式計算 6 11 其中 是k次諧波的平均功率 必須注意 只有同頻率的諧波電壓和電流才能構(gòu)成平均功率 不同頻率的諧波電壓和電流不能構(gòu)成平均功率 也不等于端口電壓的有效值與端口電流有效值的乘積 例6 6流過10 電阻的電流為i 10 28 28cost 14 14cos2tA求其平均功率 解 例6 7某二端網(wǎng)絡(luò)的電壓和電流分別為u 100sin t 30 50sin 3 t 60 25sin5 tV i 10sin t 30 5sin 3 t 30 2sin 5 t 30 A求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的功率 解基波功率 三次諧波功率 五次諧波功率 作業(yè) P195頁6 46 6 因此 總的平均功率為 6 4非正弦周期電路的計算 把付里葉級數(shù) 直流電路 交流電路的分析和計算方法以及疊加原理應(yīng)用于非正弦的周期電路中 就可以對其電路進行分析和計算 其具體步驟如下 1 把給定的非正弦輸入信號分解成直流分量和各次諧波分量 并根據(jù)精度的具體要求取前幾項 2 分別計算各諧波分量單獨作用于電路時的電壓和電流 但要注意電容和電感對各次諧波表現(xiàn)出來的感抗和容抗的不同 對于k次諧波有 3 應(yīng)用線性電路的疊加原理 將各次諧波作用下的電壓或電流的瞬時值進行疊加 應(yīng)注意的是 由于各次諧波的頻率不同 不能用相量形式進行疊加 例6 8如圖6 15 a 所示的矩形脈沖作用于圖6 15 b 所示的RLC串聯(lián)電路 其中矩形脈沖的幅度為100V 周期為1ms 電阻R 10 電感L 10mH 電容C 5F 求電路中的電流i及平均功率 解查表6 1可得矩形脈沖電壓的付里葉級數(shù)表達式為 其中基波頻率 若取前三項就有圖6 15 c 所求的等效電路 圖6 15例6 8圖 1 求直流分量 當(dāng)U0 50V的直流電壓作用于電路時 電感相當(dāng)于短路 電容相當(dāng)于開路 故I0 0 2 求基波分量 3 求三次諧波分量 4 將各次諧波分量的瞬時值疊加得 電路中的平均功率為 例6 9如圖6 16所示的電路 R 3 L 0 4H C 1000 F u 45 180sin10t 60sin30tV 求電流i及其有效值 解 1 求直流分量 2 求基波分量 3 求三次諧波分量 4 疊加后可得電流i為 5 電流i的有效值為 例6 10為了減小整流器輸出電壓的紋波 使其更接近直流 常在整流的輸出端與負載電阻R間接有LC濾波器 其電路如圖6 17 a 所示 若已知R 1k L 5H C 30 F 輸入電壓u的波形如圖6 17 b 所示 其中振幅Um 157V 基波角頻率 314rad s 求輸出電壓uR 圖6 17例6 10圖 解查表6 1 可得電壓u的付里葉級數(shù)為 取到四次諧波 并代入Um 157V得 1 求直流分量 對于直流分量 電感相當(dāng)于短路 電容相當(dāng)于開路 故U0R 100V 2 求二次諧波分量 3 求四次諧波分量 4 輸出電壓為 比較本例題的輸入電壓和輸出電壓 可看到 二次諧波分量由原本占直流分量的66 7 減小到1 15 四次諧波分量由原本占直流分量的13 3 減小到0 056 因此 輸入電壓u經(jīng)過LC濾波后 高次諧波分量受到抑制 負載兩端得到較平穩(wěn)的輸出電壓 作業(yè) P195頁6 86 96 106 11 小結(jié) 1 非正弦的周期信號 在滿足狄里赫利條件的情況下可以分解成付里葉級數(shù) 付里葉級數(shù)一般包含有直流分量 基波分量和高次諧波分量 它有兩種表示式 兩種形式的系數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系為 一般都是先求ak bk后 再利用上式求出Ak和 k 2 非正弦周期信號還可以用頻譜圖來表示 所謂頻譜圖 就是用譜線表示各次諧波的振幅和相位 然后把這些線段由高到低依次排列起來 非正弦周期信號的頻譜有以下特點 頻譜的離散性 頻譜的譜波性 頻譜的收斂性 脈寬與頻寬成反比 3 非正弦周期信號有效值的定義與正弦信號有效值的定義相同 即 與各次諧波分量有效值的關(guān)系為 非正弦交流電路的平均值指一個周期內(nèi)函數(shù)絕對值的平均值 其定義為 非正弦交流電路的平均功率的定義也與正弦交