2021高三數學北師大版（理）：離散型隨機變量及其分布列含解析.doc

教學資料范本2021高三數學北師大版（理）：離散型隨機變量及其分布列含解析編 輯：_時 間：_最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用1離散型隨機變量的分布列(1)將隨機現象中試驗(或觀測)的每一個可能的結果都對應于一個數，這種對應稱為一個隨機變量(2)離散型隨機變量：隨機變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量(3)設離散型隨機變量X的取值為a1，a2，ai，ar，隨機變量X取ai的概率為pi(i1,2，r)，記作：P(Xai)pi(i1,2，r)，或把上式列表：Xaia1a2aiarP(Xai)p1p2pipr稱為離散型隨機變量X的分布列(4)性質：pi0，i1,2，r；p1p2pr1.2超幾何分布一般地，設有N件產品，其中有M(MN)件次品從中任取n(nN)件產品，用X表示取出的n件產品中次品的件數，那么P(Xk)(其中k為非負整數)如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數為N，M，n的超幾何分布一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)離散型隨機變量的分布列中，各個概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布()X25P0.30.7(4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數X服從超幾何分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1設隨機變量X的分布列如下：X12345Pp則p為()ABCDC由分布列的性質知，p1，p1.2從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量表示所選3人中女生的人數，則P(1)等于()AB CDDP(1)1P(2)1.3有一批產品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數X的所有可能取值是_0,1,2,3因為次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品數X的可能取值為0,1,2,3.4從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為_ X012P0.10.60.3因為X的所有可能取值為0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3，所以X的分布列為X012P0.10.60.3考點1離散型隨機變量的分布列的性質分布列性質的2個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值及檢查分布列的正確性(2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率1.隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數列，則P(|X|1)_，公差d的取值范圍是_因為a，b，c成等差數列，所以2bac.又abc1，所以b，所以P(|X|1)ac.又ad，cd，根據分布列的性質，得0d，0d，所以d.2設隨機變量X的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P；(3)求P.解(1)由分布列的性質，得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)PPPP(X1)345.(3)PPPP.由于分布列中每個概率值均為非負數，故在利用概率和為1求參數值時，務必要檢驗教師備選例題設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量Y2X1的分布列；(2)求隨機變量|X1|的分布列；(3)求隨機變量X2的分布列解(1)由分布列的性質知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為：X012342X113579從而Y2X1的分布列為Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表為X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.3(3)首先列表為X01234X2014916從而X2的分布列為014916P0.20.10.10.30.3考點2求離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列(4)做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P求解本題的關鍵是明確題設限制條件：“不放回”、“直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結束”教師備選例題一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列解(1)由題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，故所求概率為P11.(2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,4，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機變量X的分布列是X1234P袋子中有1個白球和2個紅球(1)每次取1個球，不放回，直到取到白球為止，求取球次數X的分布列；(2)每次取1個球，有放回，直到取到白球為止，但抽取次數不超過5次，求取球次數X的分布列；(3)每次取1個球，有放回，共取5次，求取到白球次數X的分布列解(1)X可能取值1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X分布列為X123P(2)X可能取值為1,2,3,4,5.P(Xk)k1，k1,2,3,4，P(X5)4.故X分布列為X12345P(3)因為XB，所以X的分布列為P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.X012345P5考點3超幾何分布求超幾何分布的分布列的步驟 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列解(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則P(A).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).綜上知，X的分布列為X123P母題探究1在本例條件下，求至少有一個豆沙粽的概率解由題意知，至少有一個豆沙粽的概率PP(X1)P(X1)P(X2).2若本例中的X表示取到的粽子的種類，求X的分布列解由題意知X的所有可能值為1,2,3，且P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X1)P(X3)1.綜上可知，X的分布列為X123P 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，其實質是古典概型，主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型教師備選例題(20xx天津高考)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列；設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率【解】(1)由題意得，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)則P(X0)，P(X1)，P(X3)，則P(X2)1，所以，隨機變量X的分布列為X0123P設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則ABC，且B與C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A發(fā)生的概率為.在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產品中任取3件，求：(1)取出的3件產品中一等品件數X的分布列；(2)取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率解(1)由于從10件產品中任取3件的結果數為C，從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數為CC，那么從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(Xk)，k0,1,2,3.所以隨機變量X的分布列