彈性力學及有限元ppt課件

引言 對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用 對稱軸面上剪應力等于零 反對稱載荷作用下 對稱面上的正應力等于零 對稱條件 例1 如圖所示 試寫出其邊界條件 q 1 2 3 4 例2 如圖所示 試寫出其邊界條件 1 AB段 y 0 代入邊界條件公式 有 2 BC段 x l 3 AC段 y xtan 3 混合邊界條件 1 物體上的一部分邊界為位移邊界 另一部為應力邊界 2 物體的同一部分邊界上 其中一個為位移邊界條件 另一為應力邊界條件 如 圖 a 位移邊界條件 應力邊界條件 圖 b 位移邊界條件 應力邊界條件 例7 圖示矩形截面水壩 其右側(cè)受靜水壓力 頂部受集中力作用 試寫出水壩的應力邊界條件 左側(cè)面 代入應力邊界條件公式 右側(cè)面 代入應力邊界條件公式 有 上端面 為次要邊界 可由圣維南原理求解 y方向力等效 對O點的力矩等效 x方向力等效 注意 必須按正向假設(shè) 3 按位移求解平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 20 2 邊界條件 位移邊界條件 2 17 應力邊界條件 2 21 3 按應力求解平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 2 2 相容方程 形變協(xié)調(diào)方程 2 23 3 邊界條件 2 18 平面應力情形 說明 1 對位移邊界問題 不易按應力求解 2 對應力邊界問題 且為單連通問題 滿足上述方程的解是唯一正確解 3 對多連通問題 滿足上述方程外 還需滿足位移單值條件 才是唯一正確解 例8 下面給出平面應力問題 單連通域 的應力場和應變場 試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場 不計體力 1 2 解 a b 1 將式 a 代入平衡方程 2 2 滿足 將式 a 代入相容方程 式 a 不是一組可能的應力場 例8 下面給出平面應力問題 單連通域 的應力場和應變場 試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場 不計體力 1 2 a b 2 解 將式 b 代入應變表示的相容方程 式 b 滿足相容方程 b 為可能的應變分量 例9 圖示矩形截面懸臂梁 在自由端受集中力P作用 不計體力 試根據(jù)材料力學公式 寫出彎曲應力和剪應力的表達式 并取擠壓應力 0 然后說明這些表達式是否代表正確解 解 材料力學解答 式 a 滿足平衡方程和相容方程 a 式 a 是否滿足邊界條件 代入平衡微分方程 2 2 顯然 平衡微分方程滿足 式 a 滿足相容方程 再驗證 式 a 是否滿足邊界條件 滿足 滿足 近似滿足 近似滿足 結(jié)論 式 a 為正確解 代入相容方程 上 下側(cè)邊界 右側(cè)邊界 左側(cè)邊界 2 常體力下平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 2 2 相容方程 形變協(xié)調(diào)方程 3 邊界條件 2 18 4 位移單值條件 對多連通問題而言 討論 1 Laplace方程 或稱調(diào)和方程 2 常體力下 方程中不含E a b 不同材料 具有相同外力和邊界條件時 其計算結(jié)果相同 光彈性實驗原理 3 用平面應力試驗模型 代替平面應變試驗模型 為實驗應力分析提供理論基礎(chǔ) 3 常體力下體力與面力的變換 平衡方程 相容方程 邊界條件 令 常體力下 滿足的方程 a 將式 b 代入平衡方程 相容方程 邊界條件 有 b c 表明 1 變換后的平衡方程 相容方程均為齊次方程 容易求解 2 變換后問題的邊界面力改變?yōu)?結(jié)論 當體力X 常數(shù) Y 常數(shù)時 可先求解無體力而面力為 問題的解 而原問題的解為 例如 p 圖示深梁在重力作用下的應力分析 原問題 體力 邊界面力 所求應力 變換后的問題 體力 邊界面力 1 當y 0時 2 當y h時 3 當y 2h時 所求得的應力 原問題的應力 常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點 好處 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用 1 方便分析計算 齊次方程易求解 2 實驗測試時 一般體力不易施加 可用加面力的方法替代加體力 注意 面力變換公式 與坐標系的選取有關(guān) 因此 適當選取坐標系 可使面力表達式簡單 常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點 好處 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用 1 方便分析計算 齊次方程易求解 2 實驗測試時 一般體力不易施加 可用加面力的方法替代加體力 注意 面力變換公式 與坐標系的選取有關(guān) 因此 適當選取坐標系 可使面力表達式簡單 將式 d 第一式改寫為 由微分方程理論 必存在一函數(shù)A x y 使得 e f 同理 將式 d 第二式改寫為 g h 比較式 f 與 h 有 也必存在一函數(shù)B x y 使得 2 通解 式 a 的齊次方程 d 的通解 由微分方程理論 必存在一函數(shù) x y 使得 i j 將式 i j 代入 e f g h 得通解 k 2 通解 式 a 的齊次方程 d 的通解 對應于平衡微分方程的齊次方程通解 3 全解 取特解為 則其全解為 2 26 常體力下平衡方程 a 的全解 由式 2 26 看 不管 x y 是什么函數(shù) 都能滿足平衡方程 x y 平面問題的應力函數(shù) Airy應力函數(shù) 按應力求解平面問題 X 常量 Y 常量 的歸結(jié)為 1 2 27 2 然后將代入式 2 26 求出應力分量 先由方程 2 27 求出應力函數(shù) 2 26 3 再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件 多連體問題 3 應力函數(shù)求解方法 2 28 無體力情形 3 應力函數(shù)求解方法 1 逆解法 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點 邊界條件等 假設(shè)各種滿足相容方程 2 27 的 x y 的形式 2 主要適用于簡單邊界條件的問題 然后利用應力分量計算式 2 26 求出 具有待定系數(shù) 3 再利用應力邊界條件式 2 18 來考察這些應力函數(shù) x y 對應什么樣的邊界面力問題 從而得知所設(shè)應力函數(shù) x y 可以求解什么問題 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點 邊界條件等 假設(shè)部分應力分量的某種函數(shù)形式 2 根據(jù)與應力函數(shù) x y 的關(guān)系及 求出 x y 的形式 3 最后利用式 2 26 計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件 半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ) 數(shù)理方程中分離變量法 總結(jié) 多項式應力函數(shù)的性質(zhì) 1 多項式次數(shù)n 4時 則系數(shù)可以任意選取 總可滿足 多項式次數(shù)n 4時 則系數(shù)須滿足一定條件 才能滿足 多項式次數(shù)n越高 則系數(shù)間需滿足的條件越多 2 一次多項式 對應于無體力和無應力狀態(tài) 任意應力函數(shù) x y 上加上或減去一個一次多項式 對應力無影響 二次多項式 對應均勻應力狀態(tài) 即全部應力為常量 三次多項式 對應于線性分布應力 3 4 用多項式構(gòu)造應力函數(shù) x y 的方法 逆解法 只能解決簡單直線應力邊界問題 按應力求解平面問題 其基本未知量為 本節(jié)說明如何由求出形變分量 位移分量 問題 3 2位移分量的求出 以純彎曲梁為例 說明如何由求出形變分量 位移分量 1 形變分量與位移分量 由前節(jié)可知 其應力分量為 平面應力情況下的物理方程 1 形變分量 a 將式 a 代入得 b 2 位移分量 將式 b 代入幾何方程得 c 將式 c 前兩式積分 得 d 將式 d 代入 c 中第三式 得 整理得 僅為x的函數(shù) 僅為y的函數(shù) 要使上式成立 須有 e 式中 為常數(shù) 積分上式 得 將上式代入式 d 得 f 1 f 討論 式中 u0 v0 由位移邊界條件確定 當x x0 常數(shù) u關(guān)于鉛垂方向的變化率 即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角 說明 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同 橫截面保持平面 材力中 平面保持平面 的假設(shè)成立 2 說明 在微小位移下 梁縱向纖維的曲率相同 即 材料力學中撓曲線微分方程 2 位移邊界條件的利用 1 兩端簡支 其邊界條件 將其代入 f 式 有 將其代回 f 式 有 3 3 梁的撓曲線方程 與材力中結(jié)果相同 2 懸臂梁 邊界條件 由式 f 可知 此邊界條件無法滿足 邊界條件改寫為 中點不動 軸線在端部不轉(zhuǎn)動 代入式 f 有 可求得 3 4 撓曲線方程 與材料力學中結(jié)果相同 說明 1 求位移的過程 a 將應力分量代入物理方程 b 再將應變分量代入幾何方程 c 再利用位移邊界條件 確定常數(shù) 3 4 撓曲線方程 與材料力學中結(jié)果相同 說明 1 求位移的過程 a 將應力分量代入物理方程 b 再將應變分量代入幾何方程 c 再利用位移邊界條件 確定常數(shù) 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點 邊界條件等 假設(shè)部分應力分量的某種函數(shù)形式 2 根據(jù)與應力函數(shù) x y 的關(guān)系及 求出 x y 的形式 3 最后利用式 2 26 計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件 半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ) 數(shù)理方程中分離變量法 半逆解法 位移分量求解 1 將已求得的應力分量 2 3 代入物理方程 求得應變分量 將應變分量 代入幾何方程 并積分求得位移分量 表達式 由位移邊界條件確定表達式中常數(shù) 得最終結(jié)果 4 4應力分量的坐標變換式 1 用極坐標下的應力分量表示直角坐標下的應力分量 4 8 2 用直角坐標下的應力分量表示極坐標下的應力分量 4 9 復習 直角坐標系下 半逆解法步驟 根據(jù)具體情況 對應力場作適當假設(shè) 由應力分量積分 得到含待定函數(shù)的應力函數(shù) 由相容方程考核應力函數(shù) 確定部分待定函數(shù) 根據(jù)應力函數(shù) 確定