彈性力學(xué)及有限元ppt課件

引言 對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱載荷作用 對(duì)稱軸面上剪應(yīng)力等于零 反對(duì)稱載荷作用下 對(duì)稱面上的正應(yīng)力等于零 對(duì)稱條件 例1 如圖所示 試寫出其邊界條件 q 1 2 3 4 例2 如圖所示 試寫出其邊界條件 1 AB段 y 0 代入邊界條件公式 有 2 BC段 x l 3 AC段 y xtan 3 混合邊界條件 1 物體上的一部分邊界為位移邊界 另一部為應(yīng)力邊界 2 物體的同一部分邊界上 其中一個(gè)為位移邊界條件 另一為應(yīng)力邊界條件 如 圖 a 位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件 圖 b 位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件 例7 圖示矩形截面水壩 其右側(cè)受靜水壓力 頂部受集中力作用 試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件 左側(cè)面 代入應(yīng)力邊界條件公式 右側(cè)面 代入應(yīng)力邊界條件公式 有 上端面 為次要邊界 可由圣維南原理求解 y方向力等效 對(duì)O點(diǎn)的力矩等效 x方向力等效 注意 必須按正向假設(shè) 3 按位移求解平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 20 2 邊界條件 位移邊界條件 2 17 應(yīng)力邊界條件 2 21 3 按應(yīng)力求解平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 2 2 相容方程 形變協(xié)調(diào)方程 2 23 3 邊界條件 2 18 平面應(yīng)力情形 說明 1 對(duì)位移邊界問題 不易按應(yīng)力求解 2 對(duì)應(yīng)力邊界問題 且為單連通問題 滿足上述方程的解是唯一正確解 3 對(duì)多連通問題 滿足上述方程外 還需滿足位移單值條件 才是唯一正確解 例8 下面給出平面應(yīng)力問題 單連通域 的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng) 試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng) 不計(jì)體力 1 2 解 a b 1 將式 a 代入平衡方程 2 2 滿足 將式 a 代入相容方程 式 a 不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng) 例8 下面給出平面應(yīng)力問題 單連通域 的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng) 試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng) 不計(jì)體力 1 2 a b 2 解 將式 b 代入應(yīng)變表示的相容方程 式 b 滿足相容方程 b 為可能的應(yīng)變分量 例9 圖示矩形截面懸臂梁 在自由端受集中力P作用 不計(jì)體力 試根據(jù)材料力學(xué)公式 寫出彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力的表達(dá)式 并取擠壓應(yīng)力 0 然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解 解 材料力學(xué)解答 式 a 滿足平衡方程和相容方程 a 式 a 是否滿足邊界條件 代入平衡微分方程 2 2 顯然 平衡微分方程滿足 式 a 滿足相容方程 再驗(yàn)證 式 a 是否滿足邊界條件 滿足 滿足 近似滿足 近似滿足 結(jié)論 式 a 為正確解 代入相容方程 上 下側(cè)邊界 右側(cè)邊界 左側(cè)邊界 2 常體力下平面問題的基本方程 1 平衡方程 2 2 2 相容方程 形變協(xié)調(diào)方程 3 邊界條件 2 18 4 位移單值條件 對(duì)多連通問題而言 討論 1 Laplace方程 或稱調(diào)和方程 2 常體力下 方程中不含E a b 不同材料 具有相同外力和邊界條件時(shí) 其計(jì)算結(jié)果相同 光彈性實(shí)驗(yàn)原理 3 用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ?代替平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ?為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ) 3 常體力下體力與面力的變換 平衡方程 相容方程 邊界條件 令 常體力下 滿足的方程 a 將式 b 代入平衡方程 相容方程 邊界條件 有 b c 表明 1 變換后的平衡方程 相容方程均為齊次方程 容易求解 2 變換后問題的邊界面力改變?yōu)?結(jié)論 當(dāng)體力X 常數(shù) Y 常數(shù)時(shí) 可先求解無體力而面力為 問題的解 而原問題的解為 例如 p 圖示深梁在重力作用下的應(yīng)力分析 原問題 體力 邊界面力 所求應(yīng)力 變換后的問題 體力 邊界面力 1 當(dāng)y 0時(shí) 2 當(dāng)y h時(shí) 3 當(dāng)y 2h時(shí) 所求得的應(yīng)力 原問題的應(yīng)力 常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn) 好處 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用 1 方便分析計(jì)算 齊次方程易求解 2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí) 一般體力不易施加 可用加面力的方法替代加體力 注意 面力變換公式 與坐標(biāo)系的選取有關(guān) 因此 適當(dāng)選取坐標(biāo)系 可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單 常體力下體力與面力轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn) 好處 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用 1 方便分析計(jì)算 齊次方程易求解 2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí) 一般體力不易施加 可用加面力的方法替代加體力 注意 面力變換公式 與坐標(biāo)系的選取有關(guān) 因此 適當(dāng)選取坐標(biāo)系 可使面力表達(dá)式簡(jiǎn)單 將式 d 第一式改寫為 由微分方程理論 必存在一函數(shù)A x y 使得 e f 同理 將式 d 第二式改寫為 g h 比較式 f 與 h 有 也必存在一函數(shù)B x y 使得 2 通解 式 a 的齊次方程 d 的通解 由微分方程理論 必存在一函數(shù) x y 使得 i j 將式 i j 代入 e f g h 得通解 k 2 通解 式 a 的齊次方程 d 的通解 對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解 3 全解 取特解為 則其全解為 2 26 常體力下平衡方程 a 的全解 由式 2 26 看 不管 x y 是什么函數(shù) 都能滿足平衡方程 x y 平面問題的應(yīng)力函數(shù) Airy應(yīng)力函數(shù) 按應(yīng)力求解平面問題 X 常量 Y 常量 的歸結(jié)為 1 2 27 2 然后將代入式 2 26 求出應(yīng)力分量 先由方程 2 27 求出應(yīng)力函數(shù) 2 26 3 再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件 多連體問題 3 應(yīng)力函數(shù)求解方法 2 28 無體力情形 3 應(yīng)力函數(shù)求解方法 1 逆解法 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點(diǎn) 邊界條件等 假設(shè)各種滿足相容方程 2 27 的 x y 的形式 2 主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問題 然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式 2 26 求出 具有待定系數(shù) 3 再利用應(yīng)力邊界條件式 2 18 來考察這些應(yīng)力函數(shù) x y 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題 從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù) x y 可以求解什么問題 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點(diǎn) 邊界條件等 假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式 2 根據(jù)與應(yīng)力函數(shù) x y 的關(guān)系及 求出 x y 的形式 3 最后利用式 2 26 計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 數(shù)理方程中分離變量法 總結(jié) 多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì) 1 多項(xiàng)式次數(shù)n 4時(shí) 則系數(shù)可以任意選取 總可滿足 多項(xiàng)式次數(shù)n 4時(shí) 則系數(shù)須滿足一定條件 才能滿足 多項(xiàng)式次數(shù)n越高 則系數(shù)間需滿足的條件越多 2 一次多項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài) 任意應(yīng)力函數(shù) x y 上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)力無影響 二次多項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài) 即全部應(yīng)力為常量 三次多項(xiàng)式 對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力 3 4 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù) x y 的方法 逆解法 只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問題 按應(yīng)力求解平面問題 其基本未知量為 本節(jié)說明如何由求出形變分量 位移分量 問題 3 2位移分量的求出 以純彎曲梁為例 說明如何由求出形變分量 位移分量 1 形變分量與位移分量 由前節(jié)可知 其應(yīng)力分量為 平面應(yīng)力情況下的物理方程 1 形變分量 a 將式 a 代入得 b 2 位移分量 將式 b 代入幾何方程得 c 將式 c 前兩式積分 得 d 將式 d 代入 c 中第三式 得 整理得 僅為x的函數(shù) 僅為y的函數(shù) 要使上式成立 須有 e 式中 為常數(shù) 積分上式 得 將上式代入式 d 得 f 1 f 討論 式中 u0 v0 由位移邊界條件確定 當(dāng)x x0 常數(shù) u關(guān)于鉛垂方向的變化率 即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角 說明 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同 橫截面保持平面 材力中 平面保持平面 的假設(shè)成立 2 說明 在微小位移下 梁縱向纖維的曲率相同 即 材料力學(xué)中撓曲線微分方程 2 位移邊界條件的利用 1 兩端簡(jiǎn)支 其邊界條件 將其代入 f 式 有 將其代回 f 式 有 3 3 梁的撓曲線方程 與材力中結(jié)果相同 2 懸臂梁 邊界條件 由式 f 可知 此邊界條件無法滿足 邊界條件改寫為 中點(diǎn)不動(dòng) 軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng) 代入式 f 有 可求得 3 4 撓曲線方程 與材料力學(xué)中結(jié)果相同 說明 1 求位移的過程 a 將應(yīng)力分量代入物理方程 b 再將應(yīng)變分量代入幾何方程 c 再利用位移邊界條件 確定常數(shù) 3 4 撓曲線方程 與材料力學(xué)中結(jié)果相同 說明 1 求位移的過程 a 將應(yīng)力分量代入物理方程 b 再將應(yīng)變分量代入幾何方程 c 再利用位移邊界條件 確定常數(shù) 1 根據(jù)問題的條件 幾何形狀 受力特點(diǎn) 邊界條件等 假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式 2 根據(jù)與應(yīng)力函數(shù) x y 的關(guān)系及 求出 x y 的形式 3 最后利用式 2 26 計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 數(shù)理方程中分離變量法 半逆解法 位移分量求解 1 將已求得的應(yīng)力分量 2 3 代入物理方程 求得應(yīng)變分量 將應(yīng)變分量 代入幾何方程 并積分求得位移分量 表達(dá)式 由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù) 得最終結(jié)果 4 4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 1 用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量 4 8 2 用直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量 4 9 復(fù)習(xí) 直角坐標(biāo)系下 半逆解法步驟 根據(jù)具體情況 對(duì)應(yīng)力場(chǎng)作適當(dāng)假設(shè) 由應(yīng)力分量積分 得到含待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 由相容方程考核應(yīng)力函數(shù) 確定部分待定函數(shù) 根據(jù)應(yīng)力函數(shù) 確定