中值定理及其應(yīng)用ppt課件.ppt

中值定理及其應(yīng)用 1 中值定理 一 羅爾 Rolle 定理二 拉格朗日 Lagrange 中值定理三 柯西 Cauchy 中值定理 2 中值定理的演示 T與l平行 這樣的x可能有好多 3 高 了 低 了 到了 中值定理的演示 一個(gè)特殊的例子 假設(shè)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn) 那么有許多種走法 首先我們來(lái)看一個(gè)例子 行走的典型路線如下 4 這說(shuō)明 在極大值或極小值點(diǎn)處 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 幾何意義是 在極值點(diǎn)處的切線平行于AB的連線或x軸 中值定理的演示 典型情形的證明思想 結(jié)論 Rolle定理 5 一 羅爾 Rolle 定理 例如 6 幾何解釋 7 證 8 9 注意 羅爾定理的三個(gè)條件是充分的 但不是必要的 若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足 其結(jié)論可能不成立 例如 又例如 10 f x 滿足條件 2 3 但不滿足條件 1 在 0 1 內(nèi) 11 f x 在 1 1 上 滿足條件 1 3 但不滿足條件 2 當(dāng)x 時(shí) f x 1 x 時(shí) f x 1 x 0時(shí) f 0 不存在 ii 12 iii y f x x x 1 2 f x 在 1 2 上滿足條件 1 2 但不滿足條件 3 在 1 2 內(nèi) f x 1 13 例1設(shè)函數(shù)f x x 1 x 2 x 3 不求導(dǎo)數(shù) 試判斷方程f x 有幾個(gè)實(shí)根 它們分別在何區(qū)間 解 f x 在 1 2 上連續(xù) 在 1 2 上可導(dǎo) 且f 1 f 2 由羅爾定理 1 使f 1 同理 2 注意到 f x 0為二次方程 使f 2 它至多有兩個(gè)實(shí)根 故 1 2是f x 0的全部實(shí)根 14 例2 證 由介值定理 即為方程的小于1的正實(shí)根 矛盾 15 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 16 T與l平行 中值定理的演示 更廣泛情形的證明思想 同一點(diǎn) 17 幾何解釋 證 分析 弦AB方程為 18 作輔助函數(shù) 拉格朗日中值公式 注意 拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 19 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理 拉格朗日中值公式又稱有限增量公式 微分中值定理 20 推論2 證明 推論1 21 例3 證 22 例4 證 由上式得 23 例5 設(shè)a b 0n 1 證明 令f x xn顯然f x 在 b a 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件 證明 nbn 1 a b an bn nan 1 a b 有f a f b f a b b a 即an bn n n 1 a b 又01 所以bn 1 n 1 an 1 n bn 1 a b n n 1 a b n an 1 a b 即nbn 1 a b an bn nan 1 a b 24 三 柯西 Cauchy 中值定理 25 幾何解釋 證 作輔助函數(shù) 26 27 例6 證 分析 結(jié)論可變形為 28 四 小結(jié) Rolle定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理 2羅爾定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系 1羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理中 條件是充分的 但不是必要的 3證明函數(shù)方程或方程的根的存在性 可以考慮應(yīng)用羅爾 定理 4應(yīng)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以證明 一些不等式 29 思考題 試舉例說(shuō)