2016年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理)含答案解析

第 1 頁（共 22 頁） 2016 年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1復(fù)數(shù) =（ ） A B C D 2已知雙曲線 C： 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 5， 0），實(shí)軸長為 6，則雙曲線 C 的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 3若 x， y 滿足 則 z=2x y 的最小值為（ ） A 4 B 1 C 0 D 4設(shè) 、 是兩個(gè)不同的平面， b 是直線且 b， “b ”是 “ ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5過點(diǎn) A 和圓心 O 的直線交 O 于 B， C 兩點(diǎn)（ O 切于點(diǎn) D， C 于 E， ， ，則 長度為（ ） A 1 B C 2 D 第 2 頁（共 22 頁） 6如圖所示的程序框圖，如果輸出的 S 值為 3，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為（ ）A i 2 B i 3 C i 4 D i 5 7函數(shù) f（ x） 是定義在 3， 0） （ 0， 3上的奇函數(shù)，當(dāng) x （ 0， 3時(shí)， f（ x） 的圖象如圖所示，那么滿足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范圍是（ ） A 3， 2 2， 3 B 3， 2 （ 0， 1 C 2， 0） 1， 3 D 1， 0） （ 0， 1 8將一個(gè)圓的八個(gè)等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個(gè)點(diǎn)得到兩個(gè)正方形去掉兩個(gè)正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一正八角星，如圖所示設(shè)正八角星的中心為 O，并且= ， = ，若將點(diǎn) O 到正八角星 16 個(gè)頂點(diǎn)的向量，都寫成為 + ， ， R 的形式，則 + 的最大值為（ ） A B 2 C 1+ D 2 一、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） 9已知 等比數(shù)列 n N*）的前 n 項(xiàng)和，若 4，公比 q=2，則數(shù)列 通項(xiàng)公式 10極坐標(biāo)系中， O 為極點(diǎn)，點(diǎn) A 為直線 l： 上一點(diǎn)，則 |最小值為 第 3 頁（共 22 頁） 11如圖，點(diǎn) D 是 邊 一點(diǎn)， ， ， ， 5，那么 ， 12某三棱錐的 三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的棱長為 13 2016 年 3 月 12 日，第四屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華在昌平拉開帷幕活動(dòng)設(shè)置了 “三館兩園一帶一谷 ”七大板塊 “三館 ”即精品農(nóng)業(yè)館、創(chuàng)意農(nóng)業(yè)館、智慧農(nóng)業(yè)館； “兩園 ”即主題狂歡樂園、農(nóng)事體驗(yàn)樂園； “一帶 ”即草莓休閑體驗(yàn)帶； “一谷 ”即延壽生態(tài)觀光谷某校學(xué)生準(zhǔn)備去參觀，由于時(shí)間有限，他們準(zhǔn)備選擇其中的 “一館一園一帶一谷 ”進(jìn)行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有 種（用數(shù)字作答） 14已知數(shù)列 ， a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*） 若 ，則 a= ； 記 Sn=a1+ 三、解答題（本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 15已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分圖象如圖所示 （ ）寫 出函數(shù) f（ x）的解析式及 值； （ ）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 ， 上的最大值與最小值 第 4 頁（共 22 頁） 16為了解高一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，甲、乙兩校對(duì)高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測(cè)試現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取 10 名新生的成績作為樣本，他們的測(cè)試成績的莖葉圖如下： （ 1）比較甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績的平均值及方差的大小；（只需要寫出結(jié)論） （ 2）如果將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)采用 A、 B、 C 等級(jí)制，各等級(jí)對(duì)應(yīng)的測(cè)試成績標(biāo)準(zhǔn)如表：（滿分 100分，所有學(xué)生成績均在 60 分以上） 測(cè)試成績 85， 100 70， 85） （ 60， 70） 基礎(chǔ)等級(jí) A B C 假設(shè)每個(gè)新生的測(cè)試成績互相獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率 從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率 17如圖，三棱柱 ， 直于正方形 在平面， ， ，D 為 點(diǎn)， E 為線段 的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），平面 于點(diǎn) F （ ）若 E 不是 中點(diǎn)，求證： （ ）若 E 是 中點(diǎn)，求 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點(diǎn) E，使得 存在，求出 的值，若不存在，請(qǐng)說明理由 第 5 頁（共 22 頁） 18已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = x2+bx+c（ a， b， c R），且曲線 y=f（ x）與曲線 y=g（ x）在它們的交點(diǎn)（ 0， c）處具有公共切線設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x） （ ）求 c 的值，及 a， b 的關(guān)系式； （ ）求函數(shù) h（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）設(shè) a 0，若對(duì)于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，求 a 的取值范圍 19已知橢圓 M： + =1（ a b 0）的焦距為 2，點(diǎn) D（ 0， ）在橢圓 M 上，過原點(diǎn) O 作直線交橢圓 M 于 A、 B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 不是橢圓 M 的頂點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線，垂足為 H，點(diǎn) C 是線段 中點(diǎn)，直線 橢圓 M 于點(diǎn) P，連接 ）求橢圓 M 的方程及離心率； （ ）求證： 20定義 ， 示 ， 的最大值 已知數(shù)列 ， ， ，其中 n+m+p=200， m=n， m， p， k N*記dn=（ ）求 （ ）當(dāng) k=2 時(shí)，求 最小值； （ ） k N*，求 最小值 第 6 頁（共 22 頁） 2016 年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)） 1復(fù)數(shù) =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【分析】 把分子分母同時(shí)乘以 1+i，直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解 【解答】 解： = 故選： C 2已知雙曲線 C： 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 5， 0），實(shí)軸長為 6，則雙曲線 C 的漸近線 方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)軸，求出雙曲線的幾何量，然后求解雙曲線的漸近線方程 【解答】 解：雙曲線 C： 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 5， 0），實(shí)軸長為 6， 可得 c=5， a=3， b= = =4， 雙曲線的漸近線方程為： y= x 故選： A 3若 x， y 滿足 則 z=2x y 的最小值為（ ） A 4 B 1 C 0 D 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式， 數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 第 7 頁（共 22 頁） 聯(lián)立 ，解得 A（ ）， 化目標(biāo)函數(shù) z=2x y 為 y=2x z， 由圖可知，當(dāng)直線 y=2x z 過點(diǎn) A（ ）時(shí)，直線在 y 軸上的截距 最大， z 有最小值為2 故選： D 4設(shè) 、 是兩個(gè)不同的平面， b 是直線且 b， “b ”是 “ ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 、 是兩個(gè)不同的平面， b 是直線且 b“b ”可得： ；反之不成立，即可判斷出關(guān)系 【解答】 解： 、 是兩個(gè)不同的平面， b 是直線且 b“b ” ；反之不成立， 若 ， b， b 不一定成立 故選： A 5過點(diǎn) A 和圓心 O 的直線交 O 于 B， C 兩點(diǎn)（ O 切于點(diǎn) D， C 于 E， ， ，則 長度為（ ） A 1 B C 2 D 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 連接 O 切于點(diǎn) D，可得 B出 ，S = ，解得 得 C= 出 可得出 【解答】 解：連接 第 8 頁（共 22 頁） O 切于點(diǎn) D， B =15 5 3=12， O 的半徑 r=6 在 ， S = ，解得 =2 C= = E+， 120=0， 解得 或 10（舍去） ， 故選： C 6如圖所示的程序框圖，如果輸出的 S 值 為 3，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為（ ）A i 2 B i 3 C i 4 D i 5 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由題意，若輸出 S 的值為 3，可得退出循環(huán)時(shí) S 的值為 6，即 S=6， i=3 時(shí)，應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，從而可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為 i 3 【解答】 解：由題意，若輸出 S 的值為 3，可得： 3=S+2），即退出循環(huán)時(shí) S 的值為 6 模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得 S=0， i=1 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， S=2， i=2 滿足條件，執(zhí)行循環(huán) 體， S=6， i=3 此時(shí)，由題意，應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6， 第 9 頁（共 22 頁） 故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為 i 3 故選： B 7函數(shù) f（ x） 是定義在 3， 0） （ 0， 3上的奇函數(shù)，當(dāng) x （ 0， 3時(shí)， f（ x） 的圖象如圖所示，那么滿足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范圍是（ ） A 3， 2 2， 3 B 3， 2 （ 0， 1 C 2， 0） 1， 3 D 1， 0） （ 0， 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 由圖象可知，當(dāng) x （ 0， 3時(shí)， f（ x）單調(diào)遞減，當(dāng) x 3， 0）時(shí)， f（ x）單調(diào)遞減，分別利用函數(shù)的圖象，結(jié)合不等式 f（ x） 2x 1，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由圖象可知， x=0 時(shí)， 2x 1=0， f（ x） 0，成立； 當(dāng) x （ 0， 3時(shí)， f（ x）單調(diào)遞減， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， f（ x） 1， 2x 1 1，滿足不等式 f（ x） 2x 1； 當(dāng) 1 x 3 時(shí)， f（ x） 1， 1 2x 1 7，不滿足不等式 f（ x） 2x 1； 函數(shù) f（ x） 是定義在 3， 0） （ 0， 3上的奇函數(shù)， 當(dāng) x 3， 0）時(shí)， f（ x）單調(diào)遞減， 當(dāng) 3 x 2 時(shí)， f（ x） 0， 2x 1 ，滿足不等式 f（ x） 2x 1； 當(dāng) x 2 時(shí)， f（ x） ， 2x 1 ，不滿足不等式 f（ x） 2x 1； 滿足不等式 f（ x） 2x 1 的 x 的取值范圍是 3， 2 0， 1 故選： B 8將一個(gè)圓的八個(gè)等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個(gè)點(diǎn)得到兩個(gè)正方形去掉兩個(gè)正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一正八角星，如圖所示設(shè)正八角星的中心為 O，并且= ， = ，若將點(diǎn) O 到正八角星 16 個(gè)頂點(diǎn)的向量，都寫成為 + ， ， R 的形式，則 + 的最大值為（ ） A B 2 C 1+ D 2 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用 第 10 頁（共 22 頁） 【分析】 根據(jù)題意找出使得 +最大的頂點(diǎn) C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可作出平行四邊形 樣結(jié)合圖形及向量數(shù)乘的幾何意義便可得出 ，這樣由平面向量基本定理即可求出 + 的最大值 【解答】 解：如圖，根據(jù)圖形及向量加法的平行四邊形法則可看出 O 到頂點(diǎn) C 的向量，此時(shí) +最大； 作平行四邊形 BC=a，根據(jù)題意得， ； ； ； = ； 又 ； ； 即 +的最大值為 故選 C 一、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） 9已知 等比數(shù)列 n N*）的前 n 項(xiàng)和，若 4，公比 q=2，則數(shù)列 通項(xiàng)公式 2n（ N*） 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求解即可 【解答】 解： 等比數(shù)列 n N*）的前 n 項(xiàng)和，若 4，公比 q=2， ， 解得： ， N*） 故答案為： 2n（ N*） 10極坐標(biāo)系中， O 為極點(diǎn)，點(diǎn) A 為直線 l： 上一點(diǎn)，則 |最小值為 第 11 頁（共 22 頁） 【考點(diǎn)】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 求出極坐標(biāo)方程的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可 【解答】 解：直線 l： 的普通方程為： y=x+2， 極坐標(biāo)系中， O 為極點(diǎn)，點(diǎn) A 為直線 l： 上一點(diǎn)，則 |最小值就是原點(diǎn)到直線的距離： d= = 故答案為： 11如圖，點(diǎn) D 是 邊 一點(diǎn)， ， ， ， 5，那么 ， 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知及余弦定理可求 ，結(jié)合范圍 （ 0， ），即可求得 ，求得 用正弦定理即可得解 值 【解答】 解： ， ， ， 5， 由余弦定理可得： = = ， （ 0， ）， ， ， 由正弦定理可得： = = 故答案為： ， 12某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的棱長為 第 12 頁（共 22 頁） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體為三棱錐 側(cè)面 可得出 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐， 側(cè)面 35， ， 則該三棱錐中最長棱的棱長為 = 故答案為： 13 2016 年 3 月 12 日，第四屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華在昌平拉開帷幕活動(dòng)設(shè)置了 “三館兩園一帶一谷 ”七大板塊 “三館 ”即精品農(nóng)業(yè)館、創(chuàng)意農(nóng)業(yè)館、智慧農(nóng)業(yè)館； “兩園 ”即主題狂歡樂園、農(nóng)事體驗(yàn)樂園； “一帶 ”即草莓休閑體驗(yàn)帶； “一谷 ”即延壽生態(tài)觀光谷某校學(xué)生準(zhǔn)備去參觀，由于時(shí)間有限，他們準(zhǔn)備選擇其中的 “一館一園一帶一谷 ”進(jìn)行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有 144 種（用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 先選擇一館一園一帶一谷，再進(jìn)行排序，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意，先選擇一館一園一帶一谷，再進(jìn)行排序，即 =144 種 故答案為： 144 14已知數(shù)列 ， a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*） 若 ，則 a= ； 記 Sn=a1+ 1512 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和 第 13 頁（共 22 頁） 【分析】 由 a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*），可得 a+ 對(duì)a 分類討論：當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，即可得出 a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 對(duì) a 分類討論：當(dāng) 時(shí)，可得： = 時(shí)，可得 = 可得出 【解答】 解： a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 當(dāng) 時(shí)， =a= ，舍去； 當(dāng) 時(shí)， a3=1= a+ = ，解得 a= ，滿足條件 a= a1=a（ 0 a 1）， = （ n N*）， = a+ 當(dāng) 時(shí)， =a， = a， = a1+ 1008=1512 當(dāng) 時(shí)， a3=1= a+ = a+ ， = + =a+1 1， a5=1=a = a1+a2+a3+ 504=3 504=1512 綜上可得： 512 故答案分別為： ； 1512 三、解答題（本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 第 14 頁（共 22 頁） 15已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分圖象如圖所示 （ ）寫出函數(shù) f（ x）的解析式及 值； （ ）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 ， 上的最大值與最小值 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的最值 【分析】 （ I）由函數(shù)圖象可知 A， T=，利用周期公式可求 ，又函數(shù)過點(diǎn)（ ， 2），結(jié)合范圍 | ，解得 ，可求函數(shù)解析式，由函數(shù)圖象可得 22） = ，可解得 x0=， k Z，又結(jié)合范圍 ，從而可求 值 （ x ， ，可求范圍 2x+ ， ，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求其最值 【解答】 （本小題滿分 13 分） 解：（ I） A 0， 0，由函數(shù)圖象可知， A=2， T= =2 ） =，解得 =2， 又 函數(shù)過點(diǎn)（ ， 2），可得： 2=22 +），解得： 2 +=2，k Z， 又 | ， 可得： = ， f（ x） =22x+ ）， 由函數(shù)圖象可得： 22） = ，解得： 2=2， k Z，可得： x0=， k Z， 又 ， 第 15 頁（共 22 頁） ， （ x ， ，可得： 2x+ ， ， 當(dāng) 2x+ = 時(shí)，即 x= ， f（ x） f（ ） = 1， 當(dāng) 2x+ = 時(shí)，即 x= ， f（ x） f（ ） =2 16為了解高一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，甲、乙兩校對(duì)高一新生進(jìn)行了數(shù) 學(xué)測(cè)試現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取 10 名新生的成績作為樣本，他們的測(cè)試成績的莖葉圖如下： （ 1）比較甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績的平均值及方差的大??；（只需要寫出結(jié)論） （ 2）如果將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)采用 A、 B、 C 等級(jí)制，各等級(jí)對(duì)應(yīng)的測(cè)試成績標(biāo)準(zhǔn)如表：（滿分 100分，所有學(xué)生成績均在 60 分以上） 測(cè)試成績 85， 100 70， 85） （ 60， 70） 基礎(chǔ)等級(jí) A B C 假設(shè)每個(gè)新生的測(cè)試成績互相獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率 從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新生的數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率 【考點(diǎn)】 相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 （ 1）利用均值與方差的定義分別求出甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)成績的均值與方差，從而得出結(jié)論 （ 2）分類討論，求得甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率 【解答】 解：（ 1）兩校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績的平均值相同； 甲校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績的方差小于乙校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績的方差 （ 2）設(shè)事件 D=“從甲、乙兩校新生中各隨 機(jī)抽取一名新生，甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí) ” 設(shè)事件 從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為 A”， P（ = ， 設(shè)事件 從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為 B”， P（ = ， 設(shè)事件 從乙校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為 B”， P（ = ， 設(shè)事件 從乙校新生中隨 機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為 C”， P（ = ， 根據(jù)題意， D=以 P（ D） =P（ = +P（ +P（ 第 16 頁（共 22 頁） = + + = ， 因此，從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率為 17如圖，三棱柱 ， 直于正方形 在平面， ， ，D 為 點(diǎn)， E 為線段 的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），平面 于點(diǎn) F （ ）若 E 不是 中點(diǎn)，求證： （ ）若 E 是 中點(diǎn)，求 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點(diǎn) E，使得 存在，求出 的值，若不存在，請(qǐng)說明理由 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的性質(zhì) 【分析】 （ I）連接 點(diǎn) G，連接 由中位線定理得出 是平面 線面平行的性質(zhì)得出 （ 原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出 和平面 法向量 ，則 平面 |； （ =，求出 和 的坐標(biāo)，令 =0 解出 【解答】 證明：（ I）連接 點(diǎn) G，連接 四邊形 平行四邊形， G 為 中點(diǎn)， D 為 點(diǎn)， 面 面 平面 面 面 面 F， （ 以 原點(diǎn)，以 坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 則 A（ 2， 2， 0）， E（ 0， 1， ）， B（ 0， 2， 1）， 0， 0， 0）， D（ 1， 2， 0） =（ 2， 1， ）， =（ 0， 2， 1）， =（ 1， 2， 0） 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z），則 第 17 頁（共 22 頁） ，令 y=1，得 =（ 2， 1， 2） ， = = = 平面 成角的正弦值為 （ 假設(shè)在線段 存在點(diǎn) E，使得 設(shè) =，則 =（ 0， ， ） = =（ 2， ， ）， = =（ 0， ， ） 即 解得： = 在線段 存在點(diǎn) E，使得 = 18已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = x2+bx+c（ a， b， c R），且曲線 y=f（ x）與曲線 y=g（ x）在它們的交點(diǎn)（ 0， c）處具有公共切線設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x） （ ）求 c 的值，及 a， b 的關(guān)系式； （ ）求函數(shù) h（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）設(shè) a 0，若對(duì)于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 （ ）分別求得 f（ x）和 g（ x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可知： 即可求得 c 的值及 a、 b 的關(guān)系； （ ）寫出 h（ x）的表達(dá)式，求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù) F（ x） =h（ x），由 a R， F（ x） 0，即可判斷 h（ x）的單調(diào)性，求得 h（ x）的零點(diǎn)，并根據(jù) h（ x）判斷出 h（ x）的單調(diào)性； 第 18 頁（共 22 頁） （ ）由（ 當(dāng) x 0， 1時(shí)， h（ x）是增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為： h（ x） h（ x） a e 1，即當(dāng) a 0 時(shí)， G（ a） =a（ e 1） 0，求得函數(shù)的單調(diào)性，求得 a 的取值范圍 【解答】 解：（ I） 函數(shù) f（ x） =g（ x） = x2+bx+c， 函數(shù) f（ x） =g（ x） = 2x+b 曲線 y=f（ x）與曲線 y=g（ x）在它們的交點(diǎn)（ 0， c）處具有公共切線， ，即 ， c=1， a=b； （ 已知， h（ x） =f（ x） g（ x） =1 h（ x） =x a， 設(shè) F（ x） =x a，所以 F（ x） =， a R， F（ x） 0，所以 h（ x）在（ ， +）上為單調(diào)遞增函數(shù) 由（ I）得， f（ 0） =g（ 0）所以 h（ 0） =f（ 0） g（ 0） =0，即 0 是 h（ x）的零點(diǎn) 所以，函數(shù) h（ x）的導(dǎo)函數(shù) h（ x）有且只有一個(gè)零點(diǎn) 0 所以 h（ x）及 h（ x）符號(hào)變化如下， x （ ， 0） 0 （ 0， +） h（ x） 0 + h（ x） 極小值 所以函數(shù) h（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ， 0），單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， +） （ （ 當(dāng) x 0， 1時(shí)， h（ x）是增函數(shù) 對(duì)于任意 0， 1，都有 |h（ h（ | e 1，等價(jià)于 h（ x） h（ x） h（ 1） h（ 0） =a e 1， 等價(jià)于當(dāng) a 0 時(shí)， G（ a） =a（ e 1） 0， G（ a） =1 0， G（ a）在 0， +）上是增函數(shù)， 又 G（ 1） =0，所以 a 0， 1 19已知橢圓 M： + =1（ a b 0）的焦距為 2，點(diǎn) D（ 0， ）在橢圓 M 上，過原點(diǎn) O 作直線交橢圓 M 于 A、 B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 不是橢圓 M 的頂點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線，垂足為 H，點(diǎn) C 是線段 中點(diǎn)，直線 橢圓 M 于點(diǎn) P，連接 ）求橢圓 M 的方程及離心率； （ ）求證： 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ I）由題意知 c=1， b= ，求得 a=2，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率； （ A（ P（ 則 B（ C（ ），將 A， P 代入橢圓方程兩式相減，由點(diǎn) B，