《最短路徑問題》教學(xué)設(shè)計(jì).doc

最 短 路 徑第二師華山中學(xué)初中數(shù)學(xué)組馮麗華2015/9/30最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì) 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1、內(nèi)容 利用軸對(duì)稱探究簡(jiǎn)單的最短路徑問題。 2、內(nèi)容解析 最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”及“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體，開展最短路徑問題的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、目標(biāo)能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。2、目標(biāo)解析（1）學(xué)生能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；（2）能利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題；（3）能另選一點(diǎn)，通過比較、邏輯推理證明所求線段和最短；（4）在探索最短路徑的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。三、教學(xué)問題診斷分析最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級(jí)的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗(yàn)明顯不足，特別是面對(duì)實(shí)際背景的極值問題無從下手。對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最短，學(xué)生很容易想到連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)。但對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最短，一些學(xué)生感到茫然，找不到解決問題的方法。在證明最短時(shí)，需要在直線上任選一點(diǎn)（與所求作的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和學(xué)生想不到，不會(huì)用。教學(xué)時(shí)，教師可從“直線異側(cè)的兩點(diǎn)”過渡到“直線同側(cè)的兩點(diǎn)”，為學(xué)生搭建“腳手架”。在證明“最短”時(shí)，教師可告訴學(xué)生證明“最大”“最小”問題，常常要另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較證明。由于另取的點(diǎn)具有任意性，所以結(jié)論對(duì)于直線上的每一點(diǎn)（點(diǎn)C除外）都成立。 本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：利用軸對(duì)稱將同側(cè)線段和最短問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單推理論證。四、教學(xué)支持條件分析在初次解決問題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過測(cè)量，發(fā)現(xiàn)利用軸對(duì)稱將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用幾何畫板通過動(dòng)畫演示，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準(zhǔn)備：直尺、幾何畫板，ppt五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán) 節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一復(fù)習(xí)引入1.【問題】：看到課題，回憶學(xué)過哪些最短路徑問題？2.以上兩個(gè)問題，我們稱為“最短路徑”問題。3、小試身手已知:如圖,點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？A B兩點(diǎn)之間，線段最短直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連線段中，垂線段最短。從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)入手，為進(jìn)一步豐富、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪墊。二探究新知1.提出問題【故事引入】：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考。二探究新知2.分析問題（1）.【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（2）【度量】：請(qǐng)嘗試找出符合條件的點(diǎn)C；分別度量出AC,BC的長(zhǎng)度，并計(jì)算AC+BC，記錄在題目旁邊。（3）.【展示】：巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法（盡可能多），投影，拍照。（4）.【追問】：上述幾種方法中，哪一種作法中的點(diǎn)C能使得AC+BC較短？將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題抽象線段和最小問題?！菊故尽浚簩W(xué)生展示并能簡(jiǎn)單說明思路。作法1： 作法2：作法3：通過“度量”的數(shù)據(jù)得出結(jié)論。【小結(jié)】：發(fā)現(xiàn)第3種作法是較短的，第1種作法只能說明在河l上取一點(diǎn)，到A、B兩地的距離相等。第2種作法是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到BC最短，利用“垂線段最短”，得到AC最短，但不能確定AC+BC是最短的。學(xué)生主動(dòng)探索，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性。展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的學(xué)習(xí)欲望。二探究新知3.解決問題（1）【轉(zhuǎn)化】用第3種作法的同學(xué)，你們是怎樣找到的點(diǎn)C？（2）【比較】在以上幾種方法中，利用軸對(duì)稱找出的點(diǎn)C能使得AC+BC較短，但在直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，也就有無數(shù)條路線，此時(shí)點(diǎn)C還能使AC+BC最短嗎？通常我們要在直線上任另取一點(diǎn)P（與點(diǎn)C不重合），說明AC+BCAP+BP。（3）【幾何畫板】下面我們可以借助數(shù)學(xué)工具幾何畫板來進(jìn)一步驗(yàn)證一般性。老師動(dòng)手操作，并回憶作圖步驟，驗(yàn)證對(duì)于第3種情況來說是最短的路徑。【注：通過動(dòng)畫演示，從特殊到一般地驗(yàn)證了前面的結(jié)論。】利用軸對(duì)稱將同側(cè)線段和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題。借助軸對(duì)稱的“橋梁”作用，若直線l上任意一定（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小。認(rèn)真觀察老師的做法，思考，要想確認(rèn)AC+BC最短，可以在直線l上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合）通過度量可以得出AC+BC最短。并觀察變化趨勢(shì)。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學(xué)生在反思的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（4）.【推理論證】：（1）獨(dú)立糾正圖形（2）請(qǐng)兩位同學(xué)全班交流推理過程（3）師生共同完成板書（4）學(xué)友向?qū)W師口述證明過程。1.獨(dú)立糾錯(cuò)2.兵教兵進(jìn)一步推理論證，加強(qiáng)邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。三總結(jié)提高（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對(duì)稱在所研究問題中起什么作用？用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。歸納：通過梳理“將軍飲馬問題“的解題思路，幫助學(xué)生歸納解決實(shí)際問題的探究過程，讓學(xué)生充分體會(huì)軸對(duì)稱變換可以將不共線的兩條路徑轉(zhuǎn)化到一條直線上。四拓展應(yīng)用【問題】：如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線?！拘〗Y(jié)】：在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇?！窘處熂恼Z】：現(xiàn)實(shí)生活中需要我們尋找簡(jiǎn)單、實(shí)用的方法，但學(xué)習(xí)無捷徑，希望大家勤于思考，多多動(dòng)腦，用數(shù)學(xué)知識(shí)武裝自己，做一位有智慧的小將軍。作兩次軸對(duì)稱，找到點(diǎn)B、點(diǎn)C，連接BC與兩直線的交點(diǎn)E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。學(xué)以致用及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)的知識(shí)。五板書設(shè)計(jì)13.4 最短路徑六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)題目1、（課堂檢測(cè)）如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)以致用，并且有提高和挑戰(zhàn)，作兩次軸對(duì)稱，找到點(diǎn)B、點(diǎn)C，連接BC與兩直線的交點(diǎn)E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。在解決最短路徑問題時(shí)，通常利用軸對(duì)稱將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇。題目2、（課后檢測(cè)）如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的