高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn).doc

不等式知識(shí)點(diǎn)歸納:一、不等式的概念與性質(zhì)1、實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系： 2、不等式的性質(zhì)：（1） ， （反對(duì)稱性）（2） ， （傳遞性）（3），故 （移項(xiàng)法則）推論： （同向不等式相加）（4），推論1：推論2：推論3：不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運(yùn)用，要弄清每一個(gè)條件和結(jié)論，學(xué)會(huì)對(duì)不等式進(jìn)行條件的放寬和加強(qiáng)。3、常用的基本不等式和重要的不等式（1） 當(dāng)且僅當(dāng)（2）（3），則（4）4、最值定理:設(shè)（1）如積（2）如積即:積定和最小，和定積最大。運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5、均值不等式:兩個(gè)正數(shù)的均值不等式：三個(gè)正數(shù)的均值不等是：n個(gè)正數(shù)的均值不等式：6、四種均值的關(guān)系：兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是小結(jié):在不等式的性質(zhì)中，要特別注意下面4點(diǎn)： 1、不等式的傳遞性：若ab,bc, 則ac,這是放縮法的依據(jù)，在運(yùn)用傳遞性時(shí)，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤：為證明ac,選擇中間量b,在證出ab,cb,后，就誤認(rèn)為能得到ac。 2、同向不等式可相加但不能相減，即由ab,cd，可以得出a+cb+d, 但不能得acbd。 3、不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式時(shí)，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否則不能保證所乘之?dāng)?shù)或式為正，則不等式兩邊同時(shí)乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時(shí)，也要特別注意不等式的兩邊必須是正。不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，在數(shù)學(xué)中，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。二、不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：作差比較的步驟：作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和。判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）綜合法：由因?qū)Ч梢阎牟坏仁匠霭l(fā),不斷地用必要條件代替前面的不等式,直到推導(dǎo)出前面的不等式。常用的基本不等式有均值不等式；若，則；若，則；柯西不等式（3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件?！胺治龇ā弊C題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。（4）反證法：正難則反直接證明難，就用反證。（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的放縮法的方法有：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；將分子或分母放大（或縮?。├没静坏仁?，如：；利用常用結(jié)論：、；、 ； （程度大）、 ； （程度?。?）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)。數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。例1已知a，bR，且a+b=1。 求證：。 證法一：（比較法） 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）。證法二：（分析法） 因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立。 點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件。證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）。證法四：（反證法）假設(shè)，則 。由a+b=1，得，于是有所以，這與矛盾。所以。證法五：（放縮法） 左邊右邊。 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式。證法六：（均值換元法），所以可設(shè)，左邊右邊當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立。 點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因?yàn)?，所以，即。故。? ，求證：。證：，同樣地，利用均值不等式，我們可以得到，即。例3 已知,求證。證：例4 已知，求的最大值。解：由題可得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等式成立。同理，可得；故而可知其最大值為6.例5 已知，求證證：令，且，于是。例6 已知是正整數(shù)，求證：證：當(dāng)時(shí)，有于是 小結(jié)： 1、掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面。如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)。2、在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等。3、比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證4、基本思想、基本方法：用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法。用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。 “分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá) 分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯。簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式。凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法。換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題。含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件。有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度。三、解不等式1、解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對(duì)數(shù)不等式；解帶絕對(duì)值的不等式；解不等式組2、解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn)：(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3、不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)與g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 與f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(shù)(x)0)；g(x)0同解(9)當(dāng)a1時(shí)，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解，當(dāng)0a1時(shí)，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解4、零點(diǎn)分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法 步驟：形式：首項(xiàng)系數(shù)符號(hào)0標(biāo)準(zhǔn)式，若系數(shù)含參數(shù)時(shí)，須判斷或討論系數(shù)的符號(hào)，化負(fù)為正判斷或比較根的大小小結(jié)：1、帶等號(hào)的分式不等式求解時(shí)，要注意分母不等于0，二次函數(shù)的值恒大于0的條件是且；若恒大于或等于0，則且。若二次項(xiàng)系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函。是二次函數(shù)時(shí)，必須考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0這一特殊情形。 2、忽略對(duì)定義域的考慮以及變形過程的不等價(jià)，是解無理不等式的常見錯(cuò)誤，因此要強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考。3、數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用圖形驗(yàn)證，解題的結(jié)果。4、解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的過程中常用到換元法。底數(shù)是參數(shù)時(shí)，須不重不漏地分類討論?；资墙獠坏仁降那疤崛?duì)數(shù)也是解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的常用方法之一，在取對(duì)數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍。當(dāng)所取對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母時(shí)，隨時(shí)要把“不等號(hào)是否變向”這一問題斟酌再三。5、解含參數(shù)的不等式時(shí)，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。分類的標(biāo)準(zhǔn)要通過理解題意（例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含條件），根據(jù)方法（例如利用單調(diào)性解題時(shí)，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值），按照解答的需要（例如進(jìn)行不等式變形時(shí)必須具備的變形條件）等方面來決定，要求做到不重復(fù)、不遺漏。四、含絕對(duì)值的不等式1、解絕對(duì)值不等式的基本思想:解絕對(duì)值不等式的基本思想是去絕對(duì)值，常采用的方法是討論符號(hào)和平方。2、注意利用三角不等式證明含有絕對(duì)值的問題|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等號(hào)條件。3、(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)（無論g(x)是否為正）。（3）含絕對(duì)值的不等式性質(zhì)（雙向不等式） 左邊在時(shí)取得等號(hào)，右邊在時(shí)取得等號(hào)。五、簡單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（x0，y0）。B0時(shí)，Ax0+By0+C0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的下方。對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)。當(dāng)B0時(shí)，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域。2線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案。例1 求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積。分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積。解：x1+y12可化為或或或其平面區(qū)域如圖。面積S=44=8。點(diǎn)評(píng)：畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注