幾何法證明不等式(精選多篇)

幾何法證明不等式(精選多篇) 第一篇：幾何法證明不等式 第二篇：不等式的導數(shù)法證明 第三篇：比較法證明不等式 第四篇：g3.1038 不等式的證明比較法 第五篇：函數(shù)法證明不等式 更多相關范文 幾何法證明不等式 用解析法證明不等式： 2 (a,br，且ab) 設一個正方形的邊為c,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為a,另一條直角邊為b,(ba)a=b,剛好構(gòu)成,若a不等于b時,側(cè)中間會出現(xiàn)一個小正方形,所以小正方形的面積為(b-a)2,經(jīng)化簡有(b+a)2=4ab,所以有(a+b)/2)2=ab,又因為(a2+b2)/2=ab,所以有(a+b)/2)2=(a2+b2)/2,又因為a不等與b,所以不取等號 可以在直角三角形內(nèi)解決該問題 =2-(a2+b2)/2 =/4 =-(a-b)2/4 0 構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=ax2+2bx+c，展開得： f(x)=(ai2x2+2aibix+bi2)=(aix+bi)20 故f(x)的判別式=4b2-4ac0， 移項得acb，欲證不等式已得證。 . 不等式的導數(shù)法證明 作者：王鎖平 ：新高考高二數(shù)學xx年第02期 比較法證明不等式 1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b0ab;a-b0ab”。其一般步驟為：作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體;變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，br+，a/b1ab;a/b1ab”。其一般步驟為：作商：將左右兩端作商;變形：化簡商式到最簡形式;判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。 2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關系為：ab1b2b3bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論b。 ab0,求證：aabb(ab)a+b/2 因aa*bb=(ab)ab, 又aba+b/2 故aa*bb(ab)a+b/2 已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca-4. 用極限法取2或-2，結(jié)果大于等于-4，因?qū)儆?-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結(jié)果就只能大于-4 下面這個方法算不算“比較法”啊? 作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4 構(gòu)造函數(shù)m=f(c)=(a+b)c+ab+4 這是關于c的一次函數(shù)(或常函數(shù))， 在坐標系內(nèi)，其圖象是直線， 而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)0(因為a2,b0(因為a-2,b-2) 所以函數(shù)f(c)在c(-2,2)上總有f(c)0 即m0 即ab+bc+ca+40 所以ab+bc+ca-4 設x,yr,求證x2+4y2+22x+4y (x-1)?0 (2y-1)?0 x?-2x+10 4y?-4x+10 x?-2x+1+4y?-4x+10 x?+4y?+22x+4x 除了比較法還有： 求出中間函數(shù)的值域： y=(x2-1)/(x2+1) =1-2/(x2+1) x為r， y=2/(x2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校 所以有： -1=y=1-2/(x2+1)0ab，欲證ab只需證a-b0; 作商比較，要點是：作商變形判斷。 這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。 當b0時，ab1。 比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設可轉(zhuǎn)化為等價問題的比較(如冪、方根等) 綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關系入手，逐步分析已知數(shù)量與數(shù)量的關系，一直到求出數(shù)量的解題方法。 g3.1038 不等式的證明比較法 一、基本知識 1、求差法：ab? ab0 a2、求商法：ab0?1并且b?0 b 3、用到的一些特殊結(jié)論：同向不等式可以相加（正數(shù)可以相乘）；異向不等式可以相減； 4、分析法執(zhí)果索因；模式：“欲證?，只需證?”； 5、綜合法由因?qū)Ч?；模式：根?jù)不等式性質(zhì)等，演繹推理 6、分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達. 二、基本訓練 1、已知下列不等式: (1)x2?3?2x(x?r) (2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個數(shù)為 ?() (a)0(b)1(c) 2(d) 3 2、1ab0，那么?（） a?ba?b(a)aabb(b) baba22 a?ba?b(c) abab(d) abab 22 ?3、如果ba，則ba的取值范圍是?（） 22 ?(a)?ba0(b) ?ba?(c) ba0(d) ba222 4a4、已知a?2,那么（填“”或者“ a5、若a?1，0?b?1，則logb a?logb的范圍是_ 6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_ 三、例題分析： 例1、求證：若a、b0,n1,則an?bn?an?1b?abn?1 例2、已知：a、b ? 例3、a、b、c、d、m、n全是正數(shù)，比較p=ab?cdq=ma?nc? 例4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。 變題：求證：ab?(ab) 例5、ar，函數(shù)f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小. mn(a?0,b?0) (1)判斷此函數(shù)的單調(diào)性。 n2(2)f(n)=,當函數(shù)f(x)?a?x為奇函數(shù)時，比較f(n),f(n)的大小. n?12?1 例6、設二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1。 a （1） 當x?(0,x1)時，證明：x?f(x)?x1 （2） 設函數(shù)f(x)的圖象關于直線x?x0對稱，證明：x0? 四、同步練習：g3.1038 不等式的證明比較法 1、不等式：x332x；a5b5 (a)、(b) 、(c) 、(d) 、 2、 對x?r都成立的不等式是? () (a)lg(x2?1)?lg2x (b) x2?1?2x(c) 3、0a1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那么f、g、h中最小的是?（） 1?a (a)f(b) g(c) h(d) 不能確定 4、ab0，則下列不等式恒成立的是?（） b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a?b?(d) aabb ?(b)2a?2baaba?1a 5、x100，那么lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序為. 7(2x?2y)6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是_。 8227、a0，b0，ab=1，比較m=xy與n=(axby)2(bxay)2的大小. 8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小 9、已知abc的外接圓半徑r=1，s?abc? t?111?。求證：t?s abc1，令s?a?c，b、a、c是三角形的三邊，4 ?a2?b2a?b2?() 10、設a、b為實數(shù)，求證：42 11、已知正數(shù)a、b、c滿足a?b?2c，求證： （1）c2?ab （2）c?c2?ab?a?c?c2?ab 答案：ddad5、lg2xlgx2lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn 函數(shù)法證明不等式 已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列an滿足0 證明0 證明an+1 它提示是構(gòu)造一個函數(shù)然后做差求導，確定單調(diào)性。可是還是一點思路都沒有，各位能不能給出具體一點的解答過程啊? (推薦打開)1)f(x)=x-sinx,f(x)=1-cosx 00,f(x)是增函數(shù),f(0) 因為0 且an+1=an-sinan (2)求證不等式即(1/6)an3-an+1=(1/6)an3-an+sinan0 構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1/6)x3-x+sinx(0 g(x)=x-sinx,由(1)知g(x)0,所以g(x)單增,g(x)g(0)=0 所以g(x)單增且g(x)g(0)=0,故不等式成立 因此an+1 證畢! 構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 【例1】證明不等式：(人教版教材p23t4) 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x0) 則f(x)=1-在上單調(diào)遞增 f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|a+b| f(|a|+|b|)f(|a+b|)即所證不等式正確。 點評：本題還可以繼續(xù)推廣。如：求證：。利用分式函數(shù)的單調(diào)性可以證明的教材中的習題還有很多，如： p14第14題：已知cab0,求證: p19第9題:已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數(shù)，求證： p12例題2:已知a，b，m，都是正數(shù)，且a二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式 【例2】證明不等式：(x0) 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= f(-x)= =f(x) f(x)是偶