計算方法-第七章--常微分方程數(shù)值解法PPT課件

第七章常微分方程數(shù)值解法主講 孫劍聊城大學(xué)計算機(jī)學(xué)院信息管理系 計算方法吳筑筑編 本章主要內(nèi)容 7 1歐拉法和改進(jìn)的歐拉法7 2龍格 庫塔法7 3線性多步法 引言 可求出方程y 1 ex的通解為y x ex c 將初值條件x 0 y 2代入得2 1 c 故c 1 所以初值問題的解為y x ex 1 求解初值問題 引言 本章解決的問題 一階常微分方程的初值問題 引言 若方程y f x y 的右端函數(shù)f x y 在閉矩形域R x0 a x x0 a y0 b y y0 b上滿足 1 f x y 在R上連續(xù) 2 在R上關(guān)于y滿足Lipschitz 李普希茲 條件即存在常數(shù)L 對R上任意點(diǎn)均有以下不等式成立 f x y1 f x y2 L y1 y2 x a b y1 y2 R則上述初值問題存在唯一的連續(xù)可微的解函數(shù)y y x 引言 又如初值問題 可求出它的解為 但要進(jìn)一步計算指定點(diǎn)的函數(shù)值 還需要用數(shù)值積分方法 有些微分方程的解是隱函數(shù) 例如 要求函數(shù)值還需要解超越方程 應(yīng)用中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大都得不出一般解 所以一般用數(shù)值解法 引言 數(shù)值解法 給定節(jié)點(diǎn)a x0 x1 xn b 將初值問題離散化為差分方程 求出解函數(shù)y x 在這些點(diǎn)的近似值y1 y2 yn 所求得的近似值稱為數(shù)值解 本章中總假定步長h為定值 節(jié)點(diǎn)xi x0 ihi 1 2 3 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 7 1歐拉法和改進(jìn)的歐拉法 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 初值問題 1 歐拉公式的構(gòu)造思想 用差商代替導(dǎo)數(shù) 設(shè) 等距 步長為 令x xi x h xi 1 y xi yi y xi 1 yi 1 初值問題離散化為 歐拉公式 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 例取步長h 0 1 用歐拉法求解初值問題 解 y1 y0 hf x0 y0 1 0 1 0 1 1 1 y2 y1 hf x1 y1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 22y3 y2 hf x2 y2 1 22 0 1 0 2 1 22 1 362 y10 y9 hf x9 y9 y9 0 1 x9 y9 3 18748 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 2 歐拉公式幾何意義 用折線代替曲線計算解函數(shù)的近似值 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 3 數(shù)值公式的誤差來源 1 局部截斷誤差 簡稱截斷誤差 假設(shè)yi y xi 是準(zhǔn)確的 計算yi 1所產(chǎn)生的誤差y xi 1 yi 1 若局部截斷誤差可以表示為O hk 1 k為正整數(shù) 則稱公式是k階公式 2 由于實(shí)際上yi不是準(zhǔn)確值 因此它的誤差會傳播下去 3 實(shí)際計算時 每一步都可能產(chǎn)生舍入誤差 7 1 1歐拉法及其截斷誤差 4 歐拉公式的截斷誤差是O h2 公式是1階的 因?yàn)?泰勒公式 兩式相減 由設(shè)yi y xi 有 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 對微分方程y f x y 兩邊求xi到xi 1的定積分 有 利用梯形公式計算積分 有 1 改進(jìn)的歐拉公式的構(gòu)造 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 將y xi y xi 1 分別用yi yi 1代替 構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)值公式 改進(jìn)的歐拉公式 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 2 改進(jìn)的歐拉公式的截斷誤差為O h3 因而改進(jìn)的歐拉法是二階的 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 3 改進(jìn)的歐拉法的具體使用格式 改進(jìn)的歐拉法是隱式公式 計算時常用迭代法 一般每一步先由歐拉公式計算出yi 1的初始值yi 1 0 再迭代計算yi 1 當(dāng)滿足 時 取 可證明當(dāng)f x y 滿足一定條件時 迭代是收斂的 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測 校正公式 可證明預(yù)測 校正公式的截斷誤差也為O h3 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 例取步長h 0 2 用改進(jìn)的歐拉法的預(yù)測 校正公式求解初值問題的數(shù)值解y1 y2 解 預(yù)測 校正公式具體是 7 1 2改進(jìn)的歐拉法及預(yù)測 校正公式 設(shè) 改用后差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 7 1 2向后 隱式 歐拉公式 可以得到向后歐拉公式 這是隱式歐拉格式 也是一階方法 精度與歐拉公式相當(dāng) 計算yi 1通常用迭代法 7 1 2兩步歐拉公式 設(shè)改用中心差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 再離散化 即可導(dǎo)出下列格式 無論是顯式歐拉公式還是隱式歐拉公式 它們都是單步法 其特點(diǎn)是計算時只用到前一步的信息yi 而該格式卻調(diào)用了前面兩步的信息yi 1 yi 兩步歐拉格式因此而得名 兩步歐拉格式具有更高的精度 它是二階方法 引言 回顧 本章解決的問題 一階常微分方程的初值問題 7 1歐拉法和改進(jìn)的歐拉法 預(yù)測 校正公式 改進(jìn)的歐拉公式 歐拉公式 7 1歐拉法和改進(jìn)的歐拉法 兩步歐拉公式 向后歐拉公式 7 2龍格 庫塔法 R K法 7 2 1二階龍格 庫塔公式 7 2 2四階龍格 庫塔公式 引言 公式構(gòu)造思想 從泰勒公式出發(fā) 尋找更高階的數(shù)值公式 例如 泰勒公式計算到二階可得 令 則 略去余項(xiàng) 得出一個二階的數(shù)值公式為 因 引言 理論上按此方式可以得到更高階的公式 但需要計算復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 使算法復(fù)雜而不實(shí)用 龍格 庫塔的思想 間接地運(yùn)用泰勒公式 利用y x 在若干個點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值 作出一個適當(dāng)?shù)木€性組合 使這個線性組合按h展開后的泰勒公式與y x h 的泰勒公式有較多的項(xiàng)達(dá)到一致 從而得出較高階的數(shù)值公式 引言 R階龍格 庫塔 Runge Kutta 法的一般形式 7 2 1二階龍格 庫塔公式 設(shè)想一個有二階精度的數(shù)值公式形狀為 a b為待定系數(shù) 仍令x xi 則x h xi 1 如果能找出a b 使得 略去余項(xiàng)就可得到上面所希望的近似計算公式了 因此考慮 在h 0處求泰勒公式得 由于 7 2 1二階龍格 庫塔公式 由T h 的泰勒公式 7 2 1二階龍格 庫塔公式 為使T h O h3 令 解出 得 整理得 7 2 1二階龍格 庫塔公式 利用 可以推出 取x xi并略去O h3 便得到二階龍格 庫塔公式 或 7 2 1二階龍格 庫塔公式 可以推出 取x xi并略去O h3 便得到二階龍格 庫塔公式 或 7 2 2四階龍格 庫塔公式 仿照上述的討論 可導(dǎo)出四階龍格 庫塔公式 例取步長h 0 2 用四階龍格 庫塔公式求下面初值問題的數(shù)值解 7 2 2四階龍格 庫塔公式 解 由公式得 7 2 2四階龍格 庫塔公式 數(shù)值解yi與準(zhǔn)確解y xi 的對照見表 準(zhǔn)確解是 xi yi y xi 7 3線性多步法 7 3 1四階阿達(dá)姆斯 Adams 外插公式 7 3 2四階阿達(dá)姆斯 Adams 內(nèi)插公式 7 3 0多步法的概念 7 3 3初始出發(fā)值的計算 7 3 4阿達(dá)姆斯預(yù)測 校正公式 7 3 0多步法的概念 單步法 計算yi 1時只使用yi的值 多步法 計算yi 1時使用前面的k個y值 即由yi k 1 yi k 2 yi 1 yi計算yi 1 k 1 2 線性多步法 計算yi 1的公式由yi k 1 yi k 2 yi 1 yi的線性組合表達(dá) 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 設(shè)想用yi 3 yi 2 yi 1 yi的值計算yi 1 為方便討論由 出發(fā)計算y x h 由初值問題的方程y f x y x 兩邊從x到x h積分 可得到等價的積分方程 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 設(shè)想運(yùn)用數(shù)值積分方法 取x 3h x 2h x h x為插值基點(diǎn) 做f s y s 的三次拉格朗日插值 用它近似計算上式的積分 這樣得到的數(shù)值積分公式是f s y s 在4個插值基點(diǎn)處的函數(shù)值的線性組合 由于f x ih y x ih y x ih 所得到的計算y x h 的近似公式形為 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 為達(dá)到四階精度 希望確定參數(shù)b0 b1 b2 b3使?jié)M足 運(yùn)用在h 0處的泰勒公式得 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 為達(dá)到四階精度 希望確定參數(shù)b0 b1 b2 b3使?jié)M足 運(yùn)用在h 0處的泰勒公式得 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 為使誤差等于O h5 令h h2 h3 h4的系數(shù)為0 得方程組 求得 代入前面的公式得 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 令x xi并記 7 3 1四階阿達(dá)姆斯外插公式 略去余項(xiàng) 得到四階阿達(dá)姆斯外插公式 這是顯式公式 公式的截斷誤差為O h5 7 3 2四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式 把四階阿達(dá)姆斯外插公式中使用的yi 3 yi 2 yi 1 yi改為 yi 2 yi 1 yi yi 1 經(jīng)類似的推導(dǎo)可得近似公式 確定待定系數(shù)的方程組為 7 3 2四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式 解得 得到四階阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式 這是一個隱式公式 截斷誤差也是O h5 7 3 3初始出發(fā)值的計算 阿達(dá)姆斯公式的特點(diǎn)是計算公式簡單 只需簡單的算術(shù)運(yùn)算 計算量少 結(jié)果的精度較高 但需要4個初始出發(fā)值 1 使用單步法 例如龍格 庫塔法求出發(fā)值 2 使用y x 在x x0處的泰勒公式 其中泰勒公式的階數(shù)k按需要選取 各導(dǎo)數(shù)值由復(fù)合函數(shù)f x y x 的求導(dǎo)得出 7 3 4阿達(dá)姆斯預(yù)測 校正公式 阿達(dá)姆斯內(nèi)插公式是隱式