2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何高考中的圓錐曲線問題（第3課時(shí)）證明與探索性問題教案.docx

第3課時(shí)證明與探索性問題題型一證明問題例1(2017全國(guó))設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.(1)解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.思維升華圓錐曲線中的證明問題多涉及證明定值、點(diǎn)在定直線上等，有時(shí)也涉及一些否定性命題，證明方法一般是采用直接法或反證法跟蹤訓(xùn)練1 已知橢圓T：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(0,1)，離心率e，圓C：x2y24，從圓C上任意一點(diǎn)P向橢圓T引兩條切線PM，PN.(1)求橢圓T的方程；(2)求證：PMPN.(1)解由題意可知b1，即2a23c2，又a2b2c2，聯(lián)立解得a23，b21.橢圓方程為y21.(2)證明方法一當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為1，PM斜率不存在，PN斜率為0，PMPN.當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)P(x0，y0)，則xy4，設(shè)kPMk，PM的方程為yy0k(xx0)，聯(lián)立方程組消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30，依題意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0，化簡(jiǎn)得(3x)k22x0y0k1y0，又kPM，kPN為方程的兩根，所以kPMkPN1.所以PMPN.綜上知PMPN.方法二當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為1，PM斜率不存在，PN斜率為0，PMPN.當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí)，設(shè)P(2cos，2sin)，切線方程為y2sink(x2cos)，聯(lián)立得(13k2)x212k(sinkcos)x12(sinkcos)230，令0，即144k2(sinkcos)24(13k2)12(sin kcos )230，化簡(jiǎn)得(34cos2)k24sin2k14sin20，kPMkPN1.所以PMPN.綜上知PMPN.題型二探索性問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意思維升華解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開放思維，采取另外合適的方法跟蹤訓(xùn)練2(2018廣州模擬)已知橢圓E：1(ab0)過點(diǎn)Q，且離心率e，直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)判斷是否存在直線l，滿足2，2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由題意得解得所以橢圓E的方程為y21.(2)存在直線l，滿足2，2.理由如下：方法一由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則C，D(0，m)由方程組得(12k2)x24kmx2m220，所以16k28m280.(*)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.因?yàn)?，2，所以，所以C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段MN的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合所以x1x20，解得k.由C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得|MN|3|CD|.所以|x1x2|3，即|x1x2|3，解得m.驗(yàn)證知(*)成立所以存在直線l，滿足2，2，此時(shí)直線l的方程為yx或yx.方法二設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，由2，2，得解得M(2m，n)，N(m,2n)又M，N兩點(diǎn)在橢圓上，所以即解得故所求直線l的方程為5x10y20或5x10y20或5x10y20或5x10y20.1(2018聊城模擬)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)A(4,0)作關(guān)于x軸對(duì)稱的兩條不同直線l1，l2分別交橢圓于M(x1，y1)與N(x2，y2)，且x1x2，證明直線MN過定點(diǎn)，并求AMN的面積S的取值范圍解(1)設(shè)a2b2c2，則，設(shè)P(x，y)，則c|y|，|y|b，bc.解得橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)MN方程為xnym(n0)，聯(lián)立得(n24)y22nmym240，由題意知，16(n2m24)0，y1y2，y1y2，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩條不同直線l1，l2的斜率之和為0，即0，即0，得2ny1y2m(y1y2)4(y1y2)0，即0.解得m1.直線MN方程為xny1，直線MN過定點(diǎn)B(1,0)又|y1y2|44，令t，t，|y1y2|4(0，)，又S|AB|y1y2|y1y2|.2(2018菏澤模擬)已知拋物線E的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為圓F：x2y24x30的圓心F.經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線E于A，D兩點(diǎn)，交圓F于B，C兩點(diǎn)，A，B在第一象限，C，D在第四象限(1)求拋物線E的方程；(2)是否存在直線l使2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng)？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)圓F的方程為(x2)2y21，圓心F的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r1.根據(jù)題意設(shè)拋物線E的方程為y22px(p0)，2，解得p4.拋物線E的方程為y28x.(2)2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng)，|BC|2r，|AB|CD|4|BC|42r8.|AD|AB|BC|CD|10.討論：若l垂直于x軸，則l的方程為x2，代入y28x，解得y4.此時(shí)|AD|8，不滿足題意；若l不垂直于x軸，則設(shè)l的斜率為k(k0)，此時(shí)l的方程為yk(x2)，由得k2x2(4k28)x4k20.設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2.拋物線E的準(zhǔn)線方程為x2，|AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24，410，解得k2.易知k2符合題設(shè)存在滿足要求的直線l：2xy40或直線l：2xy40.3(2018三明質(zhì)檢)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，圓心在直線yx上的圓E與x軸相切，且E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M(1,0)對(duì)稱(1)求E和的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線l與E交于A，B，與交于C，D，求證：|CD|AB|.(1)解設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則F.已知E在直線yx上，故可設(shè)E(2a，a)因?yàn)镋，F(xiàn)關(guān)于M(1,0)對(duì)稱，所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.因?yàn)镋與x軸相切，故半徑r|a|1，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.(2)證明由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，那么其方程為yk(x1)(k0)，則E(2，1)到l的距離d，因?yàn)閘與E交于A，B兩點(diǎn)，所以d2r2，即0，所以|AB|22.由消去y并整理得x24kx4k0.16k216k0恒成立，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x24k，x1x24k，那么|CD|x1x2|4.所以2.所以|CD|22|AB|2，即|CD|AB|.4(2018蘭州診斷)橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于x軸的直線與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，若|PF1|，且ab2.(1)求橢圓E的方程；(2)已知點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在拋物線C：y2mx上，是否存在直線l與橢圓交于A，B，使得A，B的中點(diǎn)M落在直線y2x上，并且與拋物線C相切，若直線l存在，求出l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由題意可得P，則解得a22，b21，所以橢圓方程為y21.(2)由(1)可知P，則有Q，代入y2mx可得拋物線方程是y2x.若直線l斜率存在，設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式作差可得(y1y2)(y1y2)0，A，B的中點(diǎn)M落在直線y2x上，則有y1y22(x1x2)，代入可得，直線l方程可以設(shè)為yxb，與拋物線方程聯(lián)立消元可得方程y22y2b0，直線與拋物線相切則有48b0，即b，則直線l的方程為x4y20，與橢圓方程聯(lián)立得消元可得方程9y28y10，6449280，所以直線x4y20滿足題意當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線x0滿足題意綜上所述，直線l的方程為x0或x4y20.5(2018甘肅西北師范大學(xué)附屬中學(xué)診斷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求直線ON的斜率kON；(2)求證：對(duì)于橢圓C上的任意一點(diǎn)M，都存在0,2)，使得cossin成立(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，因?yàn)?，所以，故有a23b2.從而橢圓C的方程可化為x23y23b2.知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(b,0)，據(jù)題意有AB所在的直線方程為yxb.由得4x26bx3b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點(diǎn)N(x0，y0)，由及根與系數(shù)的關(guān)系得：x0，y0x0bb.所以kON，即為所求(2)證明顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立設(shè)M(x，y)，由(1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.由有x1x2，x1x2.所以x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.又點(diǎn)A，B在橢圓C上，故有x3y3b2，x3y3b2.將，代入可得，221.所以，對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)M，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，且221.所以存在0,2)，使得cos，sin.也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，總存在0,2)，使得等式cossin成立6.如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(