趣味數(shù)學(xué)114：不可思議的“雪花曲線”.doc

如果說有一種平面圖形，它的面積是有限的而周長卻是無限的，你相信嗎？“雪花曲線”就是這樣。那么，什么是“雪花曲線”呢？“雪花曲線”是從一個(gè)等邊三角形(如圖)開始，一步一步作出來的。第一步：把等邊三角形的各邊三等分，從每條邊三等分后的中段，向外作小等邊三角形，再去掉與原來等邊三角形重疊的邊(如圖)。為了便于敘述，以后把這個(gè)過程簡稱為“變化”。第二步：對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第三步：再對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第四步：再對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第五步、第六步照這樣一直進(jìn)行下去，就得到“雪花曲線”。現(xiàn)在來計(jì)算“雪花曲線”(所圍成的圖形)的面積和周長。從以上過程可以看出，“雪花曲線”是一個(gè)邊長、邊數(shù)不斷變化，同一圖形邊長相等的對(duì)稱圖形。所以，必須首先研究一下圖形的邊數(shù)、邊長和面積的變化規(guī)律。觀察發(fā)現(xiàn)：規(guī)律一：每次變化后，原來等邊三角形的一條邊，所形成的折線包括4條線段，所以，新圖形的邊數(shù)是原圖形的4倍，而邊長是原圖形的1/3；規(guī)律二：每次變化后，原來等邊三角形的一條邊上，所作的小等邊三角形的面積，是原來等邊三角形面積的1/9(參看下圖)。一、“雪花曲線”的面積：為了便于計(jì)算，設(shè)原來等邊三角形的面積為“1”。第一步以后，因?yàn)樵瓉淼倪厰?shù)是3，向外作了3個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是1/9，增加的面積是31/9。第二步以后，邊數(shù)變成34，向外作了34個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)2，增加的面積是34(1/9)2。第三步以后，邊數(shù)變成342，向外作了342個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)3，增加的面積是342(1/9)3。第四步以后，邊數(shù)變成343，向外作了343個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)4，增加的面積是343(1/9)4。依次類推，第n步以后，邊數(shù)變成34n-1，向外作了34n-1個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)n，增加的面積是34n-1(1/9)n。于是，“雪花曲線”的面積S雪131/934(1/9)2342(1/9)3343(1/9)434n-1(1/9)n化簡，由第3項(xiàng)開始，從每項(xiàng)的最后一個(gè)因數(shù)中，拿出1個(gè)1/9，與前面的3乘在一起，于是：S雪131/9(31/9)(41/9)(31/9)(41/9)2(31/9)(41/9)3(31/9)(41/9)n-111/31/34/91/3(4/9)21/3(4/9)31/3(4/9)n-111/314/9(4/9)2(4/9)3(4/9)n-1中括號(hào)里面是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為4/9的無窮等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，首項(xiàng)為a，公比為q時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)的和Sna(1qn)/(1q)。對(duì)于q1的無窮等比數(shù)列來說，qn趨于0，Sa/(1q)。這里，a1，q4/91，所以，中括號(hào)里面的和等于1/(14/9)9/5。于是，“雪花曲線”的面積是S雪11/39/513/58/5。即，“雪花曲線”的面積是原來等邊三角形的8/5倍。二、“雪花曲線”的周長：因?yàn)?，周長邊長邊數(shù)，而每次變化后，邊長是原來的1/3，邊數(shù)是原來的4倍，所以，周長是原來的1/344/3。也就是說，每次變化后，邊長都比原來增加1/3。