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宇軒在線資源中心 一元二次方程的解法(三)-公式法,因式分解法知識講解(基礎(chǔ))責(zé)編:康紅梅 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,了解公式法的概念,能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程;2. 正確理解因式分解法的實質(zhì),熟練運用因式分解法解一元二次方程;3. 通過求根公式的推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性,滲透分類的思想【要點梳理】要點一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程,當(dāng)時,.2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式: 當(dāng)時,原方程有兩個不等的實數(shù)根; 當(dāng)時,原方程有兩個相等的實數(shù)根; 當(dāng)時,原方程沒有實數(shù)根.3.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟: 把一元二次方程化為一般形式; 確定a、b、c的值(要注意符號); 求出的值; 若,則利用公式求出原方程的解; 若,則原方程無實根.要點詮釋:(1)雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解,但它往往并非最簡單的,一定要注意方法的選擇.(2)一元二次方程,用配方法將其變形為:. 當(dāng)時,右端是正數(shù)因此,方程有兩個不相等的實根:. 當(dāng)時,右端是零因此,方程有兩個相等的實根:. 當(dāng)時,右端是負(fù)數(shù)因此,方程沒有實根.要點二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0;(2)將方程左邊分解為兩個一次式的積;(3)令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程;(4)解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.要點詮釋: (1)能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點:方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次 因式的積;(2)用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù):兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意點:必須將方程的右邊化為0;方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0; (2); (3) 2x2+3x-1=0【答案與解析】 (1) a=1,b=3,c=1x=x1=,x2=(2)原方程化為一般形式,得,即, (3) a=2,b=3,c=1b24ac=170x=x1=,x2=【總結(jié)升華】用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是對a、b、c的確定用這種方法解一元二次方程的步驟是:(1)把方程化為一元二次方程的一般形式;(2)確定a,b,c的值并計算的值;(3)若是非負(fù)數(shù),用公式法求解舉一反三:【變式】用公式法解方程:(2014武漢模擬)x23x2=0【答案】解:a=1,b=3,c=2;b24ac=(3)241(2)=9+8=17;x=,x1=,x2=2用公式法解下列方程:(1) (2014武漢模擬)2x2+x=2; (2) (2014秋開縣期末)3x26x2=0 ; (3)(2015黃陂區(qū)校級模擬)x23x7=0【思路點撥】針對具體的試題具體分析,不是一般式的先化成一般式,再寫出a,b,c的值,代入求值即可.【答案與解析】 解:(1)2x2+x2=0,a=2,b=1,c=2,x=,x1=,x2=(2) a=3,b=6,c=2,b24ac=36+24=600,x=,x1=,x2= (3)a=1,b=3,b=7b24ac=9+28=37.x= = ,解得 x1=,x2=【總結(jié)升華】首先把每個方程化成一般形式,確定出a、b、c的值,在的前提下,代入求根公式可求出方程的根舉一反三:【變式】用公式法解下列方程: ;【答案】解:移項,得 , , ,類型二、因式分解法解一元二次方程3(2016沈陽)一元二次方程x24x=12的根是()Ax1=2,x2=6Bx1=2,x2=6Cx1=2,x2=6Dx1=2,x2=6【思路點撥】方程整理后,利用因式分解法求出解即可【答案】B【解析】 解:方程整理得:x24x12=0,分解因式得:(x+2)(x6)=0,解得:x1=2,x2=6,故選B【總結(jié)升華】此題考查了解一元二次方程因式分解法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵4解下列一元二次方程: (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40; (2)【答案與解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+40,(2x+1+2)20 即, (2) 移項,得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0,即(x-1)(x+2)0,所以,【總結(jié)升華】解一元二次方程時,一定要先從整體上分析,選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄈ?(1)可以用完全平方公式用含未知數(shù)的整式去除方程兩邊時,很可能導(dǎo)致方程丟根,(2)容易丟掉x1這個根舉一反三:【變式】(1)(x+8)2-5(x+8)+6=0 (2)【答案】(1)(x+8-2)(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奧秘,并完成填空: 一元二次方程 兩個根二次三項式因式分解 x22x+1=0 x1=1,x2=1 x22x+1=(x1)(x1) x23x+2=0 x1=1,x2=2 x23x+2=(x1)(x2) 3x2+x2=0 x1=,x2=13x2+x2=3(x)(x+1) 2x2+5x+2=0 x1=,x2=2 2x2+5x+2=2(x+)(x+2) 4x2+13x+3=0 x1=,x2= 4x2+13x+3=4(x+)(x+)將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化,并寫出來【思路點撥】利用因式分解法,分別求出表中方程的解,總結(jié)規(guī)律,得出結(jié)論【答案與解析】填空:,3
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