第三屆青年教師中考數(shù)學(xué)壓軸題講題比賽

0 1 第三屆青年教師中考數(shù)學(xué)壓軸題講題比賽 第一天上午 主持人 于永庫(kù) 趙 輝 孔令志 1 王小武和他的朋友們代表隊(duì) 2019 長(zhǎng)沙第 26 題 2 河南大學(xué)附中代表隊(duì) 2019 河南第 23 題 3 東道主長(zhǎng)春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)代表隊(duì) 2019 長(zhǎng)春第 23 題 第一天下午 主持人 趙 輝 王小武 張春瑩 4 曲阜市代表隊(duì) 孔祥騫名師工作室代表隊(duì) 2019 濟(jì)寧第 22 題 5 宜昌市代表隊(duì) 張欽博士工作室代表隊(duì) 2019 宜昌第 24 題 6 長(zhǎng)春市 XYZ 數(shù)學(xué)工作室代表隊(duì) 2019 長(zhǎng)春第 24 題 7 河北邢臺(tái)劉雪教研員代表隊(duì) 2019 河北第 26 題 第二天上午 主持人 王小武 李長(zhǎng)春 于永庫(kù) 8 太原市第 38 中學(xué)代表隊(duì) 2019 山西第 23 題 9 淄博市張店區(qū)七中代表隊(duì) 2019 淄博第 24 題 10 上海挑戰(zhàn)壓軸題代表隊(duì) 2019 上海第 25 題 臺(tái)下策應(yīng) 王勇戰(zhàn) 賀基旭 王麗萍 幾何畫板 讀題 邵新虎 趙 彬 總主持人 馬學(xué)斌 黃曉龍 專家 嘉賓 羅增儒教授 方運(yùn)加教授 孟祥靜教授 學(xué)術(shù)支持 中小學(xué)數(shù)學(xué) 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 華東師范大學(xué)出版社 2 長(zhǎng)長(zhǎng)春春市市凈凈月月實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)中中學(xué)學(xué)簡(jiǎn)簡(jiǎn)介介 長(zhǎng)春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué) 原長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初中 部 創(chuàng)建于 2008 年 學(xué)校是由長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)和 長(zhǎng)春宏達(dá)產(chǎn)業(yè)集團(tuán)聯(lián)合創(chuàng)辦 市教育局批準(zhǔn)成立的 民辦住宿制初級(jí)中學(xué) 學(xué)?，F(xiàn)有教職員工 200 余人 教學(xué)班級(jí) 54 個(gè) 在籍學(xué)生 2000 余人 學(xué)校坐落在長(zhǎng)春市凈月高新 技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū) 占地 18000 平方米 建筑面積 22000 平方米 其中教學(xué)樓共有學(xué)生教室 54 間 擁 有一流的理 化 生實(shí)驗(yàn)室 圖書室 微機(jī)室等多 功能室 班級(jí)配備了先進(jìn)的多媒體教學(xué)系統(tǒng) 現(xiàn)代 化教學(xué)設(shè)施一應(yīng)俱全 宿舍樓共有學(xué)生宿舍 260 間 每間宿舍均配有獨(dú)立洗漱間 學(xué)校食堂 可容納 2000 余人同時(shí)就餐 我校堅(jiān)持貫徹 關(guān)注生命 關(guān)注健康 關(guān)注品德 關(guān)注學(xué)業(yè) 的辦學(xué)理念 遵循 樂觀 寬容 感恩 的育人思想 樹立 為孩子成長(zhǎng)負(fù)責(zé) 為國(guó)家未來負(fù)責(zé) 的教育信仰 致力于 培養(yǎng)個(gè)性張揚(yáng) 活潑開朗 明德知禮 博愛感恩的陽(yáng)光少年 學(xué)校堅(jiān)定實(shí)施素質(zhì)教育 恪守 嚴(yán)愛相濟(jì)的育人原則 注重學(xué)生的素質(zhì)養(yǎng)成教育 使學(xué)生 學(xué)會(huì)正義 學(xué)會(huì)熱愛 學(xué)會(huì)責(zé)任 學(xué)會(huì)文明 學(xué)會(huì)生存 學(xué)會(huì)學(xué)習(xí) 學(xué)會(huì)健康 學(xué)會(huì)相處 成為素質(zhì)高 能力強(qiáng) 敢創(chuàng)新 有思想的優(yōu)秀中學(xué)生 長(zhǎng)春凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)精英薈萃 名師輩出 他們既有來長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)等名校的全國(guó)知名 校長(zhǎng) 有長(zhǎng)春市優(yōu)秀初中的校長(zhǎng) 管理人才及教學(xué)精英 有一支師德高尚 業(yè)務(wù)精湛 實(shí)力 非凡的教師隊(duì)伍 他們是凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)子的良師益友 更是學(xué)生獲得成功的堅(jiān)實(shí)保障 學(xué)為 人師 行為世范 創(chuàng)建優(yōu)質(zhì)教風(fēng) 樹立淳厚校風(fēng) 鑄造師魂豐碑 學(xué)?，F(xiàn)有教師 150 余人 全部本科學(xué)歷以上 其中具有研究生以上學(xué)歷 30 余人 教師平均年齡 30 歲 正處于年富力 強(qiáng) 張揚(yáng)理想 敢于創(chuàng)新 極具親和力的 黃金時(shí)期 學(xué)校還聘請(qǐng)心理 舞蹈 跆拳道 生命教育等專任教師 為學(xué)生開拓更廣泛的學(xué)習(xí)生活 小班化辦學(xué)特色 學(xué)校全面做到為 30 人和 40 人的小班教學(xué) 在長(zhǎng)春市所有初中僅此 一家 從現(xiàn)代學(xué)校教育的發(fā)展趨勢(shì)來看 小班化教學(xué)已經(jīng)成為優(yōu)質(zhì)教育的代名詞 小班化教 學(xué)不只是班級(jí)人數(shù)相對(duì)較少 其本質(zhì)內(nèi)涵是要求課堂教學(xué)真正實(shí)現(xiàn)面向全體 尊重個(gè)性 體 現(xiàn)差異 因材施教 小班化教學(xué) 更便于教師開展 適合 適度 適性 的教育教學(xué)活動(dòng) 讓每個(gè)孩子充分享受教育教學(xué)資源 更大程度上實(shí)現(xiàn)教育公平 我們不斷深化課堂教學(xué)改革 將課堂定位為 知識(shí)的超市 生命的狂歡 優(yōu)化教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式 促進(jìn)學(xué)生自主 主 動(dòng)地學(xué)習(xí) 除國(guó)家規(guī)定的課程之外 我校還開設(shè)了有專任教師的男生跆拳道課 女生形體訓(xùn)練課 自主閱讀課 生命教育課 心理咨詢 各種學(xué)生社團(tuán) 合唱團(tuán) 腰鼓隊(duì) 管樂隊(duì) 朗誦社 記者團(tuán)等 及固定的 21 個(gè)課外興趣小組活動(dòng)類課程 學(xué)科門類覆蓋面廣 體現(xiàn)豐富性與選擇 性 促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升 3 形體舞蹈課配備專業(yè)舞蹈教師 面向全體女生 旨在培養(yǎng)秀外慧中的現(xiàn)代美麗女生 氣質(zhì)優(yōu)雅 身心健康 容止美好 情操高尚 具有良好行為習(xí)慣和較高審美水平 跆拳道課設(shè)置專門場(chǎng)地 聘請(qǐng)專業(yè)教練 實(shí)行正規(guī)認(rèn)證 面向全體男生 旨在提高學(xué) 生文明謙和的禮儀水平 培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì) 形成寬宏自信的陽(yáng)剛之氣 實(shí)現(xiàn)強(qiáng)體健 美的育人目的 自主閱讀課每周一次 讓學(xué)生在靜謐的環(huán)境和浩瀚的書海中 快樂閱讀 享受閱讀 開 闊視野 生長(zhǎng)胸襟 生命健康教育課以專題教學(xué)和主題教學(xué)的形式開展 旨在傳授生命知識(shí) 培養(yǎng)生命技能 讓學(xué)生學(xué)會(huì)敬畏生命 理解生命 尊重生命 珍愛生命 二十一個(gè)課外興趣小組的活動(dòng) 極大地豐富了學(xué)生的課余文化生活 還可以開拓視野 培養(yǎng) 了學(xué)生多方面的才能 4 2019 年長(zhǎng)沙市中考第 26 題 王小武代表隊(duì) 王小武 朱建平 王娟 資二古 謝小飛 如圖 1 拋物線 y ax2 6ax a 為常數(shù) a 0 與 x 軸交于 O A 兩點(diǎn) 點(diǎn) B 為拋物線 的頂點(diǎn) 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 t 0 3 t 0 連接 BD 并延長(zhǎng)與過 O A B 三點(diǎn)的 P 相交 于點(diǎn) C 1 求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 2 過點(diǎn) C 作 P 的切線 CE 交 x 軸于點(diǎn) E 如圖 1 求證 CE DE 如圖 2 連接 AC BE BO 當(dāng) a 3 3 CAE OBE 時(shí) 求 11 ODOE 的值 圖 1 圖 2 5 6 2019 年長(zhǎng)沙市中考第 26 題 王小武代表隊(duì) 如圖 1 拋物線 y ax2 6ax a 為常數(shù) a 0 與 x 軸交于 O A 兩點(diǎn) 點(diǎn) B 為拋物線 的頂點(diǎn) 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 t 0 3 t 0 連接 BD 并延長(zhǎng)與過 O A B 三點(diǎn)的 P 相交 于點(diǎn) C 1 求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 2 過點(diǎn) C 作 P 的切線 CE 交 x 軸于點(diǎn) E 如圖 1 求證 CE DE 如圖 2 連接 AC BE BO 當(dāng) a 3 3 CAE OBE 時(shí) 求 11 ODOE 的值 圖 1 圖 2 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 長(zhǎng)沙 26 拖動(dòng)點(diǎn) D 或點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 ECD 中 的 EC 和 ED 的對(duì)角是等角的余角 EC 與 ED 保持相等 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 3 題 拖動(dòng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng) 或者點(diǎn)擊按鈕 可以體 驗(yàn)到 當(dāng) 時(shí) BO 是 BDE 的角平分線 思路點(diǎn)撥 1 作弦心距 PH 那么 BH 垂直平分 AO 再連接半徑 PB PC 這樣就出現(xiàn)了等角的 余角 2 已知 D t 0 設(shè) E m 0 這樣就把 11 ODOE 轉(zhuǎn)化為 11 tm 在 BDE 中 由三個(gè) 點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出所有線段的長(zhǎng) 包括 BO DO EO 3 解題過程中 只用點(diǎn) B 不需要拋物線 滿分解答 1 由 y ax2 6ax ax x 6 得 A 6 0 2 如圖 3 作弦心距 PH 那么 BH 垂直平分 AO 連接 PB PC 由 PB PC 得 PBC PCB 因?yàn)?CE 切 P 于點(diǎn) E 所以 PCE 90 根據(jù)等角的余角相等 得 ECD BDH 又因?yàn)?BDH EDC 所以 ECD EDC 所以 CE DE 7 圖 3 圖 4 如圖 4 由 2 33 6 3 3 3 33 yx xx 得頂點(diǎn) 3 3 3 B 再由 A 6 0 可知 AOB 是邊長(zhǎng)為 6 的等邊三角形 已知 CAE OBE 又因?yàn)?CAE CBO 所以 CBO OBE 所以 BO 是 BDE 的角平分線 點(diǎn) O 到 BD BE 的距離相等 所以 BDO BEO SBD SBE 如果把 BDO 和 BEO 看作同高三角形 那么 BDO BEO SDO SEO 所以 BDDO BEEO 設(shè) E m 0 由 22 22 BDDO BEEO 得 222 2 22 3 3 3 3 3 3 tt mm 整理 得 6 6 t m t 所以 1611 66 t mtt 所以 11 ODOE 111 6tt 1 6 考點(diǎn)伸展 第 2 題 求 m 與 t 的關(guān)系 還可以證明 ABD AEB 如圖 4 因?yàn)?ABD ABO 60 AEB AOB 60 所以 ABD AEB 又因?yàn)?BAE 是公共角 所以 ABD AEB 于是 AB2 AD AE 所以 62 6 t 6 m 整理 得 6 6 t m t 8 2019 年河南省中考第 23 題 河南大學(xué)附中代表隊(duì) 桑靜華 張夢(mèng)蕰 金秀云 閆炳瑞 如圖 1 拋物線 2 1 2 yaxxc 交 x 軸于 A B 兩點(diǎn) 交 y 軸于點(diǎn) C 直線 1 2 2 yx 經(jīng)過點(diǎn) A C 1 求拋物線的解析式 2 點(diǎn) P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 交直線 AC 于點(diǎn) M 設(shè)點(diǎn) P 的橫 坐標(biāo)為 m 當(dāng) PCM 是直角三角形時(shí) 求點(diǎn) P 的坐標(biāo) 作點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) B 則平面內(nèi)存在直線 l 使點(diǎn) M B B 到該直線的距離 都相等 當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)的拋物線上 且與點(diǎn) B 不重合時(shí) 請(qǐng)直接寫出直線 l y kx b 的解析式 k b 可用含 m 是式子表示 圖 1 9 10 2019 年河南省中考第 23 題 河南大學(xué)附中代表隊(duì) 如圖 1 拋物線 2 1 2 yaxxc 交 x 軸于 A B 兩點(diǎn) 交 y 軸于點(diǎn) C 直線 1 2 2 yx 經(jīng)過點(diǎn) A C 1 求拋物線的解析式 2 點(diǎn) P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 交直線 AC 于點(diǎn) M 設(shè)點(diǎn) P 的橫 坐標(biāo)為 m 當(dāng) PCM 是直角三角形時(shí) 求點(diǎn) P 的坐標(biāo) 作點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) B 則平面內(nèi)存在直線 l 使點(diǎn) M B B 到該直線的距離 都相等 當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)的拋物線上 且與點(diǎn) B 不重合時(shí) 請(qǐng)直接寫出直線 l y kx b 的解析式 k b 可用含 m 是式子表示 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 河南 23 拖動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 直角 三角形 PCM 存在兩種情況 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 2 題 拖動(dòng)點(diǎn) P 在 y 軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng) 可以體 驗(yàn)到 BB M 的三條中位線所在的直線 每條都滿足點(diǎn) M B B 到該直線的距離都相等 思路點(diǎn)撥 1 分兩種情況討論直角三角形 PCM 具體問題具體分析 MPC 90 時(shí) PC x 軸 MCP 90 時(shí) 構(gòu)造兩個(gè)直角三角形相似 2 點(diǎn) M B B 到同一條直線的距離相等 不由得想起了三角形的中位線 滿分解答 1 由 1 2 2 yx 得 A 4 0 C 0 2 將 A 4 0 C 0 2 兩點(diǎn)分別代入 2 1 2 yaxxc 得 1620 2 ac c 解得 1 4 a c 2 所以 2 11 2 42 yxx 2 直線 PM 與直線 AC 的夾角保持不變 直角三角形 PCM 存在兩種情況 i 如圖 2 當(dāng) MPC 90 時(shí) PC x 軸 所以 P C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸 x 1 對(duì)稱 此時(shí) P 2 2 ii 如圖 3 當(dāng) MCP 90 時(shí) 作 MG y 軸于 G 作 PH y 軸于 H 由 PHC CGM 得 PHCG HCGM 設(shè) P 2 11 2 42 mmm M 1 2 2 mm 11 所以 2 1 2 11 42 m m m mm 因?yàn)?m 0 化簡(jiǎn) 得 11 11 2 42 m 解得 m 6 此時(shí) P 6 10 直線 l 的解析式是 4 2 24 m yx m 圖 2 圖 3 考點(diǎn)伸展 第 2 題 可以這樣思考 如圖 4 BB M 的三條中位線所在的直線 每條都滿足點(diǎn) M B B 到該直線的距離都相等 i 將 B 2 0 M 1 2 2 mm 兩點(diǎn)分別代入 y kx b 得 20 1 2 2 kb mkbm 解得 4 24 m k m 此時(shí)直線 l 的解析式為 4 2 24 m yx m ii 將 B 2 4 M 1 2 2 mm 兩點(diǎn)分別代入 y kx b 得 20 1 2 2 kb mkbm 解得 4 24 m k m 此時(shí)直線 l 的解析式為 4 2 24 m yx m iii 因?yàn)橹本€ BC 的斜率 k 1 BM 的中點(diǎn) 為 D 11 1 1 24 mm 將點(diǎn) D 代入 y x b 得 3 2 4 bm 此時(shí)直線 l 的解析式為 3 2 4 yxm 圖 4 12 2019 年長(zhǎng)春市中考第 23 題 東道主長(zhǎng)春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)代表隊(duì) 李洋 石桂陽(yáng) 周月昕 如圖 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 20 BC 15 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā) 沿 AC 向 終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā) 沿射線 CB 運(yùn)動(dòng) 它們的速度均為每秒 5 個(gè)單位長(zhǎng)度 點(diǎn) P 到達(dá)終點(diǎn)時(shí) P Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn) P 不與點(diǎn) A C 重合時(shí) 過點(diǎn) P 作 PN AB 于 點(diǎn) N 連結(jié) PQ 以 PN PQ 為鄰邊作平行四邊形 PQMN 設(shè)平行四邊形 PQMN 與 ABC 重疊部分圖形的面積為 S 點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 1 AB 的長(zhǎng)為 PN 的長(zhǎng)用含 t 的代數(shù)式表示為 2 當(dāng)平行四邊形 PQMN 為矩形時(shí) 求 t 的值 3 當(dāng)平行四邊形 PQMN 與 ABC 重疊部分圖形為四邊形時(shí) 求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān) 系式 4 當(dāng)過點(diǎn) P 且平行于 BC 的直線經(jīng)過平行四邊形 PQMN 一邊的中點(diǎn)時(shí) 直接寫出 t 的值 圖 1 13 14 15 2019 年長(zhǎng)春市中考第 23 題 東道主長(zhǎng)春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)代表隊(duì) 如圖 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 20 BC 15 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā) 沿 AC 向 終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā) 沿射線 CB 運(yùn)動(dòng) 它們的速度均為每秒 5 個(gè)單位長(zhǎng)度 點(diǎn) P 到達(dá)終點(diǎn)時(shí) P Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn) P 不與點(diǎn) A C 重合時(shí) 過點(diǎn) P 作 PN AB 于 點(diǎn) N 連結(jié) PQ 以 PN PQ 為鄰邊作平行四邊形 PQMN 設(shè)平行四邊形 PQMN 與 ABC 重疊部分圖形的面積為 S 點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 1 AB 的長(zhǎng)為 PN 的長(zhǎng)用含 t 的代數(shù)式表示為 2 當(dāng)平行四邊形 PQMN 為矩形時(shí) 求 t 的值 3 當(dāng)平行四邊形 PQMN 與 ABC 重疊部分圖形為四邊形時(shí) 求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān) 系式 4 當(dāng)過點(diǎn) P 且平行于 BC 的直線經(jīng)過平行四邊形 PQMN 一邊的中點(diǎn)時(shí) 直接寫出 t 的值 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 長(zhǎng)春 23 拖動(dòng)點(diǎn) P 由點(diǎn) A 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 當(dāng) 平行四邊形 PQMN 是矩形時(shí) 點(diǎn) M 落在 AB 上 PQ AB 重疊部分為四邊形有平行四邊形 PQMN 和直角梯形 PQHN 兩種情況 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 4 題 拖動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 點(diǎn) P 可以經(jīng)過 MN 和 QM 的中點(diǎn) 如果經(jīng)過 PQ 的中點(diǎn) 那么點(diǎn) P 與點(diǎn) C 重合 思路點(diǎn)撥 1 APN 的形狀是確定的 三邊比為 3 4 5 設(shè)直線 QM 與 AB 交于點(diǎn) H 那么 BQH 的三邊比也是 3 4 5 2 如果平行四邊形 PQMN 是矩形 那么點(diǎn) M 落在 AB 上 PQ AB 此時(shí) CPQ 的三 邊比也是 3 4 5 3 重疊部分為四邊形分兩種情況 臨界位置是點(diǎn) M 點(diǎn) Q 分別落在 AB 上 滿分解答 1 AB 25 PN 3t 2 如圖 2 當(dāng)平行四邊形 PQMN 為矩形時(shí) 點(diǎn) M 落在 AB 上 PQ AB 由 CQCB CPCA 得 53 2054 t t 解得 12 7 t 圖 2 16 3 如圖 3 設(shè)直線 QM 與 AB 交于點(diǎn) H 在 Rt APN 中 AP 5t sin A 3 5 所以 PN 3t 所以 AN 4t 在 Rt BQH 中 BQ 15 5t sin B 4 5 所以 QH 4 5 BQ 12 4t BH 9 3t 所以 NH AB AN BH 25 4t 9 3t 16 t 圖 3 圖 4 如圖 3 當(dāng)點(diǎn) M 在 ABC 內(nèi)部或邊上時(shí) 重疊部分是平行四邊形 PQMN 0 t 12 7 此時(shí) S PN NH 3t 16 t 3t2 48t 如圖 4 當(dāng)點(diǎn) M 在 ABC 外部時(shí) 重疊部分是直角梯形 PQHN 12 7 t 3 此時(shí) S 1 2 PNQHNH 1 3124 16 2 ttt 2 1 1496 2 tt 4 直線經(jīng)過 MN 的中點(diǎn)時(shí) 100 43 t 直線經(jīng)過 QM 的中點(diǎn)時(shí) 200 59 t 考點(diǎn)伸展 第 4 題的思路是這樣的 如圖 5 過點(diǎn) P 作 AC 的垂線交 AB 于點(diǎn) K 那么 AK 5 4 AP 25 4 t 情形 如圖 5 直線 PK 經(jīng)過 MN 的中點(diǎn) D 作 DG AB 于 G 由 DG 是 NMH 的中位線 得 DG 1 2 MH 1 3 124 2 tt 1 712 2 t 因?yàn)?AG AN NG 1 2 ANNH 1 4 16 2 tt 7 8 2 t 所以 KG AG AK 725 8 24 tt 11 8 4 t 由 3 4 KGDG 列方程 1131 8 712 442 tt 解得 100 43 t 圖 5 17 情形 如圖 6 直線 PK 經(jīng)過 QM 的中點(diǎn) E 此時(shí)點(diǎn) Q 在 CB 的延長(zhǎng)線上 在 Rt BQH 中 BQ 5t 15 所以 QH 4t 12 BH 3t 9 所以 EH EQ QH 3 412 2 tt 1112 2 t KH AB BH AK 25 25 39 4 tt 13 16 4 t 由 3 4 KHEH 列方程 133 11 16 12 44 2 tt 解得 200 59 t 情形 如果直線 PK 經(jīng)過 PQ 的中點(diǎn) F 時(shí) 那么點(diǎn) P 與點(diǎn) C 重合 不符合題意 如圖 7 所示 圖 6 圖 7 18 2019 年濟(jì)寧市中考第 22 題 曲阜市代表隊(duì) 孔祥騫名師工作室代表隊(duì) 孔祥騫 王穎穎 孟凡營(yíng) 王海濱 孫中巖 楊開明 如圖 1 在矩形 ABCD 中 AB 8 AD 10 E 是 CD 邊上一點(diǎn) 連接 AE 將矩形 ABCD 沿 AE 折疊 頂點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處 延長(zhǎng) AE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 1 求線段 CE 的長(zhǎng) 2 如圖 2 點(diǎn) M N 分別是線段 AG DG 上的動(dòng)點(diǎn) 與端點(diǎn)不重合 且 DMN DAM 設(shè) AM x DN y 寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 并求出 y 的最小值 是否存在這樣的點(diǎn) M 使 DMN 是等腰三角形 若存在 請(qǐng)求出 x 的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 圖 1 圖 2 19 20 2019 年濟(jì)寧市中考第 22 題 曲阜市代表隊(duì) 孔祥騫名師工作室代表隊(duì) 如圖 1 在矩形 ABCD 中 AB 8 AD 10 E 是 CD 邊上一點(diǎn) 連接 AE 將矩形 ABCD 沿 AE 折疊 頂點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處 延長(zhǎng) AE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 1 求線段 CE 的長(zhǎng) 2 如圖 2 點(diǎn) M N 分別是線段 AG DG 上的動(dòng)點(diǎn) 與端點(diǎn)不重合 且 DMN DAM 設(shè) AM x DN y 寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 并求出 y 的最小值 是否存在這樣的點(diǎn) M 使 DMN 是等腰三角形 若存在 請(qǐng)求出 x 的值 若不存在 請(qǐng)說明理由 圖 1 圖 2 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 濟(jì)寧 22 拖動(dòng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 y 取得最小值時(shí) M 是 AG 的中點(diǎn) 還可以體驗(yàn)到 等腰三角形 DMN 存在三種情況 其中 DM DN 時(shí) 點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合 點(diǎn) N 與點(diǎn) G 重合 思路點(diǎn)撥 1 這道題目給 一線三等角 賦予了一個(gè)隱含的新情景 2 DMN 在等腰三角形 DAG 內(nèi)部運(yùn)動(dòng)變化 討論等腰三角形 DMN 時(shí) 把相等的角 都標(biāo)記出來 容易發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系 滿分解答 1 如圖 3 在 Rt ABF 中 AB 8 AF 10 所以 BF 6 在 Rt EFC 中 FC BC BF 10 6 4 設(shè) CE m 那么 EF ED 8 m 由勾股定理 得 8 m 2 42 m2 解得 m 3 圖 3 圖 4 圖 5 2 第一步 計(jì)算說理 DA DG 如圖 4 由 AD BG 得 ADDE GCCE 所以 105 3GC 所以 GC 6 如圖 5 在 Rt DCG 中 DC 8 GC 6 所以 DG 10 所以 DA DG 所以 DAG DGA 在 Rt ABG 中 AB 8 BG 16 所以 AG 8 5 21 第二步 證明 DAM MGN 由 DMG DAM 1 DMG DMN 2 DAM DMN 得 1 2 又因?yàn)?DAM MGN 所以 DAM MGN 所以 DAMG AMGN 所以10 8 5 10 x xy 所以 2 8 5 14 5 1010 10105 xx yxx 當(dāng)4 5x 時(shí) y 取得最小值 最小值 8 5 4 54 5 10102 1010 xx y 此時(shí) M 是 AG 的中點(diǎn) MN DG 圖 6 圖 7 如圖 8 所示 在等腰三角形 DAG 中 DA DG 10 AG 8 5 已知 DMN A G 分三種情況討論等腰三角形 DMN 如圖 8 所示 如果 DM DN 那么 DNM DMN G 此時(shí)點(diǎn) N 與點(diǎn) G 重合 不符合題意 如圖 9 當(dāng) MD MN 時(shí) 由于 DAM MGN 此時(shí) DAM MGN 根據(jù) DA MG 得 10 8 5 x 解得8 510 x 如圖 10 當(dāng) NM ND 時(shí) NDM DMN G 此時(shí) MDG DAG 所以 MGDG DGAG 所以 8 510 108 5 x 解得 11 5 2 x 圖 8 圖 9 圖 10 考點(diǎn)伸展 這道題目的情景圖 把一個(gè)經(jīng)典的長(zhǎng)方形紙片翻折問題 稍微延伸了一下 又成為一個(gè) 經(jīng)典的幾何計(jì)算說理問題 此時(shí)四邊形 AFGD 是菱形 這也是一個(gè)經(jīng)典的 平分 平行 必有等腰三角形 的模型 22 2019 年宜昌市中考第 24 題 宜昌市代表隊(duì) 張欽博士工作室代表隊(duì) 王婭 周芊芊 劉瑩 袁曉芹 唐斌 黃毅 如圖 1 所示 在平面直角坐標(biāo)系中 正方形 ABCD 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A 2 4 B 2 2 C 4 2 D 4 4 1 填空 正方形的面積為 當(dāng)雙曲線 k y x k 0 與正方形 ABCD 有四個(gè) 交點(diǎn)時(shí) k 的取值范圍是 2 已知拋物線 L y a x m 2 n a 0 的頂點(diǎn) P 在邊 BC 上 與邊 AB DC 分別 交于點(diǎn) E F 過點(diǎn) B 的雙曲線 k y x k 0 與邊 DC 交于點(diǎn) N 點(diǎn) Q m m2 2m 3 是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) 在拋物線 L 的運(yùn)動(dòng)過程中 點(diǎn) Q 隨 m 運(yùn)動(dòng) 分別求運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn) Q 在最高位置和最低位置時(shí)的坐標(biāo) 當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn) N 下方 AE NF 點(diǎn) P 不與 B C 兩點(diǎn)重合時(shí) 求 BECF BPCP 的值 求證 拋物線 L 與直線 x 1 的交點(diǎn) M 始終位于 x 軸下方 圖 1 備用圖 23 24 25 2019 年宜昌市中考第 24 題 宜昌市代表隊(duì) 張欽博士工作室代表隊(duì) 如圖 1 所示 在平面直角坐標(biāo)系中 正方形 ABCD 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A 2 4 B 2 2 C 4 2 D 4 4 1 填空 正方形的面積為 當(dāng)雙曲線 k y x k 0 與正方形 ABCD 有四個(gè) 交點(diǎn)時(shí) k 的取值范圍是 2 已知拋物線 L y a x m 2 n a 0 的頂點(diǎn) P 在邊 BC 上 與邊 AB DC 分別 交于點(diǎn) E F 過點(diǎn) B 的雙曲線 k y x k 0 與邊 DC 交于點(diǎn) N 點(diǎn) Q m m2 2m 3 是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) 在拋物線 L 的運(yùn)動(dòng)過程中 點(diǎn) Q 隨 m 運(yùn)動(dòng) 分別求運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn) Q 在最高位置和最低位置時(shí)的坐標(biāo) 當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn) N 下方 AE NF 點(diǎn) P 不與 B C 兩點(diǎn)重合時(shí) 求 BECF BPCP 的值 求證 拋物線 L 與直線 x 1 的交點(diǎn) M 始終位于 x 軸下方 圖 1 備用圖 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 宜昌 24 拖動(dòng) x 軸上表示實(shí)數(shù) k 的點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 當(dāng)雙曲線經(jīng)過點(diǎn) A 或點(diǎn) C 后繼續(xù)向坐標(biāo)原點(diǎn)靠近時(shí) 與正方形有 4 個(gè)交點(diǎn) 或者經(jīng)過點(diǎn) B 后繼續(xù)向坐標(biāo)原點(diǎn)靠近時(shí) 與正方形有 4 個(gè)交點(diǎn) 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 2 題 拖動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 點(diǎn) Q 隨點(diǎn) P 隨 m 運(yùn)動(dòng)變化的函數(shù)圖像是開口向下的拋物線的一部分 點(diǎn)擊按鈕 第 2 題 觀察度量值 拖動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 只要保持 AE NF 那么 BECF BPCP 的度量值等于 0 5 保持不變 點(diǎn)擊按鈕 第 2 題 拖動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 拖動(dòng)表示實(shí)數(shù) a 的點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 點(diǎn) M 與點(diǎn) P 重合 m 1 時(shí) 點(diǎn) M 的位置最低 當(dāng) a 取得最大值時(shí) 點(diǎn) M 的位置最高 思路點(diǎn)撥 1 梳理一下本題中的三條拋物線 第一條拋物線 L 是 y 關(guān)于 x 的二次函數(shù) 頂點(diǎn)是 P m 2 m 的取值范圍是 2 m 4 第二條拋物線是 yQ關(guān)于 m 的二次函數(shù) m 的取值范圍是 2 m 4 第三條拋物線是 yM關(guān)于 m 的二次函數(shù) m 的取值范圍是 2 m 4 yM的值不僅受 m 的影 響 還受 a 的影響 26 2 A B C D 四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的 E F N M 四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是確定的 用 a m 把這四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示出來 點(diǎn) P 的坐標(biāo)表示為 m 2 題目玩的就是這九個(gè)點(diǎn)的 關(guān)系 理來理去就是這九個(gè)點(diǎn)與 a m 的關(guān)系 滿分解答 1 正方形的面積為 36 當(dāng)雙曲線 k y x k 0 與正方形 ABCD 有四個(gè)交點(diǎn)時(shí) k 的取值范圍是 0 k 4 或 8 k 0 2 因?yàn)?yQ m2 2m 3 m 1 2 4 所以 yQ隨 m 運(yùn)動(dòng)變化的函數(shù)圖像是開 口向下的拋物線 m 的變化范圍是 2 m 4 如圖 2 所示 點(diǎn) P Q 的橫坐標(biāo)都是 m 當(dāng) m 1 時(shí) yQ m 1 2 4 4 所以點(diǎn) Q 最高時(shí)坐標(biāo)為 1 4 當(dāng) m 4 時(shí) yQ m 1 2 4 21 所以點(diǎn) Q 最低時(shí)坐標(biāo)為 4 21 圖 2 圖 3 第一步 由 AE NF 探求 a m 之間的關(guān)系 如圖 3 因?yàn)殡p曲線 k y x 經(jīng)過點(diǎn) B 2 2 所以 4 y x 所以 N 4 1 因?yàn)閽佄锞€ y a x m 2 n a 0 的頂點(diǎn) P 在邊 BC 上 所以 y a x m 2 2 因?yàn)辄c(diǎn) E F 在拋物線上 所以 E 2 a 2 m 2 2 F 4 a 4 m 2 2 由 AE NF 得 4 a 2 m 2 2 1 a 4 m 2 2 整理 得 12am 12a 3 所以 4a m 1 1 第二步 用 a m 表示 BECF BPCP 由 BE yE yB a 2 m 2 CF yF yC a 4 m 2 得 BECF BPCP 2 2 4 2 4 amam mm a 2 m a 4 m 2a m 1 1 2 第一步 討論 yM關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系 拋物線 L y a x m 2 2 與直線 x 1 的交點(diǎn)為 M 1 a 1 m 2 2 所以點(diǎn) M 的縱坐標(biāo) yM a m 1 2 2 yM是關(guān)于 m 的二次函數(shù) 拋物線的開口向上 因?yàn)?m 的取值范圍是 2 m 4 所以當(dāng) m 1 時(shí) yM的最小值為 2 當(dāng) m 2 或 m 4 時(shí) yM的最大值為 9a 2 如圖 3 所示 當(dāng) m 1 時(shí) 點(diǎn) M 與點(diǎn) P 重合 點(diǎn) M 到達(dá)最低點(diǎn) 27 第二步 根據(jù) a 的取值范圍 討論 yM的最大值的取值范圍 當(dāng) m 2 時(shí) 拋物線 L y a x 2 2 2 與 CD 的交點(diǎn)為 F 4 36a 2 因?yàn)辄c(diǎn) F 在 CD 上 不能與點(diǎn) C 重合 所以 2 36a 2 4 解得 0 a 1 6 如圖 5 所示 當(dāng) m 2 點(diǎn) F 與點(diǎn) D 重合時(shí) a 1 6 此時(shí)點(diǎn) M 到達(dá)最高點(diǎn) 當(dāng) m 4 時(shí) 拋物線 L y a x 2 2 2 與 AB 的交點(diǎn)為 E 2 36a 2 因?yàn)辄c(diǎn) E 在 AB 上 不能與點(diǎn) B 重合 所以 2 36a 2 4 解得 0 a 1 6 如圖 6 所示 當(dāng) m 4 點(diǎn) E 與點(diǎn) A 重合時(shí) a 1 6 此時(shí)點(diǎn) M 到達(dá)最高點(diǎn) 因?yàn)?yM的最大值 9a 2 隨 a 的增大而增大 所以 2 9a 2 1 2 綜上所述 點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)的最小值為 2 最大值為 1 2 所以點(diǎn) M 一定在 x 軸下方 圖 4 圖 5 圖 6 考點(diǎn)伸展 第 1 題的臨界位置要分兩種情況考慮 如圖 7 當(dāng)雙曲線落在第二 四象限時(shí) 如 果經(jīng)過點(diǎn) A 或點(diǎn) C 雙曲線與正方形有三個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) k 8 如圖 8 當(dāng)雙曲線落在第一 三象限時(shí) 如果經(jīng)過點(diǎn) B 雙曲線與正方形有三個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) k 4 圖 7 圖 8 28 2019 年長(zhǎng)春市中考第 24 題 長(zhǎng)春市 XYZ 數(shù)學(xué)工作室代表隊(duì) 徐明國(guó) 王桂新 商云娜 陸松蕾 王宇萱 原題無(wú)圖 已知函數(shù) 2 2 1 222 xnxn xn y nn xxxn n 為常數(shù) 1 當(dāng) n 5 時(shí) 點(diǎn) P 4 b 在此函數(shù)圖像上 求 b 的值 求此函數(shù)的最大值 2 已知線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A 2 2 B 4 2 當(dāng)此函數(shù)的圖像與線段 AB 只有 一個(gè)交點(diǎn)時(shí) 直接寫出 n 的取值范圍 3 當(dāng)此函數(shù)圖像上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離等于 4 時(shí) 求 n 的取值范圍 29 30 31 2019 年長(zhǎng)春市中考第 24 題 長(zhǎng)春市 XYZ 數(shù)學(xué)工作室代表隊(duì) 已知函數(shù) 2 2 1 222 xnxn xn y nn xxxn n 為常數(shù) 1 當(dāng) n 5 時(shí) 點(diǎn) P 4 b 在此函數(shù)圖像上 求 b 的值 求此函數(shù)的最大值 2 已知線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A 2 2 B 4 2 當(dāng)此函數(shù)的圖像與線段 AB 只有 一個(gè)交點(diǎn)時(shí) 直接寫出 n 的取值范圍 3 當(dāng)此函數(shù)圖像上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離等于 4 時(shí) 求 n 的取值范圍 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 長(zhǎng)春 24 拖動(dòng)數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) n 的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 n 5 或者 點(diǎn)擊按鈕 n 5 可以體驗(yàn)到 點(diǎn) P 在左側(cè)的圖象上 函數(shù)的最大值在左側(cè)的最高點(diǎn) 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 2 題 拖動(dòng)點(diǎn) n 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)圖象與線段 AB 的交點(diǎn) 情況 還可以體驗(yàn)到 點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 y x 點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 1 2 yx 點(diǎn)擊鈕 第 3 題 拖動(dòng)點(diǎn) n 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)圖象與直線 y 4 和直線 y 4 的交點(diǎn) 情況 思路點(diǎn)撥 1 第 1 題把 n 都換成 5 判斷點(diǎn) P 在左側(cè)部分的拋物線上 函數(shù)的最大值要比較左 側(cè)部分的最大值和右側(cè)部分的最大值 2 第 2 題先把 A B 兩點(diǎn)分別代入到左 右兩部分的拋物線上求得臨界值 再畫示 意圖思考 3 放棄第 3 題是考生理性的選擇 滿分解答 1 如圖 1 當(dāng) n 5 時(shí) 2 2 55 155 222 xxxn y xxxn 因?yàn)辄c(diǎn) P 4 b 在直線 x 5 的左側(cè) 所以 2 155 222 byxx 5 8 10 2 9 2 當(dāng) x 5 時(shí) 22 1551545 222228 yxxx 所以 y 的最大值為 45 8 圖 1 當(dāng) x 5 時(shí) 2 55yxx y 隨 x 的增大而減小 y 的最大值為 5 因?yàn)?45 8 5 所以此函數(shù)的最大值為 45 8 32 2 n 的取值范圍是 2 n 8 3 或18 5 n 4 3 為了表述和理解方便 我們先約定 5 個(gè)名稱 設(shè)函數(shù) 2 2 1 222 xnxn xn y nn xxxn n 為常數(shù) 的圖象為 C 簡(jiǎn)稱圖象 C 拋物線 2 yxnxn 拋物線 C右 2 yxnxn xn 拋物線 2 1 222 nn yxx 拋物線 C左 2 1 222 nn yxxxn 首先 認(rèn)識(shí)兩條拋物線 尋找分類標(biāo)準(zhǔn) 如圖 2 拋物線 2 1 222 nn yxx 與拋物線 2 yxnxn 的對(duì)稱軸都是直線 2 n x 開口都向下 方程 2 1 0 222 nn xx 與方程 2 0 xnxn 的解也是相同的 n2 4n 如圖 3 所示 當(dāng) n 0 時(shí) 對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) 0 兩條拋物線與 x 軸都有兩個(gè)交點(diǎn) 拋 物線 C左分居對(duì)稱軸的兩側(cè) 拋物線 C右在直線 x n 的右側(cè)遞減 當(dāng) n 0 時(shí) 對(duì)稱軸在 y 軸左側(cè) 拋物線 C右分居對(duì)稱軸的兩側(cè) 拋物線 C左在直線 x n 的左側(cè)遞增 如圖 4 圖 5 所示 如圖 4 當(dāng) 4 n 0 時(shí) 0 兩條拋物線與 x 軸都有一個(gè)交點(diǎn)或都沒有交點(diǎn) 如圖 5 當(dāng) n 4 時(shí) 0 兩條拋物線與 x 軸都有兩個(gè)交點(diǎn) 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5 因此 我們按照三個(gè)取值范圍進(jìn)行分類討論 設(shè)直線 x n 與拋物線 C右 2 yxnxn x n 的交點(diǎn)為 M 那么 M n n 設(shè)直線 x n 與拋物線 C左 2 1 222 nn yxx x n 的交點(diǎn)為 N 那么 N 2 n n 第一段 討論 n 0 時(shí)的情況 如圖 6 所示 當(dāng) n 0 時(shí) 圖象 C 在 x 軸下方一定有兩個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離為 4 拋物線 C左與 y 軸的交點(diǎn)為 0 2 n 拋物線 C左的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 2 82 n nn 33 i 如圖 7 當(dāng) 2 4 82 nn 時(shí) 解得 n 4 或 n 8 舍去 此時(shí)點(diǎn) M 4 4 也在直線 y 4 上 所以當(dāng) n 4 時(shí) 圖象 C 上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離等于 4 ii 如圖 8 所示 因?yàn)辄c(diǎn) M n n在點(diǎn) N 2 n n的上方 當(dāng)點(diǎn) N 2 n n在直線 y 4 的上 方時(shí) 圖象 C 在 x 軸上方有兩個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離為 4 解4 2 n 時(shí) 得 n 8 圖 6 圖 7 圖 8 第二段 討論 4 n 0 時(shí)的情況 如圖 9 當(dāng) n 0 時(shí) 拋物線 C右 2 yx x 0 和拋物線 C左 2 1 2 yx x 0 與直線 y 4 各有 1 個(gè)交點(diǎn) 與直線 y 4 沒有交點(diǎn) 如圖 10 當(dāng) n 4 時(shí) 拋物線 C右 22 44 2 yxxx x 4 上有兩個(gè) 點(diǎn) M 2 4 和 0 4 到 x 軸的距離等于 4 最高點(diǎn)在 x 軸上 拋物線 C左 2 1 2 2 yx x 4 與 y 4 有 1 個(gè)交點(diǎn) 如圖 11 所示 當(dāng) 4 n 0 時(shí) M n n N 2 n n都在直線 y 4 的上方 圖象 C 上 有 2 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離等于 4 圖 9 圖 10 圖 11 34 第三段 討論 n 4 時(shí)的情況 如圖 12 所示 當(dāng) n 4 時(shí) 由 M n n 0 n 可知拋物線 C右與直線 y 4 有兩點(diǎn)交 點(diǎn) i 如圖 13 拋物線 C右的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 24 n n n 當(dāng) 2 4 4 n n 時(shí) 解得 22 5n 或22 5n 舍去 當(dāng)22 5n 時(shí) 拋物線 C左與直線 y 4 有一個(gè)交點(diǎn) 所以當(dāng)22 5n 時(shí) 圖象 C 上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離為 4 ii 如圖 14 所示 因?yàn)辄c(diǎn) M n n在點(diǎn) N 2 n n的下方 當(dāng)點(diǎn) N 2 n n在直線 y 4 的下方時(shí) 拋物線 C右與直線 y 4 有兩個(gè)交點(diǎn) 與直線 y 4 也有兩個(gè)交點(diǎn) 此時(shí)圖象 C 上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距離為 4 解4 2 n 時(shí) 得 n 8 圖 12 圖 13 圖 14 綜上所述 當(dāng)8n n 4 22 5n 8n 時(shí) 圖象 C 上有 4 個(gè)點(diǎn)到 x 軸的距 離等于 4 圖象 C 上到 x 軸的距離為 4 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨 n 的變化而變化 如圖 15 所示 圖 15 考點(diǎn)伸展 第 2 題的思路是這樣的 只需要考慮 n 0 的情況 將點(diǎn) A 2 2 代入 2 yxnxn 解得 n 2 如圖 16 所示 此時(shí)圖象 C 與線段 AB 有 1 個(gè)交點(diǎn) 就是 A 35 將點(diǎn) A 2 2 代入 2 1 222 nn yxx 解得 8 3 n 如圖 17 所示 此時(shí)圖象 C 與線段 AB 有 2 個(gè)交點(diǎn) 將點(diǎn) B 4 2 代入 2 yxnxn 解得 18 5 n 如圖 18 所示 此時(shí)圖象 C 與線段 AB 有 2 個(gè)交點(diǎn) 將點(diǎn) B 4 2 代入 2 1 222 nn yxx 解得 n 4 如圖 19 所示 此時(shí)圖象 C 與線段 AB 沒有交點(diǎn) 綜上所述 當(dāng) 8 2 3 n 或 18 4 5 n 時(shí) 圖象 C 與線段 AB 只有一個(gè)交點(diǎn) 圖 16 圖 17 圖 18 圖 19 36 2019 年河北省中考第 26 題 河北邢臺(tái)劉雪教研員代表隊(duì) 劉雪 趙肖肖 如圖 1 若 b 是正數(shù) 直線 l y b 與 y 軸交于點(diǎn) A 直線 a y x b 與 y 軸交于點(diǎn) B 拋物線 L y x2 bx 的頂點(diǎn)為 C 且 L 與 x 軸右交點(diǎn)為 D 1 若 AB 8 求 b 的值 并求此時(shí) L 的對(duì)稱軸與 a 的交點(diǎn)坐標(biāo) 2 當(dāng)點(diǎn) C 在 l 下方時(shí) 求點(diǎn) C 與 l 距離的最大值 3 設(shè) x0 0 點(diǎn) x0 y1 x0 y2 x0 y3 分別在 l a 和 L 上 且 y3是 y1 y2的平均 數(shù) 求點(diǎn) x0 0 與點(diǎn) D 間的距離 4 在 L 和 a 所圍成的封閉圖形的邊界上 把橫 縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為 美點(diǎn) 分別直接寫出 b 2019 和 b 2019 5 時(shí) 美點(diǎn) 的個(gè)數(shù) 圖 1 37 38 2019 年河北省中考第 26 題 河北邢臺(tái)劉雪教研員代表隊(duì) 如圖 1 若 b 是正數(shù) 直線 l y b 與 y 軸交于點(diǎn) A 直線 a y x b 與 y 軸交于點(diǎn) B 拋物線 L y x2 bx 的頂點(diǎn)為 C 且 L 與 x 軸右交點(diǎn)為 D 1 若 AB 8 求 b 的值 并求此時(shí) L 的對(duì)稱軸與 a 的交點(diǎn)坐標(biāo) 2 當(dāng)點(diǎn) C 在 l 下方時(shí) 求點(diǎn) C 與 l 距離的最大值 3 設(shè) x0 0 點(diǎn) x0 y1 x0 y2 x0 y3 分別在 l a 和 L 上 且 y3是 y1 y2的平均 數(shù) 求點(diǎn) x0 0 與點(diǎn) D 間的距離 4 在 L 和 a 所圍成的封閉圖形的邊界上 把橫 縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為 美點(diǎn) 分別直接寫出 b 2019 和 b 2019 5 時(shí) 美點(diǎn) 的個(gè)數(shù) 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 河北 26 拖動(dòng)點(diǎn) A 或點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 ABD 保 持等腰直角三角形的形狀 直線 y x b 與拋物線左側(cè)交點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)保持不變 思路點(diǎn)撥 1 A B D C 四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都可以用含 b 的式子表示出來 A B D 的位置關(guān)系和 數(shù)量關(guān)系數(shù)形結(jié)合 一目了然 2 第 2 題就是求關(guān)于 b 為自變量的二次函數(shù)的最大值 3 第 3 題逐一羅列出 y1 y2 y3 然后解關(guān)于 x0的方程 滿分解答 1 由 y b 得 A 0 b 由 y x b 得 B 0 b 所以 AB 2b 8 所以 b 4 此時(shí)拋物線為 y x2 4x 對(duì)稱軸是直線 x 2 對(duì)稱軸 x 2 與直線 y x 4 的交點(diǎn)為 2 2 如圖 2 所示 此時(shí)點(diǎn) C 落在直線 l 上 2 由 y x2 bx 2 2 24 bb x 得頂點(diǎn) C 2 24 b b 當(dāng)點(diǎn) C 在 l 下方時(shí) 點(diǎn) C 與 l 距離 2 4 b b 2 1 2 1 4 b 當(dāng) b 2 時(shí) 點(diǎn) C 與 l 的距離最大 最大值為 1 如圖 3 所示 點(diǎn) C 恰好是 AD 的中點(diǎn) 3 由 y x2 bx x x b 得 D b 0 點(diǎn) x0 y1 在直線 y b 上 y1 b 點(diǎn) x0 y2 在直線 y x b 上 y2 x0 b 39 點(diǎn) x0 y3 在拋物線 y x2 bx 上 y3 x02 bx0 因?yàn)?y3是 y1 y2的平均數(shù) 所以 2 x02 bx0 b x0 b 整理 得 2x02 2bx0 x0 因?yàn)?x0 0 所以 x0 1 2 b 所以點(diǎn) x0 0 與點(diǎn) D b 0 間的距離等于 1 2 如圖 4 所示 圖 2 圖 3 圖 4 4 當(dāng) b 2019 時(shí) 美點(diǎn) 有 4040 個(gè) 當(dāng) b 2019 5 時(shí) 美點(diǎn) 有 1010 個(gè) 考點(diǎn)伸展 第 4 題可以這樣思考 解方程組 2 yxb yxbxx xb 得 x 1 或 x b 也就是說 直線 a 與拋物線 L 左側(cè)交點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為定值 1 另一個(gè)交點(diǎn)為 D 當(dāng) b 2019 時(shí) 對(duì)于直線 y x 2019 來說 x 取整數(shù) y 也是整數(shù) 對(duì)于拋物線 y x x 2019 來說 x 取整數(shù) y 也是整數(shù) 當(dāng) 1 x 2019 時(shí) x 的整數(shù)值有 2019 2 個(gè) 點(diǎn) E D 是直線與拋物線的公共點(diǎn) 所以 美點(diǎn) 有 2019 2019 2 4040 個(gè) 當(dāng) b 2019 5 時(shí) 對(duì)于直線 y x 2019 5 來說 x 取整數(shù) y 是小數(shù) 對(duì)于拋物線 y x x 2019 5 來說 當(dāng) x 取偶數(shù)時(shí) y 是整數(shù) 在 1 x 2019 范圍內(nèi) 有 1010 個(gè)偶數(shù) 所以 美點(diǎn) 有 1010 個(gè) 40 2019 年山西省中考第 23 題 太原市第 38 中學(xué)代表隊(duì) 徐美寧 楊璐 趙小燕 邢曉云 張彥平 郭健 如圖 1 拋物線 y ax2 bx 6 經(jīng)過 A 2 0 B 4 0 兩點(diǎn) 與 y 軸交于點(diǎn) C 點(diǎn) D 是 拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m 1 m 4 連接 AC BC DB DC 1 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 2 當(dāng) BCD 的面積等于 AOC 的面積的 3 4 時(shí) 求 m 的值 3 在 2 的條件下 若點(diǎn) M 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn) N 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 試判斷是否存在這樣的點(diǎn) M 使得以 B D M N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 若 存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 圖 1 41 42 2019 年山西省中考第 23 題 太原市第 38 中學(xué)代表隊(duì) 如圖 1 拋物線 y ax2 bx 6 經(jīng)過 A 2 0 B 4 0 兩點(diǎn) 與 y 軸交于點(diǎn) C 點(diǎn) D 是 拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m 1 m 4 連接 AC BC DB DC 1 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 2 當(dāng) BCD 的面積等于 AOC 的面積的 3 4 時(shí) 求 m 的值 3 在 2 的條件下 若點(diǎn) M 是 x 軸上一動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn) N 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 試判斷是否存在這樣的點(diǎn) M 使得以 B D M N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 若 存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名 19 山西 23 拖動(dòng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 S 隨 D 運(yùn)動(dòng)變化 的函數(shù)圖像是開口向下的拋物線的一部分 點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕 第 3 題 拖動(dòng)點(diǎn) M 在 x 軸上運(yùn)動(dòng) 可以體驗(yàn)到 點(diǎn) N 落 在拋物線上 1 次 點(diǎn) N 落在拋物線上 2 次 點(diǎn) N 落在拋物線上 1 次 符合條件的平行 四邊形有 4 個(gè) 思路點(diǎn)撥 1 第 2 題連接 OD 用割補(bǔ)法表示 BCD 的面積比較方便 2 第 3 題以 BD 為分類標(biāo)準(zhǔn) 當(dāng) BD 為平行四邊形的邊時(shí) 過點(diǎn) D 畫 x 軸的平行線 找到點(diǎn) N 直線 DN 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的另一條直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)也是符合條件的點(diǎn) N 當(dāng) BD 為對(duì)角線時(shí) 點(diǎn) N 與點(diǎn) M 關(guān)于 BD 的中點(diǎn)對(duì)稱 滿分解答 1 因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 A 2 0 B 4 0 兩點(diǎn) 所以 y a x 2 x 4 對(duì)照 y ax2 bx 6 根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等 得 8a 6 解得 3 4 a 所以 2 333 2 4 6 442 yxxxx 2 如圖 2 設(shè) D m n 其中 2 33 6 42 nmm 連接 OD 所以 S BCD S COD S BOD S COB 111 22