球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的簡單物理應(yīng)用-我聯(lián)系本科畢業(yè)論文畢業(yè)論文

畢業(yè)論文題 目： 球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的簡單物理應(yīng)用學(xué) 號： 3100114512姓 名： 吳琦教 學(xué) 院： 理學(xué)院專業(yè)班級： 物理學(xué)2013級本科班指導(dǎo)教師： 張壓完成時間： 2017 年 月 日 教務(wù)處制貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書課題名稱球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的簡單物理應(yīng)用學(xué)生姓名吳琦學(xué)號3100114512教學(xué)院理學(xué)院專業(yè)、班級物理學(xué)2013級本科班課題簡介：拉普拉斯方程以勢函數(shù)的形式描寫了電場、引力場等物理對象的性質(zhì)，因此求解拉普拉斯方程是電磁學(xué)、天文學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的一類重要的問題。其中球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程在求解許多圓域內(nèi)的問題中有廣泛的應(yīng)用，因此求解球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程顯得十分重要。近年來，拉普拉斯方程在物理上有極其廣泛的應(yīng)用。例如對于納米球及納米球殼顆粒的線性及非線性光學(xué)特性的研究，又如可以通過求解拉普拉斯方程得出在非均勻電場對礦粒吸引力的大小依賴于礦物的介電系數(shù)，由此來分選出不同礦質(zhì)的顆粒。課題內(nèi)容和任務(wù)：根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程中的三個穩(wěn)定場方程導(dǎo)出拉普拉斯方程，寫出不同坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程，并對球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程進(jìn)行求解。通過應(yīng)用球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程在導(dǎo)體球和雙錐中的具體問題，結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件Mathematica的繪圖，分析其物理意義。通過翻閱書籍和查找網(wǎng)絡(luò)資料等途徑收集研究素材，對收集的素材進(jìn)行研讀，從而全面地、正確地掌握球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的相關(guān)研究內(nèi)容和研究方法，根據(jù)資料所提供的信息完成該課題的內(nèi)容，最后撰寫畢業(yè)論文。進(jìn)度計(jì)劃：2016. 12. 272017. 02. 21：對選題進(jìn)行研究；2017. 02. 232017. 03. 13：撰寫論文，完成初稿； 發(fā)出日期課題計(jì)劃完成日期指導(dǎo)教師簽名教學(xué)院院長簽章注：本表一式一份，用于裝訂完整文本。貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）學(xué)生誠信聲明書本人鄭重聲明：本人所提交的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下獨(dú)立研究、寫作的成果，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果，論文中所引用他人的無論以何種方式發(fā)布的文字、研究成果，均在論文中加以說明；對本文研究做出過重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。如果存在弄虛作假、抄襲、剽竊的情況，本人愿承擔(dān)全部責(zé)任。論文(設(shè)計(jì))作者： （簽字） 時間： 年 月 日指 導(dǎo) 教 師： （簽字） 時間： 年 月 日 貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）版權(quán)使用授權(quán)書本畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 是本人在校期間所完成學(xué)業(yè)的組成部分，是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下完成的，論文（設(shè)計(jì)）工作的知識產(chǎn)權(quán)屬于貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院。本人同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文（設(shè)計(jì)）的復(fù)印件和電子版，允許論文（設(shè)計(jì)）被查閱和借閱；本人授權(quán)貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印、網(wǎng)頁制作或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）無論做何種處理，必須尊重本人的著作權(quán)，署明本人姓名。未經(jīng)指導(dǎo)教師和貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院同意，本人不擅自發(fā)表畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))相關(guān)研究內(nèi)容或利用畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))從事開發(fā)和盈利性活動。畢業(yè)后若發(fā)表畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))中的研究成果，需征得指導(dǎo)教師同意，作者第一單位署名應(yīng)為“貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院”， 成果發(fā)表時本人工作（學(xué)習(xí)）單位可以在備注中注明。論文(設(shè)計(jì))作者： （簽字） 時間： 年 月 日指 導(dǎo) 教 師： （簽字） 時間： 年 月 日目 錄摘要:iAbstract:ii引言11. 拉普拉斯方程及其求解11.1 拉普拉斯方程11.1.1 引例11.1.2 不同坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程31.2 球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的求解52. 球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的應(yīng)用82.1 導(dǎo)體球82.2 雙錐113. 結(jié)論15參考文獻(xiàn)16致謝17貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院本科畢業(yè)論文i貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院本科畢業(yè)論文球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的簡單物理應(yīng)用作者姓名：呂旖旎 專業(yè)班級：物理學(xué)2013級本科班學(xué)號：39261113102 指導(dǎo)教師：張鳳玲摘要:本文首先通過數(shù)學(xué)物理方程中三個穩(wěn)定場方程導(dǎo)出了拉普拉斯方程；其次，介紹了不同坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程；再次，對球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程進(jìn)行求解；最后，介紹了球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程在物理中的簡單應(yīng)用。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)物理方程；球坐標(biāo)系；拉普拉斯方程；物理應(yīng)用iiiLaplace equation in spherical coordinates of simple physical applicationsCandidate : Lv Yi-ni Major: PhysicsStudent No.: 39261113102 Advisor: Zhang Feng-lingAbstract: Firstly, the Laplace equation was derived through the three stable field equations in mathematical physics equations. Secondly, this paper introduced the Laplace equation in different coordinate system. Thirdly, the Laplace equation in spherical coordinates was solved. Finally, the simple physical applications of Laplace equation in spherical coordinates were introduced.Key words: Mathematical physics equations; Spherical coordinates; Laplace equation; Physical application引言17841785年，拉普拉斯求得天體對其外面任一個質(zhì)點(diǎn)的引力分量可以用一個勢函數(shù)表示，這個勢函數(shù)滿足一個偏微分方程1。這個偏微分方程就是著名的拉普拉斯方程2,3。本文首先通過數(shù)學(xué)物理方程中的穩(wěn)定場方程4，發(fā)現(xiàn)將三類穩(wěn)定場方程：濃度分布方程、溫度分布方程和勢場分布方程導(dǎo)出都得到同一個方程，即拉普拉斯方程。拉普拉斯方程與時間無關(guān)，是關(guān)于空間的偏微分方程。在數(shù)學(xué)物理方程中，拉普拉斯方程有許多不同的形式：有三維下直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程、柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程、極坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程，另外常用的還有球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程。通過介紹幾種拉普拉斯方程在不同坐標(biāo)系中的形式，說明在不同的問題中應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系才能使變量的分離5和問題能夠變得容易解決。拉普拉斯方程以勢函數(shù)的形式描寫了電場、引力場等物理對象的性質(zhì)，因此求解拉普拉斯方程是電磁學(xué)6、天文學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的一類重要的問題。其中球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程在求解許多圓域內(nèi)的問題中有廣泛的應(yīng)用，因此著重對球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程進(jìn)行求解7,8，從而得到其通解表達(dá)式。近年來，拉普拉斯方程在物理上有極其廣泛的應(yīng)用。例如對于納米球及納米球殼顆粒的線性及非線性光學(xué)特性的研究9,10，又如可以通過求解拉普拉斯方程得出在非均勻電場對礦粒吸引力的大小依賴于礦物的介電系數(shù)，由此可以分選出不同礦質(zhì)的顆粒11。本文通過列舉幾個球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程在物理中的具體問題，運(yùn)用之前求出的通解再加上具體問題中的特解12，結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件Mathematica13,14的編程計(jì)算，將問題的解用圖像展現(xiàn)出來。從而，可以更進(jìn)一步地理解其中的物理意義。1. 拉普拉斯方程及其求解1.1 拉普拉斯方程1.1.1 引例按照常見的典型物理過程，可以把數(shù)學(xué)物理方程分為三類：波動方程、輸出方程和穩(wěn)定場方程。其中，穩(wěn)定場方程4是指所研究的各種物理現(xiàn)象處于穩(wěn)定狀態(tài)時所滿足的偏微分方程，它描述一種物理的平衡狀態(tài)。1.穩(wěn)定的濃度分布方程(這樣的標(biāo)記法易與標(biāo)題混淆，以下相同問題請自行修改)當(dāng)在擴(kuò)散運(yùn)動中，最終濃度的空間分布不再隨時間變化，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)則可以得到穩(wěn)定的濃度分布方程為： (1)(1)式稱為泊松方程。如果沒有源，式(1)可以化為： (2)(2)式即為拉普拉斯方程。2.穩(wěn)定的溫度分布方程當(dāng)在熱傳導(dǎo)方程中物體的溫度處于某種穩(wěn)定狀態(tài)，溫度與時間無關(guān)。此時，可得到穩(wěn)定的溫度分布方程為：與(1)式相同。如果沒有源，上式可以簡化為：即為(2)式。3.穩(wěn)定的勢場分布方程在靜止的情況下，電場與磁場無關(guān)，其中麥克斯韋方程組的電場部分為：上述這兩個方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜電問題的基礎(chǔ)。其中第一個方程表示靜電場的無旋性，第二個方程表示自由電荷分布是電位移的源。根據(jù)靜電場的無旋性，我們可以引入標(biāo)勢來描述靜電場。電場強(qiáng)度等于電勢的負(fù)梯度，由此我們可以得到電場強(qiáng)度與電勢之間的關(guān)系為： (3)在均勻各向同性線性介質(zhì)中，有： (4)于是我們就可以得到： (5)(5)式即為靜電勢所滿足的基本微分方程，與(1)式一樣稱為泊松方程。當(dāng)需要求解的區(qū)域內(nèi)部沒有電荷分布時，那么可以得到更為簡單的方程： (6)(6)式這個方程也被稱為拉普拉斯方程2,3。1.1.2 不同坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程1. 直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程如圖1所示，矩形薄片的一邊，處絕熱，另一邊溫度為零度，處保持溫度滿足函數(shù)，求該薄片內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布。圖1 二維場中的矩形薄片先不考慮邊界條件，這個問題就可以用以下方程表示： (7)(7)式即為二維下直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程。另外，三維下直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為： (8)2.極坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程如果前面所提及的薄片不是矩形的，而是一個半徑為的薄圓盤，如圖2所示：上下兩面絕熱，已知圓盤邊緣的溫度，求圓盤上穩(wěn)定的溫度分布。圖2 二維場中的薄圓盤注意到邊界條件為，其中為圓盤的半徑。對邊界條件進(jìn)行變量分離，若選用直角坐標(biāo)系，即。令，可知邊界條件不能分離出來。但若選用極坐標(biāo)系，即，令，就可以很容易得到周期性邊界條件和有界性自然邊界條件，從而問題就變得容易求解。極坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程為： (9)3.球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程如圖3所示：一個內(nèi)徑為和外徑為的導(dǎo)體球殼，所帶電荷為，同心地包圍著一個半徑為的導(dǎo)體球。求空間各點(diǎn)的電勢和導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。圖3 三維場中的導(dǎo)體球殼對于這一問題，對邊界條件進(jìn)行分離變量5。如果還是選用直角坐標(biāo)系，邊界條件仍然不能分離出來。但如果選用球坐標(biāo)系，即?？梢粤?，那么就可以進(jìn)行分離變量，從而問題就可以求解。球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程表示為： (10)由此可見，在用分離變量法解拉普拉斯方程4時，應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使變量的分離和問題能夠變得容易解決。選擇坐標(biāo)系時應(yīng)考慮使所討論的邊界盡量與一個或者幾個坐標(biāo)重合，這樣能使問題變得易于求解。如果邊界面是矩形區(qū)域，就應(yīng)該選擇直角坐標(biāo)系。但如果邊界面是半徑為的球面時，就應(yīng)該選擇球坐標(biāo)，使得邊界與坐標(biāo)面重合。又如邊界面是圓錐面（生成角為），仍應(yīng)該選擇球坐標(biāo)，使邊界面與坐標(biāo)面重合。在許多物理問題中，尤其是靜電場問題，會遇到如導(dǎo)體球殼、介質(zhì)球等球狀模型。此時球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程就顯得十分重要。下面就來求解一下球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程7,8。1.2 球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的求解由(10)式可得，球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程為：令，可得到： (11)根據(jù)分離變量，令可以把拉普拉斯方程分解為兩個方程： (12) (13)其中(12)式可以化為： (14)令，則(14)式就可以化為： (15)(15)式的解為： (16)其中和為任意常數(shù)。(14)式為球函數(shù)方程，令，于是(14)式化為： (17)令，(17)式可以分解為： (18) (19)其中(18)式的解為： (20)，(19)式化為： (21)令，則，所以可以得到： (22)從而： (23)(23)式稱為連帶勒讓德方程15。若，則： (24)(24)式稱為勒讓德方程，其解為： (25)稱為勒讓德多項(xiàng)式。所以拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的通解為： (26)式中為任意常數(shù)，可以在具體的問題中根據(jù)邊界條件及邊值關(guān)系確定下來。稱為締合勒讓德函數(shù)。(24)式為拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的通解，如果在某個問題中具有對稱軸，我們可以取這個對稱軸作為極軸，那么電勢就和方位角無關(guān)，此時拉普拉斯方程的通解就可以簡化為： (27)其中為任意常數(shù)，可以根據(jù)邊界條件和邊值關(guān)系確定，稱為勒讓德函數(shù)。如果電勢具有球?qū)ΨQ，那么(26)式又可以進(jìn)一步化簡為： (28)式(26)、(27)、(28)給出了球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的通解，接下來就可以根據(jù)邊界條件和邊值關(guān)系計(jì)算出通解中的任意常數(shù)，從而就可以得到滿足邊界條件的特解5。2. 球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的應(yīng)用2.1 導(dǎo)體球在均勻外電場中放入一個半徑為接地導(dǎo)體球，那么我們就可以通過求解球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程來求得該導(dǎo)體球的電勢和電荷面密度。因?yàn)樵搶?dǎo)體球接地，所以該導(dǎo)體球表面是一個等勢體，整個導(dǎo)體的電勢為零。首先根據(jù)拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的通解，可以寫出電勢的通解為：導(dǎo)體球外電勢為， (29)導(dǎo)體球內(nèi)電勢為， (30)再根據(jù)邊界條件： 注意段落的排版，一句未完除方程式外一般不另起行當(dāng)時， (31)則： (32) (33)接著利用邊值關(guān)系：在導(dǎo)體球面上時，為常量 (34)由式(31)、(32)、(33)可得： (35)比較(35)式中兩邊的系數(shù)： (36)可得： (37)根據(jù)(34)式可以得到： (38) (39) (40)比較(40)式中兩邊的系數(shù)： (41)又聯(lián)合(37)式，可以得到： (42)于是，導(dǎo)體球外電勢為： (43)導(dǎo)體面上自由電荷面密度為： (44)通過求解拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的解得到的接地導(dǎo)體球外的電勢(41)式，將(43)式利用Mathematica軟件進(jìn)行三維函數(shù)圖的描繪運(yùn)行程序：In5=程序只是下面部分Plot3D-2RCosq+(28)/R2Cosq,R,1,10,q,0,2p,AxesLabelR,q,y在描繪過程中因?yàn)槎紴槌?shù)，所以令?？梢缘玫角蛲怆妱荩ㄔ趫D中用表示）與的關(guān)系情況如圖4所示。圖4 導(dǎo)體球外電勢圖然后根據(jù)導(dǎo)體面上自由電荷面密度公式(44)式，同樣用Mathematica軟件進(jìn)行二維函數(shù)圖的描繪運(yùn)行程序：In1=Plot38.8510-122Cosq,q,0,2p,AxesLabelq,y圖5 導(dǎo)體電荷面密度圖其中為真空電容率，為常數(shù)，取，可以得到導(dǎo)體面上自由電荷面密度（圖中用表示）和的關(guān)系如圖5所示，根據(jù)圖像可以直觀地看出：在從范圍變化的情況下，導(dǎo)體電荷面密度隨角度的增大先減少后增大，當(dāng)時電荷面密度最小。此外還可以得知：當(dāng)自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布時，就可以選擇導(dǎo)體的內(nèi)部為求解區(qū)域。除此之外，對于一些空間電荷分布比較簡單的情形也可以運(yùn)用拉普拉斯方程進(jìn)行求解。2.2 雙錐用同軸理想導(dǎo)電薄片做成的無限長雙錐，如圖6所示。外錐電位為零，內(nèi)錐電位為，錐尖在處絕緣。求兩錐間電位的一般表達(dá)式。圖6 無限長雙錐圖根據(jù)(10)式，在球坐標(biāo)系中：因?yàn)閮慑F間的電勢與，無關(guān)，僅與有關(guān)，所以電勢滿足方程： (45)其通解為： (46)根據(jù)邊界條件：當(dāng)時， (47)當(dāng)時， (48)把式(47)、(48)代入(46)式中，可得到： (49) (50)由(48)式可以得到： (51)于是錐間的電勢為： (52)同理可得，當(dāng)外錐面為無限大平面時，兩錐間電勢為： (53)根據(jù)(3)式電場強(qiáng)度與電勢之間的關(guān)系， (54)平面上電荷密度為： (55)將所求的電場表達(dá)式(54)式通過Mathematica軟件進(jìn)行三維函數(shù)圖的描繪運(yùn)行程序：In2=Plot3D10/(rSinqAbsLog,Tanp/12),r,1,10,q,0,2p,AxesLabelr,q,E在描繪過程中因?yàn)槎紴槌?shù)，所以令。可以得到雙錐電場強(qiáng)度和半徑，角度的關(guān)系如圖7所示。圖7 雙錐電場變化圖然后根據(jù)雙錐平面上自由電荷面密度公式(55)式，同樣用Mathematica軟件進(jìn)行二維函數(shù)圖的描繪運(yùn)行程序：In1=Plot-38.8510-1210/rLog,Tanp/12,r,1,10,AxesLabelr,y其中為真空電容率，為常數(shù)，同樣取?？梢缘玫诫p錐平面上電荷密度（圖中用表示）和半徑的關(guān)系如圖8所示，根據(jù)圖像可以直觀地看出：當(dāng)從1到10變化時，雙錐平面上電荷密度一直逐漸減少。圖8 雙錐平面上電荷密度圖從中可以觀察到，尖角附近可能存在很強(qiáng)的電場和電荷面密度。于是，這就很好解釋了尖端放電現(xiàn)象。3. 結(jié)論本文首先通過數(shù)學(xué)物理方程中的穩(wěn)定場方程，發(fā)現(xiàn)將三類穩(wěn)定場方程：濃度分布方程、溫度分布方程和勢場分布方程導(dǎo)出都得到同一個方程，即拉普拉斯方程。然后介紹了幾種不同坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的形式。拉普拉斯方程以勢函數(shù)的形式描寫了電場、引力場等物理對象的性質(zhì)，因此求解拉普拉斯方程是電磁學(xué)、天文學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的一類重要的問題。其中因?yàn)榍蜃鴺?biāo)系中的拉普拉斯方程：在求解許多圓域內(nèi)的問題中有廣泛的應(yīng)用，所以接著主要對球坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程進(jìn)行求解，得到了其通解形式為：。公式后的符號用英文狀態(tài)的，標(biāo)記在公式中球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程在物理上特別是靜電場中有廣泛的應(yīng)用。本文列舉了導(dǎo)體球和雙錐中兩個應(yīng)用：在導(dǎo)體球中得到了導(dǎo)體球外電勢以及導(dǎo)體面上自由電荷面密度的關(guān)系式，通過軟件繪圖可以直觀地發(fā)現(xiàn)在從范圍變化的情況下，導(dǎo)體電荷面密度隨角度的增大先減少后增大，當(dāng)時電荷面密度最??；在雙錐中得到了兩錐間電勢，電場強(qiáng)度以及雙錐平面上電荷密度的關(guān)系式，通過軟件繪圖還可以直觀地發(fā)現(xiàn)當(dāng)從1到10變化時，雙錐平面上電荷密度一直逐漸減少。第 16 頁 共 17 頁參考文獻(xiàn)（注意參考文獻(xiàn)的各種符號字體）1 郇中丹,黃海洋. 偏微分方程M. 北京: 高等教育出版社.2 郭碩鴻. 電動力學(xué)(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2008: 47-48. 3 程守洙,江之永. 普通物理學(xué)M. 高等教育出版社, 2007.4 張民,羅偉,吳振森. 數(shù)學(xué)物理方法M. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2008: 15-16.5 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué). 高等數(shù)學(xué)M. 高等教育出版社.6 粱燦彬,秦光戎,等. 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