2016年青島版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第8單元總復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì).doc

回顧整理總復(fù)習(xí) 教材分析本單元復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容有，數(shù)與代數(shù)，包括分?jǐn)?shù)的乘除法、比、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算、百分?jǐn)?shù)。圖形與幾何，圓。可能性。本單元總復(fù)習(xí)共分兩部分。第一部分是回顧整理，這一部分又分為兩個(gè)板塊：第一板塊是知識(shí)點(diǎn)自主回顧，第二板塊是數(shù)學(xué)思想方法提升。第二部分是綜合練習(xí)。教材精心設(shè)計(jì)了涵蓋全冊(cè)各個(gè)單元知識(shí)的練習(xí)題，旨在讓學(xué)生通過(guò)系統(tǒng)、綜合的練習(xí)，全面鞏固所學(xué)知識(shí)，提高靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。本單元教材編寫(xiě)的主要特點(diǎn)：X |k |B| 1 . c|O |m1重視引導(dǎo)學(xué)生參與復(fù)習(xí)整理的過(guò)程，提高學(xué)生的反思能力。2重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的總結(jié)提升。 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力通過(guò)對(duì)全冊(cè)內(nèi)容的回顧與整理，全面復(fù)習(xí)和鞏固本學(xué)期所學(xué)知識(shí)，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。過(guò)程與方法經(jīng)歷知識(shí)的整理與復(fù)習(xí)的系統(tǒng)過(guò)程，提高歸納、整理知識(shí)和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)交流整理與復(fù)習(xí)的不同思路，學(xué)會(huì)整理知識(shí)的方法，逐步養(yǎng)成回顧與反思的習(xí)慣。 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn): 數(shù)與代數(shù)部分計(jì)算和分?jǐn)?shù)乘除法意義的應(yīng)用及典型模型，圖形與幾何部分的圓。難點(diǎn): 乘除乘除法的意義以及數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。 教學(xué)建議1結(jié)合本班實(shí)際，制定切實(shí)可行的復(fù)習(xí)計(jì)劃。2重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和提煉數(shù)學(xué)思想方法。3關(guān)注復(fù)習(xí)過(guò)程中的評(píng)價(jià)，發(fā)揮評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用。 課時(shí)安排新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)本單元用3課時(shí)完成教學(xué)，其中機(jī)動(dòng)3課時(shí)。數(shù)與代數(shù)數(shù)的運(yùn)算1課時(shí)意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型1課時(shí)圖形與幾何圓1課時(shí)1 數(shù)的運(yùn)算n 教學(xué)內(nèi)容教材第103105頁(yè)，數(shù)的運(yùn)算n 教學(xué)提示轉(zhuǎn)化思想在計(jì)算中的使用。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力能非常熟練的進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、求比值、化簡(jiǎn)比和經(jīng)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化，會(huì)使用學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)便算法，合理、靈活地進(jìn)行計(jì)算；養(yǎng)成檢查和驗(yàn)算的習(xí)慣。過(guò)程與方法進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用；感受數(shù)學(xué)思想方法在解決新問(wèn)題時(shí)作用。情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，養(yǎng)成規(guī)范、認(rèn)真的好習(xí)慣。n 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：能非常熟練的進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，會(huì)使用學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)便算法，合理、靈活地進(jìn)行計(jì)算。難點(diǎn)：數(shù)學(xué)思想方法具體實(shí)施的手段。n 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：課件、實(shí)物投影儀。學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本。n 教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧：1.師：怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)的乘法？生：分?jǐn)?shù)的分子乘分子的積作分?jǐn)?shù)，分母乘分母的積作分母，先約分，在計(jì)算。師：我們是怎樣得到這個(gè)法則的。生：回憶http:/ www.x kb1.co m師生共同回憶：先回想分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，借助整數(shù)乘法的意義及分?jǐn)?shù)的意義，歸納，分子乘整數(shù)作積的分子，分母不變。類推分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，整數(shù)可以看做分母是1的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)變成了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分子乘分子的積作分?jǐn)?shù)，分母乘分母的積作分母，先約分，在計(jì)算，通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證法則的正確性。2、師：怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)的除法？生：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。師：我們是怎樣得到這個(gè)法則的。生：回憶師生共同回憶：先回想分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，借助整數(shù)除法的意義及分?jǐn)?shù)的意義，歸納分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。借助分?jǐn)?shù)的意義及類推分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的法則，觀察、總結(jié)、猜想分?jǐn)?shù)除法的法則除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證法則的正確性。3、分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算，根據(jù)算式的實(shí)際意義，類比整數(shù)的混合運(yùn)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算，得出結(jié)論，整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)中同樣適用。4、求比值和化簡(jiǎn)比，各根據(jù)比值的定義和比的基本性質(zhì)。5、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化：結(jié)合分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生回顧計(jì)算方法，教師幫助學(xué)生計(jì)算方法的得出過(guò)程，及過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法。（二）梳理總結(jié)：基本性質(zhì)求比值，根據(jù)比值的定義?；?jiǎn)比根據(jù)比的基本性質(zhì)（比的基本性質(zhì)類比分?jǐn)?shù)的、商不變的原理）分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化：結(jié)合分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系分?jǐn)?shù)乘法（根據(jù)整數(shù)乘法的意義，結(jié)合觀察、總結(jié)、猜想，最后驗(yàn)證得出法則）分?jǐn)?shù)除法（結(jié)合整數(shù)除法的意義，分?jǐn)?shù)的意義，轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法四則運(yùn)算類比整數(shù)的四則運(yùn)算簡(jiǎn)便運(yùn)算類比整數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）鞏固新知：1、綜合練習(xí)1，練習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除的簡(jiǎn)單運(yùn)算。（要求熟練）http:/ www.x kb1.co m答案：，72，。 2、綜合練習(xí)2，脫式計(jì)算。（要求熟練）答案：，300，4，5。3、綜合練習(xí)4，簡(jiǎn)便運(yùn)算（主要是乘法分配律）答案：1，10，。4、綜合練習(xí)5，解方程（復(fù)習(xí)解方程方法的同時(shí)練習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除）答案：，。5、除法、分?jǐn)?shù)、比之間的練習(xí)。答案：65，23，1:2，6:5。w W w . x K b 1.c o M設(shè)計(jì)意圖：綜合練習(xí)的題目比較簡(jiǎn)單，要求學(xué)生要熟練掌握；這一部分練習(xí)對(duì)求比值沒(méi)有涉及，化簡(jiǎn)比也僅僅體現(xiàn)了一個(gè)整數(shù)比化成最簡(jiǎn)整數(shù)比，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)小數(shù)之間的互化也沒(méi)有涉及。（四）達(dá)標(biāo)反饋1、不計(jì)算，你能比較大小嗎？ 3 4a1a 1212 1616 12、直接寫(xiě)得數(shù)。3= 15= 2= 15%= = 5= 75%= 4= =3、脫式計(jì)算。 【（）】4、簡(jiǎn)便運(yùn)算。 （）36 （） 27http:/ www.x kb1.co m5、解方程、X= X= X= XX=756、先化簡(jiǎn)比，在求比值。51：34 ： 3.1:0.15 0.625：7、把下列分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)。 答案：1、，。2、，9，1，105%，1，4，。3、2，。4、17，26。5、，60。6、3:2，7:10，62:3，1:2，。7、75%，12.5%，37.5%，62.5%，87.55，20%，40%，60%，80%。設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)前面學(xué)習(xí)的效果，確定哪些同學(xué)還有下大力氣進(jìn)行計(jì)算的練習(xí)。（五）課堂小結(jié)這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么，有哪些收獲？給大家說(shuō)說(shuō)。 同桌互相說(shuō)說(shuō)自己的收獲。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)，既能夠使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解和深層次思考，從而將所學(xué)知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又提升了學(xué)生的梳理和概括能力。（六）布置作業(yè)第1課時(shí)：數(shù)的運(yùn)算 1、不計(jì)算，你能比較大小嗎？ aba(a0，0b1)2、直接寫(xiě)得數(shù)。 4= = 1.4= 2.4= 10020%= 0.25= 1.3100%= 72%= 3、脫式計(jì)算。1（ ） （ ）28% (1515)w W w . x K b 1.c o M4、簡(jiǎn)便運(yùn)算。 1.7525% 12（ ） 7235、解方程、 X30% X =22010% X5050%=40 11X=6、先化簡(jiǎn)比，在求比值。26：65 ： 2.3:0.25 0.75：答案：1、，。2、，2，500，1，1.3，。3、，。4、1，1，1。5、，25，。6、2:5，5:6，46:5，2:1，2。板書(shū)設(shè)計(jì)計(jì)算基本性質(zhì)求比值，根據(jù)比值的定義?；?jiǎn)比根據(jù)比的基本性質(zhì)（比的基本性質(zhì)類比分?jǐn)?shù)的、商不變的原理）分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化：結(jié)合分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系分?jǐn)?shù)乘法（根據(jù)整數(shù)乘法的意義，結(jié)合觀察、總結(jié)、猜想，最后驗(yàn)證得出法則）分?jǐn)?shù)除法（結(jié)合整數(shù)除法的意義，分?jǐn)?shù)的意義，轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法四則運(yùn)算類比整數(shù)的四則運(yùn)算簡(jiǎn)便運(yùn)算類比整數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算n 教學(xué)反思計(jì)算時(shí)學(xué)生應(yīng)該掌握的基本能力，但有相當(dāng)一部分學(xué)生，沒(méi)有認(rèn)真訓(xùn)練，導(dǎo)致計(jì)算能力十分低下，因此要引起教師的重視。n 教學(xué)資料包教學(xué)資源http:/ www.x kb1.co m一、乘法分配律。(ab)c=acbc7（） 8（） ( )15二、乘法分配律的逆運(yùn)算。AcBc=（AB）c 3 答案：一、2，8，13，二、，。資料鏈接卡爾弗里德里希高斯約翰卡爾弗里德里希高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日1855年2月23日）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最。他對(duì)數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、分析、微分幾何、大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、力學(xué)、靜電學(xué)、天文學(xué)、矩陣?yán)碚摵凸鈱W(xué)皆有貢獻(xiàn)。家庭背景高斯是一對(duì)貧窮夫婦的唯一的兒子。母親是一個(gè)貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒(méi)有接受過(guò)教育。在她成為高斯父親的第二個(gè)妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過(guò)園丁，工頭，商人的助手和一個(gè)小保險(xiǎn)公司的評(píng)估師。當(dāng)高斯三歲時(shí)便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個(gè)軼事流傳至今。他曾說(shuō)，他在麥仙翁堆上學(xué)會(huì)計(jì)算。能夠在頭腦中進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德迪德里赫對(duì)高斯要求極為嚴(yán)厲，甚至有些過(guò)分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠(chéng)實(shí)、謹(jǐn)慎的性格。高斯很幸運(yùn)地有一位鼎力支持他成才的母親。高斯一生下來(lái)，就對(duì)一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個(gè)水落石出，這已經(jīng)超出了一個(gè)孩子能被許可的范圍。當(dāng)丈夫?yàn)榇擞?xùn)斥孩子時(shí)，她總是支持高斯，堅(jiān)決反對(duì)頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無(wú)知。新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)在成長(zhǎng)過(guò)程中，幼年的高斯主要得力于他的母親羅捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動(dòng)活潑的方式開(kāi)發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對(duì)他成才之重要，他想到舅舅多產(chǎn)的思想，不無(wú)傷感地說(shuō)，舅舅去世使我們失去了一位天才。正是由于弗利德里希慧眼識(shí)英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒(méi)有成為園丁或者泥瓦匠。羅捷雅真的希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對(duì)高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學(xué)研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學(xué)成就，但她仍向數(shù)學(xué)界的朋友W.波爾約問(wèn)道：高斯將來(lái)會(huì)有出息嗎？波爾約說(shuō)她的兒子將是歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家，為此她激動(dòng)得熱淚盈眶。初顯天分高斯7歲那年開(kāi)始上學(xué)。10歲的時(shí)候，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級(jí)，這是一個(gè)首次創(chuàng)辦的班，孩子們?cè)谶@之前都沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)算術(shù)這么一門(mén)課程。數(shù)學(xué)教師是布特納，他對(duì)高斯的成長(zhǎng)也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3這樣從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：你一定是算錯(cuò)了，回去再算算?！备咚拐f(shuō)出答案就是5050，高斯是這樣算的1+100=101，2+99=1011加到100有50組這樣的數(shù)，所以50X101=5050。布特納對(duì)他刮目相看。他特意從漢堡買(mǎi)了最好的算術(shù)書(shū)送給高斯，說(shuō)：“你已經(jīng)超過(guò)了我，我沒(méi)有什么東西可以教你了?！苯又?，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠(chéng)的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯由此開(kāi)始了真正的數(shù)學(xué)研究。得到資助1788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學(xué)。布倫茲維克公爵卡爾威廉斐迪南召見(jiàn)了14歲的高斯。這位樸實(shí)、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。高斯的花體親筆簽名。1792年高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795年，公爵又為他支付各種費(fèi)用，送他入德國(guó)著名的哥丁根大學(xué)，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開(kāi)始進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。http:/ www.x kb1.co m1796年高斯19歲，發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，1 解決了自歐幾里德以來(lái)懸而未決的一個(gè)難題。1 同年，發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”2 。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學(xué)的博士學(xué)位，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克，雖然他的博士論文順利通過(guò)了，被授予博士學(xué)位，同時(shí)獲得了講師職位，但他沒(méi)有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵繼續(xù)慷慨資助高斯的研究，使得他能在1803年謝絕圣彼得堡提供的教授職位，他一直是圣彼得堡科學(xué)院通訊院士。公爵為高斯付諸了長(zhǎng)篇博士論文的印刷費(fèi)用，送給他一幢公寓，又為他印刷了算術(shù)研究，使該書(shū)得以在1801年問(wèn)世；還負(fù)擔(dān)了高斯的所有生活費(fèi)用。所有這一切，令高斯十分感動(dòng)。他在博士論文和算術(shù)研究中，寫(xiě)下了情真意切的獻(xiàn)詞：獻(xiàn)給大公，你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來(lái)，使我能從事這種獨(dú)特的研究。布倫茲維克公爵在高斯的成才過(guò)程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實(shí)際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會(huì)化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)因素之一。高斯正處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會(huì)化的轉(zhuǎn)變時(shí)期。歷經(jīng)變故1806年，卡爾威廉斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時(shí)不幸在耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長(zhǎng)時(shí)間對(duì)法國(guó)人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來(lái)了經(jīng)濟(jì)上的拮據(jù)，德國(guó)處于法軍奴役下的不幸，以及第一個(gè)妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強(qiáng)的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀(jì)整理他的未公布于眾的數(shù)學(xué)手稿時(shí)才得知他那時(shí)的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細(xì)微的鉛筆字：對(duì)我來(lái)說(shuō)，死去也比這樣的生活更好受些?？犊⑷蚀鹊馁Y助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計(jì)。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開(kāi)始傳遍歐洲。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時(shí)堅(jiān)決勸阻高斯去俄國(guó)，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺(tái)。為了不使德國(guó)失去最偉大的天才，德國(guó)著名學(xué)者洪堡（B.A.Von Humboldt）聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)的職位。1807年，高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。從這時(shí)起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會(huì)議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立、德國(guó)成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時(shí)，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會(huì)化的一個(gè)良好開(kāi)端。投身研究 X k B 1 . c o m1833年高斯從他的天文臺(tái)拉了一條長(zhǎng)八千尺的電線，跨過(guò)許多人家的屋頂，一直到韋伯的實(shí)驗(yàn)室，以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)。高斯對(duì)自己的工作態(tài)度是精益求精，非常嚴(yán)格地要求自己的研究成果。他自己曾說(shuō)：寧可發(fā)表少，但發(fā)表的東西是成熟的成果。許多當(dāng)代的數(shù)學(xué)家要求他，不要太認(rèn)真，把結(jié)果寫(xiě)出來(lái)發(fā)表，這對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是很有幫助的。其中一個(gè)有名的例子是關(guān)于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開(kāi)山祖師有三人，高斯、 洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學(xué)的同學(xué)，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對(duì)他繼續(xù)從事這種看起來(lái)毫無(wú)希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行公理。最后發(fā)展出了非歐幾何，并且在18321833年發(fā)表了研究結(jié)果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學(xué)高斯，想不到高斯卻回信道：我無(wú)法夸贊他，因?yàn)榭滟澦偷扔诳洫?jiǎng)我自己。早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果，只是怕不能為世人所接受而沒(méi)有公布而已。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開(kāi)始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時(shí)就知道的東西。而那些非歐幾何學(xué)的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。 他越來(lái)越多的學(xué)生成為有影響的數(shù)學(xué)家，如后來(lái)聞名于世的戴德金和黎曼。他的父親死于1808年4月14日，1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也離開(kāi)人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine （1788-1831）。他們又有三個(gè)孩子：Eugen （1811-1896）,Wilhelm （1813-1883） 和 Therese （1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯開(kāi)始學(xué)習(xí)俄語(yǔ)。1839年4月18日，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯于1855年2月23日凌晨1點(diǎn)在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書(shū)信或筆記發(fā)現(xiàn)于1898年。3 個(gè)人信仰新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯的信仰是基于尋求真理的。他相信“精神個(gè)性上的不朽，像是個(gè)人在死后的持久性，還有最后命令的東西，以及永恒的、正義的、無(wú)所不知和無(wú)所不能的上帝?！备咚挂矆?jiān)持宗教的寬容，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對(duì)的。4 他說(shuō)：”微小的學(xué)識(shí)使人遠(yuǎn)離神，廣博的學(xué)識(shí)使人接近神?！案咚咕哂袧夂竦淖诮谈星?、貴族的舉止和保守的傾向。他一直遠(yuǎn)離他那個(gè)時(shí)代的進(jìn)步政治潮流。在高斯身上表現(xiàn)出的矛盾是與他實(shí)際上的和諧結(jié)合在一起的。高斯身為才氣橫溢的算術(shù)家，對(duì)於數(shù)具有非凡的記憶力。他既是一個(gè)深刻的理論家，又是一個(gè)杰出的數(shù)學(xué)實(shí)踐家。教學(xué)是他最討厭的事，因此他只有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生。但他的那些影響數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的論著(大約155篇)卻使他嘔心瀝血。有3個(gè)原則指導(dǎo)他的工作他最喜歡說(shuō)的少些，但要成熟些；他的格言不留下進(jìn)一步要做的事；和他的極度嚴(yán)格的要求。從他死后出版的著作中可以看出，他有許多重要和內(nèi)容廣泛的論文從未發(fā)表，因?yàn)榘此囊庖?jiàn)，它們都不符合這些原則。高斯所追求的數(shù)學(xué)研究題目都是那些他能在其中預(yù)見(jiàn)到具有某種有意義聯(lián)系的概念和結(jié)果，它們由於優(yōu)美和普遍而值得稱道。偉人之死1849年舉辦了高斯獲博士學(xué)位50周年慶祝會(huì)，為此高斯準(zhǔn)備了他早期對(duì)代數(shù)基本定理證明的一個(gè)新版本。由於健康狀況愈來(lái)愈差，這成了他最后的著作。給他帶來(lái)最大歡樂(lè)和榮譽(yù)的還是哥廷根市贈(zèng)與他的榮譽(yù)公民頭銜。由於他在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和物理學(xué)中的杰出研究成就，他被選為許多科學(xué)院和學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員。他謝絕了許多大學(xué)請(qǐng)他當(dāng)教授的邀請(qǐng)而一直留在哥廷根大學(xué)的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世后不久就鑄造了紀(jì)念他的錢(qián)幣。個(gè)人成就數(shù)學(xué)成就歐幾里德已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實(shí)現(xiàn)的，但從那時(shí)起關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的研究沒(méi)有多大進(jìn)展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準(zhǔn)則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個(gè)。這些關(guān)於數(shù)論的工作對(duì)代數(shù)數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論(即代數(shù)方程的解法)作出了貢獻(xiàn)。高斯還將復(fù)數(shù)引進(jìn)了數(shù)論，開(kāi)創(chuàng)了復(fù)整數(shù)算術(shù)理論，復(fù)整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進(jìn)。1831年(發(fā)表於1832年)他給出了一個(gè)如何藉助於x,y平面上的表示來(lái)發(fā)展精確的復(fù)數(shù)理論的詳盡說(shuō)明。新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學(xué)是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統(tǒng)性幾何學(xué)的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們是透過(guò)純粹邏輯構(gòu)造整個(gè)系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)。在這些公理中，平行線公理一開(kāi)始就顯得很突出。按照這一公理，通過(guò)不在給定直線上的任何點(diǎn)只能作一條與該直線平行的線。不久就有人推測(cè)這一公理可從其他一些公理推導(dǎo)出來(lái)，因而可從公理系統(tǒng)中刪去。但是關(guān)於它的所有證明都有錯(cuò)誤。高斯是最早認(rèn)識(shí)到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學(xué)的人之一。他逐漸得出革命性的結(jié)論確實(shí)存在這樣的幾何學(xué)，其內(nèi)部相容并且沒(méi)有矛盾。但因?yàn)榕c同代人的觀點(diǎn)相背，他不敢發(fā)表(參閱非歐幾里得幾何條)。當(dāng)1830年前后匈牙利的波爾約(Janos Bolyai)和俄國(guó)的羅巴切夫斯基獨(dú)立地發(fā)表非歐幾何學(xué)時(shí)，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結(jié)論。高斯也沒(méi)有發(fā)表特殊復(fù)函數(shù)方面的工作，可能是因?yàn)闆](méi)有能從更一般的原理導(dǎo)出它們。因此這一理論不得不在他死后數(shù)十年由其他數(shù)學(xué)家從他著作的計(jì)算中重建。1830年前后，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)研究中開(kāi)始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問(wèn)題。在探討毛細(xì)作用時(shí)，他提出了一個(gè)數(shù)學(xué)公式能將流體系統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。這一工作對(duì)於能量守恒原理的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。從1830年起高斯就與物理學(xué)家威廉愛(ài)德華韋伯密切合作。由於對(duì)地磁學(xué)的共同興趣，他們一起建立了一個(gè)世界性的系統(tǒng)觀測(cè)網(wǎng)。他們?cè)陔姶艑W(xué)方面最重要的成果是電報(bào)的發(fā)展。因?yàn)樗麄兊馁Y金有限，所以試驗(yàn)都是小規(guī)模的。天文發(fā)現(xiàn)1801天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認(rèn)為火星和木星間應(yīng)該還有行星未被發(fā)現(xiàn)。1801年的元旦，一位意大利天文學(xué)家在西西里島觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動(dòng)，這顆如今被稱作谷神星（Ceres）的小行星在天空出現(xiàn)了41天，掃過(guò)八度角之后，就在太陽(yáng)的光芒下沒(méi)了蹤影。我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個(gè)，當(dāng)時(shí)天文學(xué)家無(wú)法確定這顆新星是彗星還是行星，必須繼續(xù)觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來(lái)，它便隱身到太陽(yáng)后面去了。因此無(wú)法知道它的軌道，也無(wú)法判定它是行星或彗星。X k B 1 . c o m高斯也對(duì)這顆星著了迷，他決定解決這個(gè)捉摸不到的星體軌跡的問(wèn)題。高斯自己獨(dú)創(chuàng)了只要三次觀察，就可以來(lái)計(jì)算星球軌道的方法。他可以極準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)行星的位置。他利用天文學(xué)家提供的觀測(cè)資料，不慌不忙地算出了它的軌跡。果然，谷神星準(zhǔn)確無(wú)誤的在高斯預(yù)測(cè)的地方出現(xiàn)。這個(gè)方法雖然他當(dāng)時(shí)沒(méi)有公布就是“最小平方法”。在天文學(xué)中這一成就立即得到公認(rèn)。他在天體運(yùn)動(dòng)理論(1809)中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應(yīng)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的要求。高斯在小行星智神星方面也獲得類似的成功?？紤]到其他行星對(duì)智神星軌道的攝動(dòng)，高斯改進(jìn)了他的計(jì)算。 這時(shí)他的聲名遠(yuǎn)播，榮譽(yù)滾滾而來(lái)。自那以后，行星、大行星（海王星）接二連三地被發(fā)現(xiàn)了。1807年他成為格丁根大學(xué)的天文學(xué)教授和新天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直到逝世。1809年，在結(jié)婚4年后和第三個(gè)孩子剛出世不久，他第一個(gè)妻子去世。他的第二次婚姻(18101831)帶給他兩個(gè)兒子和一個(gè)女兒。在1812年，他研究了超幾何級(jí)數(shù)，并且把研究結(jié)果寫(xiě)成專題論文，呈給哥廷根皇家科學(xué)院。地理測(cè)量X k B 1 . c o m1820年前后，高斯把注意力轉(zhuǎn)向大地測(cè)量用數(shù)學(xué)方法測(cè)定地球表面的形狀和大小。他把很多時(shí)間用於大地測(cè)量的理論研究和野外工作。為了增加測(cè)量的精確度，他發(fā)明了回光儀(一種利用日光以保證比較精確測(cè)量的儀器)。他還引進(jìn)了所謂的高斯誤差曲線，并指出概率如何能用變差的鐘形曲線(一般稱為正態(tài)曲線，它是刻畫(huà)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分布的基礎(chǔ))來(lái)表示。他還對(duì)透過(guò)實(shí)際的大地測(cè)量確定地球形狀感興趣，這個(gè)工作使他回到了純理論。他利用這些測(cè)量數(shù)據(jù)發(fā)展了曲面論，按照這一理論，一個(gè)曲面的特徵只要透過(guò)測(cè)量曲面上曲線的長(zhǎng)度就能確定。這種內(nèi)蘊(yùn)曲面論啟發(fā)了他的學(xué)生黎曼發(fā)展三維或多維空間的一般內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)。這是黎曼1854年在格丁根就職演說(shuō)的題目，據(jù)說(shuō)也是困擾高斯的問(wèn)題。大約60年以后黎曼的思想形成愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。與他在引力和磁學(xué)方面的興趣有密切關(guān)系的是他在1840年發(fā)表的實(shí)分析論文。這一論文成為現(xiàn)代位勢(shì)理論的出發(fā)點(diǎn)。這可能是他所有的工作中唯一沒(méi)有達(dá)到他本人高標(biāo)準(zhǔn)要求的一個(gè)。只有到20世紀(jì)初數(shù)學(xué)家在不同原理的基礎(chǔ)上或藉助於尋求高斯結(jié)論是完全正確的成立條件，才有可能重新發(fā)展位勢(shì)理論。1820到1830年間，高斯為了測(cè)繪汗諾華公國(guó)的地圖，開(kāi)始做測(cè)地的工作，他寫(xiě)了關(guān)于測(cè)地學(xué)的書(shū)，由于測(cè)地上的需要，他發(fā)明了日觀測(cè)儀。高斯和韋伯（Withelm Weber)一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實(shí)驗(yàn)，高斯研究理論，韋伯引起高斯對(duì)物理問(wèn)題的興趣，而高斯用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題，影響韋伯的思考工作方法。以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)，設(shè)立磁觀測(cè)站，和韋伯畫(huà)出了世界第一張地球磁場(chǎng)圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。研究領(lǐng)域新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對(duì)待學(xué)問(wèn)十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來(lái)。高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年談到：“任何一個(gè)花過(guò)一點(diǎn)功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會(huì)感受到一種特別的激情與狂熱?！备咚箤?duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。事實(shí)上在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明，可是沒(méi)有一個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來(lái)，然后提出自己的見(jiàn)解，他一生中一共給出了四個(gè)不同的證明。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒(méi)發(fā)表出來(lái)。在物理學(xué)方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學(xué)家韋伯發(fā)明了有線電報(bào)，這使高斯的聲望超出了學(xué)術(shù)圈而進(jìn)入公眾社會(huì)。除此以外，高斯在力學(xué)、測(cè)地學(xué)、水工學(xué)、電動(dòng)學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)等方面均有杰出的貢獻(xiàn)。人物著作著作 出版時(shí)間 著作介紹 算術(shù)研究 1801年 介紹了同余、二次互逆定理天體運(yùn)動(dòng)理論 1809年 天體運(yùn)動(dòng)的著作曲面的一般研究 1827年 闡述了空間曲面的微積分幾何學(xué)關(guān)于代數(shù)基本定理的博士論文 1799年證明了每個(gè)復(fù)系數(shù)方程必有復(fù)數(shù)解高等大地測(cè)量學(xué)理論上 1843/44年地理測(cè)量高等大地測(cè)量學(xué)理論下 1846/47年地理測(cè)量地磁的一般理論 1839年地磁概念 1840年論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律1840年人物評(píng)價(jià)高斯不僅對(duì)純粹數(shù)學(xué)作出了意義深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)，而且對(duì)20世紀(jì)的天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和電磁學(xué)的實(shí)際應(yīng)用也作出了重要的貢獻(xiàn)。高斯開(kāi)辟了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，從最抽象的代數(shù)數(shù)論到內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，都留下了他的足跡。從研究風(fēng)格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是1819世紀(jì)之交的中堅(jiān)人物。如果我們把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個(gè)令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。高斯是人類的驕傲。天才、早熟、高產(chǎn)、創(chuàng)造力不衰人類智力領(lǐng)域的幾乎所有褒獎(jiǎng)之詞，對(duì)于高斯都不過(guò)分。愛(ài)因斯坦曾評(píng)論說(shuō)：“高斯對(duì)于近代物理學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所作的貢獻(xiàn)（指曲面論），其重要性是超越一切，無(wú)與倫比的。”貝爾曾經(jīng)這樣評(píng)論高斯：在高斯死后，人們才知道他早就預(yù)見(jiàn)一些十九世的數(shù)學(xué)，而且在1800年之前已經(jīng)期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏，很可能比當(dāng)今數(shù)學(xué)還要先進(jìn)半個(gè)世紀(jì)或更多的時(shí)間。人物名言編輯淺薄的學(xué)識(shí)使人遠(yuǎn)離神，廣博的學(xué)識(shí)使人接近神。高斯數(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后；算術(shù)，數(shù)學(xué)的皇后。高斯后世紀(jì)念從1989年直到2001年年底，他的肖像和他所寫(xiě)的正態(tài)分布曲線與一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德國(guó)10馬克的鈔票中。另一方面，在漢諾威有和他有關(guān)的雞血石以及三角測(cè)量方法。在德國(guó)也發(fā)行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票(第725號(hào))發(fā)行于1955年他死后的第100周年；另外兩種郵票(第1246號(hào).第1811號(hào))發(fā)行于1977年，他出生的第200周年。在高斯的榮耀中，以他命名的事物包括：1.用在磁場(chǎng)的CGS制計(jì)量單位以高斯來(lái)命名。新|課 |標(biāo) |第 |一| 網(wǎng)2.月球上的坑洞以他來(lái)命名。3.小行星1001又稱為高斯星。4.1901年德國(guó)建造了一艘名為“高斯”的船，并進(jìn)行了被稱為“高斯號(hào)遠(yuǎn)征的”南極探險(xiǎn)活動(dòng)。5 2007年的時(shí)候，高斯的半身像被引進(jìn)瓦爾哈拉神殿。2 意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型n 教學(xué)內(nèi)容教材第103110頁(yè)，意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型n 教學(xué)提示題目要求，和題目特點(diǎn)決定應(yīng)用的知識(shí)。n 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力進(jìn)一步分?jǐn)?shù)乘除法的意義、比、百分?jǐn)?shù)的意義、以及在整數(shù)和小數(shù)中存在的模型，在分?jǐn)?shù)中同樣適用。過(guò)程與方法進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用；掌握所學(xué)的常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系和解決問(wèn)題的思考方法，能夠比較靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力。w W w . x K b 1.c o M情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，養(yǎng)成定期歸納總結(jié)的習(xí)慣。n 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：意義和模型的靈活應(yīng)用。難點(diǎn)：意義的靈活運(yùn)用。n 教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：實(shí)物投影儀。學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本。n 教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧：1、師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)乘除法的意義，比的意義。誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)。（生回憶，不全的師補(bǔ)全）生：分?jǐn)?shù)，可以表示一個(gè)數(shù)量，也可以表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾生：百分?jǐn)?shù)只表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，也就是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)都可以表示兩者之間的關(guān)系，用除法進(jìn)行計(jì)算。生：分?jǐn)?shù)乘法，表示一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少 分?jǐn)?shù)除法，可以看做1、表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或幾倍）2、表示一個(gè)數(shù)里有多少個(gè)另一個(gè)數(shù)。生：比：是描述兩者之間一種相除的關(guān)系，比值則是分?jǐn)?shù)除法的第一個(gè)意義。2、師：我們學(xué)過(guò)哪些數(shù)學(xué)模型。生：分?jǐn)?shù)意義得到的，一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾。一個(gè)數(shù)我們用甲數(shù)，另一個(gè)數(shù)用乙數(shù)，幾分之幾用來(lái)表示，那么模型變成：甲數(shù)是乙數(shù)的。生：一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)的幾分之幾多（或少）多少，模型化：甲數(shù)比乙數(shù)的多（少）丙數(shù)。生：一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾，即甲數(shù)比乙數(shù)多（少）生：按比分配，轉(zhuǎn)化成甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾新課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)生：三個(gè)模型根據(jù)已知和待求的量不同，可以變換成3種類型的題目。師：同學(xué)們總結(jié)的太好了。師：我稍稍補(bǔ)充一下，甲數(shù)比乙數(shù)多（少）丙數(shù)。下面我們一起看看它們之間的聯(lián)系。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶，確定學(xué)過(guò)的一些模型，時(shí)間足的話，可以說(shuō)說(shuō)怎么來(lái)的。（二）梳理總結(jié)：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生明確知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）鞏固新知：1.一個(gè)班有45人，期中考試數(shù)學(xué)有42人及格，這個(gè)班的及格率是多少？2.蔣集鎮(zhèn)中心小學(xué)信息興趣小組有32人，其中男生占，男生有多少人？3.大胡村蔬菜大棚去年出產(chǎn)蔬菜800噸，是今年出產(chǎn)蔬菜的，今年出產(chǎn)蔬菜多少噸？4.六年級(jí)三班有男生25人，女生人數(shù)比男生的還多3人，女生有多少人？5.蔣集鎮(zhèn)中心小學(xué)舞蹈隊(duì)有23名成員，比合唱隊(duì)的少2人，合唱隊(duì)有多少名同學(xué)？6.天天鮮蔬菜店，今天運(yùn)來(lái)西紅柿200千克，運(yùn)來(lái)的白菜比西紅柿多，天天鮮蔬菜點(diǎn)運(yùn)來(lái)白菜多少千克?7. 天天鮮蔬菜店，今天運(yùn)來(lái)白菜280千克，運(yùn)來(lái)的白菜比西紅柿多，天天鮮蔬菜點(diǎn)運(yùn)來(lái)白菜多少千克?8. 天天鮮蔬菜店，今天運(yùn)來(lái)白菜280千克，西紅柿200千克，天天鮮蔬菜點(diǎn)運(yùn)來(lái)的白菜比西紅柿多幾分之幾？X k B 1 . c o m9.明德小學(xué)今年購(gòu)進(jìn)科技書(shū)和故事書(shū)共2000冊(cè)，科技書(shū)與故事書(shū)的比是3:7，明德小學(xué)今年購(gòu)進(jìn)故事書(shū)多少冊(cè)？10.寧陽(yáng)縣舉行學(xué)科素養(yǎng)大賽，決定按1:3:5的比例設(shè)置一、二、三等獎(jiǎng)，其中，活動(dòng)二等獎(jiǎng)的有30人，那么，獲一等獎(jiǎng)的有多少人？答案：93.3%，24人，850噸，23人，20人，280千克，200千克，1400冊(cè)，10人。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)上面理論內(nèi)容，進(jìn)行實(shí)踐。（四）達(dá)標(biāo)反饋1.學(xué)期末，體育老師對(duì)六年級(jí)五班的學(xué)生進(jìn)行體育考查，全部有40人，其中過(guò)關(guān)的有36人，過(guò)關(guān)率是多少？2.寧莊王大爺家今年共種植黃姜5小畝，肖大爺種植黃姜是王大爺家的，肖大爺家共種植黃姜多少小畝？X k B 1 . c o m3. 寧莊肖大爺家今年共種植黃姜3.5小畝，肖大爺種植黃姜是王大爺家的，肖大爺家共種植黃姜多少小畝？4.水果店運(yùn)來(lái)蘋(píng)果200千克，運(yùn)來(lái)的香蕉比蘋(píng)果的還少20千克，運(yùn)來(lái)香蕉多少千克？5. 水果店運(yùn)來(lái)香蕉130千克，運(yùn)來(lái)的香蕉比蘋(píng)果的還少20千克，運(yùn)來(lái)香蕉多少千克？6.今天農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)上，香菜每千克6元，山藥的價(jià)格比香菜的多0.5元，山藥每千克多少元？7. 今天農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)上，黃瓜每千克4元，比藕價(jià)格的少1元，藕每千克多少元？8.豬肉每千克24元，羊肉每千克68元，豬肉比羊肉便宜幾分之幾？9.劉叔叔家有飼養(yǎng)的白兔和黑兔，共180只，白兔和黑兔的比是5:1，劉叔叔家飼養(yǎng)的黑兔有多少只？10. 劉叔叔家有飼養(yǎng)的白兔和黑兔，白兔和黑兔的比是5:2，其中白兔有150只，劉叔叔家飼養(yǎng)的黑兔有多少只？答案：90%，3.5小畝，5小畝，130千克，200千克，4.5元，6元，30只，60只。設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)理論的應(yīng)用效果效果。（五）課堂小結(jié)這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么，有哪些收獲？給大家說(shuō)說(shuō)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)，既能夠使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解和深層次思考，從而將所學(xué)知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又提升了學(xué)生的梳理和概括能力。（六）布置作業(yè)第2課時(shí)：意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型1、工程隊(duì)原計(jì)劃一周修路20千米，實(shí)際修了24千米。實(shí)際修的是原計(jì)劃的百分之幾？新 -課 -標(biāo) -第- 一-網(wǎng)2、一根繩子用去，正好用去6米。繩子全長(zhǎng)有多少米？3、小紅讀一本故事書(shū)，第一天讀了這本書(shū)的，第二天讀了45頁(yè)，還剩下15頁(yè)沒(méi)有讀。這本故事書(shū)一共有多少頁(yè)？4、育才小學(xué)有一個(gè)直徑是6米的圓形花壇，為美化校園，把這個(gè)花壇進(jìn)行了擴(kuò)建，擴(kuò)建后花壇的直徑與原來(lái)直徑的比是4:3。擴(kuò)建后花壇的面積是多少平方米？5、學(xué)校舉辦美術(shù)作品展覽。繪畫(huà)作品有80件，比書(shū)法作品少。書(shū)法作品有多少件？6、一輛汽車(chē)從甲地去乙地，已行了全程的，這時(shí)距中點(diǎn)還有15千米。全程有多少千米？7. 一張課桌比一把椅子貴20元，如果椅子的單價(jià)是課桌的，課桌和椅子的單價(jià)各是多少？8. 學(xué)校計(jì)劃投資7200元舉辦才藝展示活動(dòng)，實(shí)際的費(fèi)用比計(jì)劃節(jié)約了。實(shí)際的費(fèi)用是多少元？9. 學(xué)校舉行朗誦比賽，獲三等獎(jiǎng)的有120人，獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是獲三等獎(jiǎng)的，獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)是獲二等獎(jiǎng)的。獲一等獎(jiǎng)的有多少人？10. “六五”班共有學(xué)生48人，其中男生占。班級(jí)里組織學(xué)生成立科技小組，共有22人報(bào)名參加。問(wèn)這個(gè)班參加科技小組的男生最多可能有多少人？答案：1、120%，30米，100頁(yè)，50.24平方米，112幅，150千米，桌子80元，椅子60元，2700元，40人，22人。板書(shū)設(shè)計(jì)X Kb 1. C om 意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型 教學(xué)反思題目分類后，看著很簡(jiǎn)單，學(xué)生在對(duì)比練習(xí)時(shí)做的還好，也就是當(dāng)有意識(shí)的去區(qū)分，還能區(qū)分清楚，一旦打亂順序，做起來(lái)就不理想了。因此，要學(xué)生重點(diǎn)理解公式歸納總結(jié)的過(guò)程。才能有利于掌握。n 教學(xué)資料包教學(xué)資源新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)少50米（ ）米360米（ ）米、1、列綜合算式或方程計(jì)算。 2.中心小學(xué)有110人參加書(shū)寫(xiě)大賽，其中獲一、二等獎(jiǎng)的人數(shù)分別占和。獲一、二等獎(jiǎng)的一共多少人？3.一個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)是120元，一個(gè)排球的價(jià)錢(qián)是一個(gè)籃球價(jià)錢(qián)的，一個(gè)排球的價(jià)錢(qián)是一個(gè)足球價(jià)錢(qián)的，一個(gè)足球多少錢(qián)？新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)4.某工廠四月份下半月用水5400噸，比上半月節(jié)約20%，上半月用水多少噸？5.學(xué)校購(gòu)進(jìn)一批圖書(shū)，按3:5的比例分給四、五年級(jí)，五年級(jí)分得150本。這批圖書(shū)共有多少本？6.某廠九月份用水28噸，十月份比九月份節(jié)約。十月份比九月份節(jié)約多少噸？7.舞蹈隊(duì)有男生28人，是女生人數(shù)的，舞蹈隊(duì)有女生多少人？8.生產(chǎn)一批零件，已經(jīng)生產(chǎn)了1200個(gè)。如果再生產(chǎn)300個(gè)就完成任務(wù)了，已經(jīng)生產(chǎn)了百分之幾？9.水果店運(yùn)來(lái)梨、蘋(píng)果和橘子共600千克，其中梨運(yùn)來(lái)240千克，運(yùn)來(lái)的蘋(píng)果和橘子的重量比是5:4，水果店運(yùn)來(lái)蘋(píng)果多少千克？答案：20，280；40人；84元；6750噸；240本；24噸；32人；80%；200千克。資料鏈接數(shù)學(xué)三大危機(jī)數(shù)學(xué)三大危機(jī)簡(jiǎn)述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號(hào)2）永遠(yuǎn)無(wú)法用最簡(jiǎn)整數(shù)比（不可公度比）來(lái)表示，從而發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)無(wú)理數(shù)，推翻了畢達(dá)哥拉斯的著名理論。相傳當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯派的人正在海上，但就因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)而把希帕索斯拋入大海；第二，微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑，險(xiǎn)些要把整個(gè)微積分理論推翻；第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點(diǎn)的話來(lái)說(shuō)，小明有一天說(shuō)：“我正在撒謊！”問(wèn)小明到底撒謊還是說(shuō)實(shí)話。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識(shí)，它很簡(jiǎn)單，卻可以輕松摧毀集合理論！http:/ www.x kb1.co m第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué) 古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯 術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù)僅指整數(shù)。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。 畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)的誕生。小小的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊，對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的 的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲共同發(fā)現(xiàn)。這一工具一問(wèn)世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問(wèn)題運(yùn)用這一工具后變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。但經(jīng)過(guò)牛頓和萊布尼茲等著名科學(xué)家的努力（主要是柯西用極限的方法定義了無(wú)窮小量），微積分理論得以發(fā)展和完善，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗！第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了” 可是，好景不長(zhǎng)。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定X k B 1 . c o m 相關(guān)書(shū)籍 的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義