三角函數(shù)復(fù)習(xí).doc

第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：1.終邊與角相同的角可寫成k360(kZ)2. 弧長(zhǎng)公式：l|r 扇形面積公式：S扇形lr|r2.3. 任意角的三角函數(shù)： sin ，cos ，tan （r0）4. 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦5.終邊落在x軸上的角的集合|k，kZ；終邊落在y軸上的角的集合 注：象限角不包括x軸與y軸?？枷蛞唤堑募媳硎炯跋笙藿堑呐卸ā纠?】 已知角是第二象限角，試確定2所在的象限解是第二象限角，k36090k360180，kZ.2k36018022k360360，kZ.2是第三、第四象限角或角的終邊在y軸非正半軸上 (1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們之間相差360的整數(shù)倍(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：終邊在y軸非正半軸上的角的集合可以表示為，也可以表示為.【訓(xùn)練1】 角與角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則()A B180 Ck360(kZ) Dk360180(kZ)解析對(duì)于角與角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則k360180(kZ)k360180(kZ) 答案D考向二三角函數(shù)的定義【例2】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意得，r，m，m0，m，故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，cos ，tan .當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角cos ，tan.【訓(xùn)練2】 (2011課標(biāo)全國(guó))已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.解析取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ，故cos 22cos21. 答案B【訓(xùn)練3】已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，)(x0)，且cos x，求sin 、tan 的值 解 P(x，)(x0)，P到原點(diǎn)的距離r，(2分)又cos x，cos x，x0，x，r2.(6分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由三角函數(shù)定義，有sin ，tan ；(9分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，sin ，tan .(12分)考向三弧度制的應(yīng)用【例3】已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大??；(2)求所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解(1)由O的半徑r10AB，知AOB是等邊三角形，AOB60.(2)由(1)可知，r10，弧長(zhǎng)lr10，S扇形lr10，而SAOBAB10，SS扇形SAOB50. 第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式知識(shí)要點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21； (2)商數(shù)關(guān)系：tan .2誘導(dǎo)公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，公式二：sin()sin_，cos()cos_， tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化考向一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值【例1】已知f()，求f.審題視點(diǎn) 先化簡(jiǎn)f()，再代入求解解f()cos ，fcos coscos .【訓(xùn)練1】 已知角終邊上一點(diǎn)P(4,3)，則的值為_(kāi)解析原式tan ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tan .答案考向二同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【例2】(2011長(zhǎng)沙調(diào)研)已知tan 2.（此類型題目，構(gòu)造tan 再求值）求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.解(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21. (1)對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求轉(zhuǎn)化的公式為(sin cos )212sin cos ； 【訓(xùn)練2】 已知5.則sin2sin cos _.解析依題意得：5，tan 2.sin2sin cos . 答案【試一試】 已知sin cos ，(0，)，求tan .嘗試解答sin cos ，(0，)(sin cos )212sin cos .sin cos .由根與系數(shù)的關(guān)系知sin ，cos 是方程x2x0的兩根，x1，x2，又sin cos 0，sin 0，cos 0，sin ，cos .tan .第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)1.函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象值域1,11,1R對(duì)稱性對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：無(wú)對(duì)稱軸對(duì)稱中心：(kZ)周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間，2k(kZ)；單調(diào)減區(qū)間，2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間2k，2k(kZ)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間，k(kZ)奇偶性奇偶奇(1)周期性：數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.(2)奇偶性：角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式2.角函數(shù)值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；(3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題考向一三角函數(shù)的定義域與值域【例1】求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值解設(shè)sin xt，則t.y1sin2xsin x2，t，故當(dāng)t，即x時(shí)，ymax，當(dāng)t，即x時(shí)，ymin.形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；（輔助角公式）形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)【訓(xùn)練1】 (1)求函數(shù)y的定義域(2)已知函數(shù)f(x)cos2sinsin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值解(1)要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)?(2)由題意得：f(x)cos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.又x，2x，sin.故當(dāng)x時(shí)，f(x)取最大值1；當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值.考向二三角函數(shù)的奇偶性與周期性【例2】(2011大同模擬)函數(shù)y2cos21是()A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù)審題視點(diǎn) 先化簡(jiǎn)為一個(gè)角的三角函數(shù)，再確定周期和奇偶性解析y2cos21cossin 2x為奇函數(shù)，T.答案A考向三三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】已知f(x)sin xsin，x0，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間審題視點(diǎn) 化為形如f(x)Asin(x)的形式，再求單調(diào)區(qū)間解f(x)sin xsinsin xcos xsin.由2kx2k，kZ，得：2kx2k，kZ，又x0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 求形如yAsin(x)k的單調(diào)區(qū)間時(shí)，只需把x看作一個(gè)整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，若為負(fù)則要先把化為正數(shù)【訓(xùn)練3】 函數(shù)f(x)sin的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)解析f(x)sinsin，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ.故所求函數(shù)的減區(qū)間為(kZ)答案(kZ)考向四三角函數(shù)的對(duì)稱性【例4】(1)函數(shù)ycos圖象的對(duì)稱軸方程可能是()Ax Bx Cx Dx(2)若0，g(x)sin是偶函數(shù)，則的值為_(kāi)解析(1)令2xk(kZ)，得x(kZ)，令k0得該函數(shù)的一條對(duì)稱軸為x.本題也可用代入驗(yàn)證法來(lái)解(2)要使g(x)sin為偶函數(shù)，則須k，kZ，k，kZ，0，. (1)A(2)【訓(xùn)練4】 (1)函數(shù)y2sin(3x)的一條對(duì)稱軸為x，則_.(2)函數(shù)ycos(3x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形則_.解析(1)由ysin x的對(duì)稱軸為xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.(2)由題意，得ycos(3x)是奇函數(shù)，k，kZ.答案(1)(2)k，kZ第4講正弦型函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用基礎(chǔ)梳理函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟A叫做振幅，T叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相考向一求函數(shù)yAsin(x)的解析式【例2】(2011江蘇)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是_審題視點(diǎn) 由最高、最低點(diǎn)確定A，由周期確定，然后由圖象過(guò)的特殊點(diǎn)確定.解析由圖可知：A，所以T2k，2k，令k0，2，又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以2，則，故函數(shù)的解析式為f(x)sin，所以f(0)sin.【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)yAsin(x)(A0，|，0)的圖象的一部分如圖所示(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)試寫出f(x)的對(duì)稱軸方程解(1)觀察圖象可知：A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上，12sin(0)，即sin .|，.又是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過(guò)x軸形成的零點(diǎn)，2，2.f(x)2sin.(2)設(shè)2xB，則函數(shù)y2sin B的對(duì)稱軸方程為Bk，kZ，即2xk(kZ)，解上式得x(kZ)，f(x)2sin的對(duì)稱軸方程為x(kZ)考向二函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(2012西安模擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的值域解(1)由最低點(diǎn)為M，得A2.由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，得，即T，所以2.由點(diǎn)M在圖象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)因?yàn)閤，所以2x.當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值1.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2【訓(xùn)練3】 (2011南京模擬)已知函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象過(guò)點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間解(1)依題意得：A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又圖象過(guò)點(diǎn)P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為：(kZ)第5講兩角和與差的正弦、余弦和正切第5講兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函數(shù)f()acos bsin (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一確定(輔助角公式)考向一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例1】化簡(jiǎn).審題視點(diǎn) 切化弦，合理使用倍角公式解原式cos 2x.考向三三角函數(shù)的求角問(wèn)題【例3】已知cos ，cos()，且0，求.審題視點(diǎn) 由cos cos()解決解0，0.又cos()，cos ，sin sin()，cos cos()cos cos()sin sin().0.【訓(xùn)練3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的兩個(gè)根，求的值解由根與系數(shù)的關(guān)系得：tan tan 3，tan tan 4，tan 0，tan 0，0.又tan().考向四三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】(2010北京)已知函數(shù)f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值審題視點(diǎn) 先化簡(jiǎn)函數(shù)yf(x)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解解(1)f2cossin21.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取最大值2；當(dāng)cos x0時(shí)，f(x)取最小值1.【訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：f(x)2sin xcos xsin 2x(1)f(x)的最小正周期T.(2)x，2x.sin 2x1.f(x)的最大值為1，最小值為.難點(diǎn)突破三角函數(shù)求值、求角問(wèn)題策略一、給值求值【示例】 (2011江蘇)已知tan 2，則的值為_(kāi)二、給值求角【示例】 (2011南昌月考)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值練習(xí)題1(人教A版教材習(xí)題改編)下列各式的值為的是()A2cos2 1 B12sin275C. Dsin 15cos 15解析2cos21cos；12sin275cos 150；tan 451；sin 15cos 15sin 30.答案D2(2011福建)若tan 3，則的值等于()A2 B3 C4 D6解析2tan a236，故選D.3已知sin ，則cos(2)等于()A B C. D.解析cos(2)cos2(12sin2)2sin2121.4(2011遼寧)設(shè)sin，則sin 2()A B C. D.解析sin 2cos2sin21221.5tan 20tan 40tan 20 tan 40_.解析tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.第6講正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和邊c.解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c.考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.【訓(xùn)練2】 (2011桂林模擬)已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)