第三章——流體流動(dòng)特性

1 3 1流場(chǎng)及其描述方法 流場(chǎng) 流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)中所占據(jù)的空間 1 拉格朗日法 拉格朗日法又稱隨體法 著眼于流體質(zhì)點(diǎn) 通過跟蹤每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程 研究流體質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間變化規(guī)律 進(jìn)而確定整個(gè)流場(chǎng)內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù) B B a b c t 式中a b c t稱為拉格朗日變量 是初始時(shí)刻對(duì)質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)隨a b c的變化 得到不同流體質(zhì)點(diǎn)參數(shù)B的變化a b c const時(shí) 表示某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 2 在t時(shí)刻 某質(zhì)點(diǎn)a b c的位置可表示為 該流體質(zhì)點(diǎn)的速度場(chǎng)為 類似的方法可得到該流體質(zhì)點(diǎn)的加速度場(chǎng) 3 1流場(chǎng)及其描述方法 3 2 歐拉法 又稱局部法 是以流體質(zhì)點(diǎn)流過空間某個(gè)點(diǎn)上時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性 來研究整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)的 所以流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)是空間點(diǎn)坐標(biāo) x y z 和時(shí)間t的函數(shù) 任一參量B可以表示為 B B x y z t 式中 x y z t稱為歐拉變量 是與流體質(zhì)點(diǎn)無關(guān)的空間坐標(biāo)值 x y z值不變 改變t 表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律 t不變 改變x y z 代表某一時(shí)刻 空間各點(diǎn)的速度分布 3 1流場(chǎng)及其描述方法 4 3 兩種方法的比較 3 1流場(chǎng)及其描述方法 5 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 速度場(chǎng) 任一瞬時(shí)由空間點(diǎn)上速度矢量構(gòu)成的場(chǎng) 又稱速度分布 1 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度 在直角坐標(biāo)系中采用歐拉方法描述的速度函數(shù)為 對(duì)于具體的流體質(zhì)點(diǎn)來說x y z有雙重意義 一方面它代表流場(chǎng)的空間坐標(biāo) 另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移 也就是說 空間坐標(biāo)x y z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量 它也是時(shí)間t的函數(shù) x x t y y t z z t 流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程 6 流體質(zhì)點(diǎn)在x方向上的加速度分量為 上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量 所以 同理 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 7 表示成矢量形式 即 歐拉方法中 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由兩項(xiàng)構(gòu)成 當(dāng)?shù)丶铀俣?固定點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化率 反映了流場(chǎng)的非定常性引起 b 遷移加速度 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)改變了空間位置而引起的速度變化率 反映了流場(chǎng)的非均勻性 3 7 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 8 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 遷移加速度 當(dāng)?shù)丶铀俣?9 用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)任意物理量的時(shí)間變化率 稱為隨體導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 表示跟隨流體質(zhì)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 3 8 當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) 局部導(dǎo)數(shù)或時(shí)變導(dǎo)數(shù) 表示流體質(zhì)點(diǎn)沒有空間位移時(shí) 物理量對(duì)時(shí)間的變化率 遷移導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù) 表示流體處于不同位置時(shí)物理量對(duì)時(shí)間的變化率 注 1 遷移導(dǎo)數(shù)雖然是參數(shù)在空間的分布 但并不是參數(shù)對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) 變量仍然是t 通過中間變量x y z對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 2 與拉格朗日坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的比較 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 10 解 由流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程得 積分得 代回積分式 可得流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 11 例3 1 已知用速度場(chǎng)u 2x v 2y w 0 求質(zhì)點(diǎn)的加速度及流場(chǎng)中 1 1 點(diǎn)的加速度 解 在 1 1 點(diǎn)上 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 12 2 跡線和流線 跡線 某一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所占有的空間位置連接成的空間曲線 或流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 與拉格朗日法相對(duì)應(yīng) 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 13 流線 某一時(shí)刻 各點(diǎn)的切線方向與通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向相同的曲線 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 14 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 15 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 流線的基本特性 1 在定常流動(dòng)時(shí) 因?yàn)榱鲌?chǎng)中各流體質(zhì)點(diǎn)的速度不隨時(shí)間變化 所以通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變 因此流線和跡線相重合 而在非定常流動(dòng)時(shí) 一般說來流線要隨時(shí)間變化 故流線和跡線不相重合 2 通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線 一般情況流線不能相交和分支 駐點(diǎn)或奇點(diǎn)除外 3 流線不能突然折轉(zhuǎn) 是一條光滑的連續(xù)曲線 4 流線密集的地方 表示流場(chǎng)中該處的流速較大 稀疏的地方 表示該處的流速較小 16 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 例3 2 有一流場(chǎng) 其流速分布規(guī)律為 u ky v kx w 0 試求流線方程 解 由于w 0 所以是二維流動(dòng) 二維流動(dòng)的流線方程微分為 將兩個(gè)分速度代入流線微分方程 積分上式得到 即流線簇是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓 17 例 已知不定常流常速度場(chǎng)為u t 1 v 1 t 0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn) 求 1 質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程 2 t 0時(shí)刻過原點(diǎn)的流線方程 3 t 1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向 解 1 由跡線方程式 積分可得 t 0時(shí)質(zhì)點(diǎn)A位于x y 0 得c1 c2 0 質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程為 消去參數(shù)t可得 a 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 18 上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條以 1 2 1 為頂點(diǎn) 且通過原點(diǎn)的拋物線 見圖 2 由流線微分方程式 積分可得 在t 0時(shí)刻 流線通過原點(diǎn)x y 0 可得C 0 相應(yīng)的流線方程為 x y 這是過原點(diǎn)的一 三象限角平分線 與質(zhì)點(diǎn)A的跡線在原點(diǎn)相切 見圖 b c 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 19 3 為確定t 1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向 需求此時(shí)刻過質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程 由跡線方程可確定 t 1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A位于x 3 2 y 1位置 代入流線方程 可得C 1 4 t 1時(shí)刻過流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程為 x 2y 1 2 上式是一條與流體質(zhì)點(diǎn)A的跡線相切于 3 2 1 點(diǎn)的斜直線 運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠卦撝本€朝x y值增大方向 討論 以上可見 不定常流動(dòng)中跡線與流線不重合 不同時(shí)刻通過某固定點(diǎn)的流線可以不同 見b式 通過某流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的流線也可以不同 見c和d式 d 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 20 3 流管 流束和總流 流管 在流場(chǎng)中任取一條不是流線的封閉曲線 通過曲線上各點(diǎn)作流線 這些流線組成一個(gè)管狀表面 稱之為流管 流管表面上流體的速度與流管表面平行 即流管表面法向單位向量n與該點(diǎn)的速度V相垂直 流管方程為 流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管流入或流出 流束 過流管橫截面上各點(diǎn)作流線 則得到充滿流管的一束流線簇 稱為流束 有效截面 在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面 也稱為過流斷面 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 21 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 22 4 流量和平均流速 流量 單位時(shí)間內(nèi)通過有效截面的流體的量 體積流量 以Qv表示 單位為m3 s 質(zhì)量流量 以Qm表示 單位為kg s 對(duì)于在流管有效截面上流速不等的流動(dòng) 其體積流量為 當(dāng)流速與截面A不垂直時(shí) 體積流量變?yōu)?式中n是截面的外法線單位矢量 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 23 平均流速 平均流速是一個(gè)假想的流速 即假定在有效截面上各點(diǎn)都以相同的流速流過 這時(shí)通過該有效截面上的體積流量與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 對(duì)于非圓截面管道引入濕周 水力半徑和當(dāng)量直徑概念 濕周 在總流的有效截面上 流體與固體邊界接觸的長(zhǎng)度 水力半徑Rh 總流的有效截面面積與濕周之比 當(dāng)量直徑Dh 4倍的水力半徑 24 例 已知 粘性流體在圓管 半徑R 內(nèi)作定常流動(dòng) 設(shè)圓截面上速度分布呈拋物線分布 求 1 流量Q的表達(dá)式 2 截面上平均速度V 其中um截面速度分布的最大速度 解 流量計(jì)算時(shí)dA 2 rdr 拋物線分布的流量為 其平均速度為 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 25 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 例3 3 直徑為d的圓形管道 邊長(zhǎng)為a的正方形管道和高為h 寬為3h的矩形管道 具有相同的有效截面積A0 0 0314m2 分別求出這三種充滿流體的管道的濕周 水力半徑Rh和當(dāng)量直徑Dh 并說明那種管道最省材料 1 直徑為d的圓管d 0 20 m d 0 628 m Rh A0 0 05 m Dh 4Rh 0 2 m d 2 邊長(zhǎng)為a正方形d 0 177 m 4a 0 708 m Rh A0 0 044 m Dh 4Rh 0 177 m 解 3 高為h的長(zhǎng)方形h 0 102 m 0 816 m Rh A0 0 038 m Dh 4Rh 0 153 m 圓形截面濕周最小 過流截面積最大 最省料 26 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 1 亥姆霍茲速度分解定理 在xy平面流場(chǎng)中 M0點(diǎn)的速度為在x方向上的速度為u0 則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點(diǎn)的速度在x方向的分量u可表示為 27 2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 1 平移運(yùn)動(dòng) 表現(xiàn)為流體微團(tuán)整體從ABC點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)到A B C 點(diǎn) 微團(tuán)內(nèi)部任一流體質(zhì)點(diǎn)在x y方向上的速度均為u v 不存在速度梯度 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 28 2 線變形運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)內(nèi)部沿x方向運(yùn)動(dòng) 但是B點(diǎn)和A點(diǎn)流體可能存在x方向上的速度差 C點(diǎn)和A點(diǎn)可能存在y方向上的速度差 如圖 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 29 線變形速率 單位時(shí)間 單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng) 縮短 率 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 同理y和z方向上的線變形速率為 面積擴(kuò)張率 面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時(shí)相對(duì)擴(kuò)張速率 體積膨脹率 體元的體積在空間的局部瞬時(shí)相對(duì)膨脹速率 不可壓縮流體的速度散度 面積擴(kuò)張率和體積膨脹率為零 速度的散度 30 3 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 因?yàn)锽點(diǎn)和A點(diǎn)可能存在y方向上的速度差 而C點(diǎn)和A點(diǎn)可能存在x方向上的速度差使微團(tuán)旋轉(zhuǎn) 如圖 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 31 旋轉(zhuǎn)角速度 兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度平均值 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 規(guī)定逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正 則 AB邊的旋轉(zhuǎn)角速度為 AC邊的旋轉(zhuǎn)角速度為 表現(xiàn)為流體微團(tuán)兩條正交邊的角平分線在xy面內(nèi)繞一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度 32 渦量 寫成矢量為 速度的旋度 流動(dòng)無旋 流動(dòng)有旋 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為 33 4 角變形運(yùn)動(dòng) 僅用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)并不能完全描述流體微團(tuán)的變形運(yùn)動(dòng) 如圖所示 若 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 則旋轉(zhuǎn)角速度為零 表現(xiàn)為流體微團(tuán)的角平分線不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn) 但是AB和AC間的夾角改變了 34 角變形速率 兩正交線元的與角平分線夾角在xy平面內(nèi)的局部瞬時(shí)變化速率平均值 同理 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時(shí)變化速率為 35 所以 對(duì)于流體微團(tuán)在三維空間的運(yùn)動(dòng) 速度可以寫為 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 36 3 有旋流動(dòng)的描述 有旋流動(dòng) 流場(chǎng)中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度 不為零的流動(dòng) 窩量場(chǎng) 旋轉(zhuǎn)角速度 或者 在流場(chǎng)中的分布 渦線 線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的渦量方向一致的假想曲線 渦線組成的集束稱為渦束 渦線的方程 由 得到 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 37 例 設(shè)平面流場(chǎng)為u ky v 0 k為大于零的常數(shù) 試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 解 速度分布如圖所示 由流線微分方程kydy 0 積分得流線方程 y C 說明流線是平行于x軸的直線族 x y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為 線元既不伸長(zhǎng)也不縮短 互相正交的線元隨時(shí)間增長(zhǎng)夾角不斷變化 yx 0 流體自左向右流動(dòng)時(shí)正交線元的夾角不斷減小 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 38 流體的旋轉(zhuǎn)角速度為 說明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 形成速度線形增長(zhǎng)的基礎(chǔ) 面積擴(kuò)張率為 屬不可壓縮流動(dòng) 圖中四邊形流體面在運(yùn)動(dòng)過程中面積保持不變 對(duì)角線與x軸的夾角不斷減小 流體面不斷拉長(zhǎng)和變窄 3 3流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 39 3 4粘性流體的流動(dòng)形態(tài) 1 雷諾實(shí)驗(yàn) 雷諾實(shí)驗(yàn)裝置 40 3 4粘性流體的流動(dòng)形態(tài) 1 當(dāng)速度較小時(shí) 染液線為一條平滑直線 測(cè)速信號(hào)也是一條平滑直線 hf與V呈線性關(guān)系 2 當(dāng)速度逐漸增大后 染液開始波動(dòng) 測(cè)速信號(hào)發(fā)生間歇性脈動(dòng) 說明流動(dòng)開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變 hf與V關(guān)系不確定 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 3 當(dāng)速度繼續(xù)增大后 染液線突然變得模糊 并彌散到整個(gè)管內(nèi) 測(cè)速信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)不斷的隨機(jī)脈 hf與V的1 75 2次方成正比 41 3 4粘性流體的流動(dòng)形態(tài) 過渡區(qū) 湍流區(qū) 42 2 雷諾準(zhǔn)則 雷諾通過圓管定常流動(dòng)系列實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn) 層流與湍流的轉(zhuǎn)捩不僅僅取決于速度 而是取決于一個(gè)組合的無量綱數(shù) 雷諾數(shù) 其中V流速 d特征長(zhǎng)度 流體密度 粘度 圓管臨界雷諾數(shù) 當(dāng)Re2300時(shí)將發(fā)生湍流 3 4粘性流體的流動(dòng)形態(tài) 上臨界雷諾數(shù) 流體流動(dòng)從層流完全轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯睦字Z數(shù) 下臨界雷諾數(shù) 流體流動(dòng)從湍流完全轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鞯睦字Z數(shù) 43 例3 4 水在內(nèi)徑d 0 1m的圓管內(nèi)流動(dòng) 流速V 0 4m s 水的運(yùn)動(dòng)黏度 1 10 6m2 s 試問水在管中呈何種流態(tài) 若設(shè)管中的流體是油 流速不變而運(yùn)動(dòng)黏度 31 10 6m2 s 試問油在管中呈何種流態(tài) 解 水的流動(dòng)雷諾數(shù) 水在管中呈湍流狀態(tài) 油的流動(dòng)雷諾數(shù) 油在管中呈層流狀態(tài) 3 4粘性流體的流動(dòng)形態(tài) 44 3 5流體流動(dòng)的分類 1 流動(dòng)的分類 45 2 定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 根據(jù)流體的流動(dòng)參數(shù)是否隨時(shí)間而變化 可將流體的流動(dòng)分為定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 定常流動(dòng) 流動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的流動(dòng) 定常流動(dòng)的流場(chǎng)中 流體質(zhì)點(diǎn)任意參數(shù)僅是空間點(diǎn)坐標(biāo)x y z的函數(shù) 而與時(shí)間t無關(guān) B B x y z 流動(dòng)參數(shù)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)等于零 非定常流動(dòng) 運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù) 壓強(qiáng)和速度等 隨時(shí)間而變化的流動(dòng) B B x y z t 對(duì)于同一運(yùn)動(dòng)過程選擇不同的坐標(biāo)系 可以把非定常流動(dòng)轉(zhuǎn)化為定常流動(dòng) 46 3 2流體流動(dòng)的速度場(chǎng) 定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 47 3 一維 二維和三維流動(dòng) 3 5流體流動(dòng)的分