高級微觀經(jīng)濟學(xué)1-3章框架

第1-3章：消費者理論一、形式化表述分析消費者偏好的性質(zhì)（完備性，傳遞性，連續(xù)性，嚴(yán)格單調(diào)性，嚴(yán)格凸性等等）*二、效用函數(shù)存在性證明。請參考教材三、表述顯示性偏好弱公理及顯示性偏好強公理，并用于分析下面問題?？疾煲粋€對物品1和物品2有需求的消費者，當(dāng)物品價格為（2，4）時，其需求為（1，2）。當(dāng)價格為（6，3）時，其需求為（2，1），該消費者是否滿足顯示性偏好弱公理。如果（1.4，1）時，該消費者是否滿足顯示性偏好弱公理。解答： 消費束1偏好于消費束2 消費束2偏好于消費束1違反了顯示性偏好弱公理。如果（1.4，1）時： 消費束1偏好于消費束2 消費束1在價格2的情況下買不起。符合顯示性偏好弱公理。四、效用函數(shù)，求瓦爾拉斯需求函數(shù)解答：從效用函數(shù)可知商品2對消費者沒效用，因此最大化效用的結(jié)果是所有的收入都用于購買商品1，對商品2的需求為0，或者由,可得到實際上，這是一個邊角解，五、設(shè)效用函數(shù)，其中；這就是常（或不變）替代彈性（CES）效用函數(shù)。求：（1）瓦爾拉斯需求函數(shù)；（2）間接效用函數(shù)；（3）驗證間接效用函數(shù)關(guān)于價格與收入是零次齊次的；（4）驗證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的，關(guān)于價格p是遞減的；（5）驗證羅伊恒等式；（6）求?？怂剐枨蠛瘮?shù)；（7）求支出函數(shù)；（8）從它對應(yīng)的間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù)，及從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)。（9）驗證（對偶定理）（1）求瓦爾拉斯需求函數(shù)列出拉格朗日函數(shù)：三個一階條件：；整理，得：；求解，得：；上式就是消費者的瓦爾拉斯需求函數(shù)。如果定義，便可將瓦爾拉斯需求函數(shù)化簡為：；（2）求間接效用函數(shù)將上述兩個瓦爾拉斯需求函數(shù)代入直接效用函數(shù)，可得間接效用函數(shù)：（3）驗證間接效用函數(shù)關(guān)于價格和收入的零次齊次性； （4）驗證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的，關(guān)于價格p是遞減的，對它求關(guān)于收入與任何價格的微分，得：（5）驗證羅伊等式：間接效用函數(shù)對價格求導(dǎo)除以間接效用函數(shù)對收入求導(dǎo)，別忘了乘-1?。?）求解支出最小化問題其拉格朗日函數(shù)為：三個一階條件為：；通過消去，這些式子被簡化為：；令，可解出?？怂剐枨蠛瘮?shù)：（7）將?？怂剐枨蠛瘮?shù)代入目標(biāo)函數(shù)，可得支出函數(shù)：（8）從間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù)間接效用函數(shù)為：將替換為u，解出y；再將y替換為，得到支出函數(shù)為：從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)支出函數(shù)為：將u替換為，將替換為y，解出。（9）瓦爾拉斯需求函數(shù)為：，將y替換為支出函數(shù)得：六、效用函數(shù)，對其求1、瓦爾拉斯需求函數(shù)，間接效用函數(shù)；2、?？怂剐枨蠛瘮?shù)，支出函數(shù)。答案：1、，2、，七、給出瓦爾拉斯需求函數(shù)、?？怂剐枨蠛瘮?shù)、間接效用函數(shù)、支出函數(shù)形式化描述，說明其性質(zhì)，*并證明其中的凹凸性性質(zhì)。請參考教材*八、證明對偶原理中的1.2. 請參考教材*九、考慮將瓦爾拉斯預(yù)算集擴展為一個任意消費集。假定。證明：如果是一個凸集，則也是凸集。答案：設(shè)xB, xB,0,1.令x=x+(1-) x,因為x是一個凸集，所以xX.故px=(px)+ (1-)(px)w+ (1-)w=w因此，xB.十、效用函數(shù)，推導(dǎo)斯拉茨基方程，并分析替代效應(yīng)、收入效應(yīng)和總效應(yīng)。答案：推導(dǎo)斯拉茨基方程需要以下函數(shù)：（1）瓦爾拉斯需求函數(shù)：（過程省略）；（2）間接效用函數(shù)：（3）?？怂剐枨蠛瘮?shù)：；（4）驗證第一種商品的斯拉茨基方程：第一步：計算收入效應(yīng)，第二步：計算替代效應(yīng)（把u替換為間接效用函數(shù)），代入，得到：第三步：計算總效應(yīng)第四步：驗證總效應(yīng)=替代效應(yīng)+收入效應(yīng)，顯然十一、效用函數(shù)，求其貨幣度量的直接和間接效用函數(shù)。答案：十二、效用函數(shù)，當(dāng)，求其等價變化和補償變化。答案：為了計算等價變化和補償變化需要：間接效用函數(shù)：支出函數(shù)：1先求等價變化：“老價格，新效用，計算支出函數(shù)”老價格為：新效用為：則等價變化為2補償變化：“新價格，老效用，計算支出函數(shù)”老效用：補償變化為：十三、分析福利分析在稅收方面的應(yīng)用。請參考教材十四、，假定，對商品1開征消費稅0.25元。求開征消費稅的無謂損失（包括兩種情況）。解答：max s.t. 1求瓦爾拉斯需求函數(shù)（1）建立拉格朗日函數(shù)（2）求極值一階條件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得：（3）瓦爾拉斯需求函數(shù)分別將，代入預(yù)算約束(c)，有 2求間接效用函數(shù)將瓦爾拉斯需求函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，有3求支出函數(shù)由間接效用函數(shù)，求反函數(shù)得：4求?？怂剐枨蠛瘮?shù)法一：將支出函數(shù)代入瓦爾拉斯需求函數(shù)，得到 法二：根據(jù)謝伯特引理，對支出函數(shù)對價格求導(dǎo)，也可得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)。5求貨幣度量的效用函數(shù)（1）貨幣度量的直接效用函數(shù)由，有（2）貨幣度量的間接效用函數(shù)6下標(biāo)0表示征稅前，下標(biāo)1表示征收消費稅后。，等價變化分析：按照征稅前的價格計算的，消費者對征收消費稅前后所獲得效用的變化：商品稅與收