高考數(shù)學真題——坐標系與參數(shù)方程

2018年數(shù)學全國1卷在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的直角坐標方程；（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.【解析】（1）由，得的直角坐標方程為（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點學#科網(wǎng)當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點綜上，所求的方程為2017年數(shù)學全國1卷在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.（1）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為.當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.、2016年數(shù)學全國1卷在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a0）.在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：=4cos .（I）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（II）直線C3的極坐標方程為=0，其中0滿足tan 0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.【答案】（I）圓，；（II）1【解析】試題分析：（）把化為直角坐標方程，再化為極坐標方程；（）聯(lián)立極坐標方程進行求解.試題解析：解：（）消去參數(shù)得到的普通方程.是以為圓心，為半徑的圓.將代入的普通方程中，得到的極坐標方程為.（）曲線的公共點的極坐標滿足方程組若，由方程組得，由已知，可得，從而，解得（舍去），.時，極點也為的公共點，在上.所以.2013年數(shù)學全國1卷已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；（）求C1與C2交點的極坐標（）?！窘馕觥繉⑾?shù)，化為普通方程，即：，將代入得，的極坐標方程為；（）的普通方程為，由解得或，與的交點的極坐標分別為（），.2012年數(shù)學全國1卷已知曲線的參數(shù)方程式（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程式.正方形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的極坐標為.（）求點的直角坐標；（）設(shè)為上任意一點，求的取值范圍.【解析】（1）點的極坐標為 點的直角坐標為 （2）設(shè)；則 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的直角坐標方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率【解析】（1）曲線的直角坐標方程為當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關(guān)于的方程因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為，則又由得，故，于是直線的斜率在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程；（2）設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值（1）設(shè)P的極坐標為，M的極坐標為，由題設(shè)知由得的極坐標方程因此的直角坐標方程為（2）設(shè)點B的極坐標為,由題設(shè)知,于是OAB面積當時，S取得最大值所以O(shè)AB面積的最大值為在直線坐標系xoy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25. （I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（II）直線l的參數(shù)方程是x=tcos，y=tsin，（t為參數(shù)）,l與C交于A、B兩點，AB=10，求l的斜率。【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（I）利用，可得C的極坐標方程；（II）先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用弦長公式可得的斜率試題解析：（I）由可得的極坐標方程（II）在（I）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為由所對應(yīng)的極徑分別為將的極坐標方程代入的極坐標方程得于是由得，所以的斜率為或.考點：圓的極坐標方程與普通方程互化， 直線的參數(shù)方程，點到直線的距離公式.已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)M點到坐標原點的距離(02)當時，d0，故M的軌跡過坐標原點在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點（1）求的取值范圍；學.科網(wǎng)（2）求中點的軌跡的參數(shù)方程解析】（1）的直角坐標方程為當時，與交于兩點當時，記，則的方程為與交于兩點當且僅當，解得或，即或綜上，的取值范圍是（2）的參數(shù)方程為為參數(shù)，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，且，滿足于是，又點的坐標滿足所以點的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：(cos+sin)-=0，M為l3與C的交點，求M的極徑解：（1）消去參數(shù)t得l1的普通方程；消去參數(shù)m得l2的普通方程設(shè)P（x,y）,由題設(shè)得，消去k得.所以C的普通方程為（2）C的極坐標方程為聯(lián)立得.故，從而代入得，所以交點M的極徑為.在平面坐標系中xOy中，已知直線l的參考方程為（t為參數(shù)）,曲線C的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）。設(shè)p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值解：直線的普通方程為.因為點在曲線上，設(shè)，從而點到直線的的距離，當時，.因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長.【答案】【解析】試題分析：將參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)弦長公式或兩點間距離公式求弦長.試題解析：解：橢圓的普通方程為，將直線的參數(shù)方程，代入，得，即，解得，.所以. 已知圓C的極坐標方程為，求圓C的半徑.【答案】考點：圓的極坐標方程，