2018_19屆高中數(shù)學第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理學案蘇教版.docx

2.3.1平面向量基本定理學習目標1.理解平面向量基本定理的內容，了解平面向量的正交分解及向量的一組基底的含義.2.在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題知識點一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？答案能依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則思考2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？答案不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底知識點二向量的正交分解思考一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直作用于斜面的力F2.類比力的分解，平面內任一向量能否用互相垂直的兩向量表示？答案能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底梳理正交分解的含義一個平面向量用一組基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量a的分解當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解1平面內任意兩個向量都可以作為平面內所有向量的一組基底()提示只有不共線的兩個向量才可以作為基底2零向量可以作為基向量()提示由于0和任意向量共線，故不可作為基向量3平面向量基本定理中基底的選取是唯一的()提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個向量都可作為基底類型一對基底概念的理解例1如果e1，e2是平面內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是_(填序號)e1e2(，R)可以表示平面內的所有向量；對于平面內任一向量a，使ae1e2的實數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個實數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實數(shù)，使得e1e20，則0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正確的；對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于，當兩向量的系數(shù)均為零，即12120時，這樣的有無數(shù)個反思與感悟考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來跟蹤訓練1e1，e2是表示平面內所有向量的一組基底，則下列各組向量中，不能作為一組基底的序號是_e1e2，e13e2；3e12e2，4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；2e1e2，e1e2.答案解析由題意，知e1，e2不共線，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2與4e26e1共線，不能作基底中，2e1e22，2e1e2與e1e2共線，不能作基底類型二用基底表示向量例2如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點，若a，b，試以a，b為基底表示，.解四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他條件不變，設a，b，試以a，b為基底表示，.解取CF的中點G，連結EG.E，G分別為BC，CF的中點，b，ab.又，ab.又，bab.反思與感悟將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解跟蹤訓練2如圖所示，在AOB中，a，b，M，N分別是邊OA，OB上的點，且a，b，設與相交于點P，用基底a，b表示.解，.設m，n，則mm()am(1m)amb，nn()bn(1n)bna.a，b不共線，即ab.類型三平面向量基本定理的應用例3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若，求的值解方法一(基向量法)由，得()()，則0，得0，得0.又因為，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二(待定系數(shù)法)如圖所示，連結MN并延長交AB的延長線于點T，由已知易得ABAT，所以，即.因為T，M，N三點共線，所以1，所以.反思與感悟當直接利用基底表示向量比較困難時，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得跟蹤訓練3已知向量e1，e2是平面內所有向量的一組基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，試求，的值解將ae1e2與b3e12e2代入cab，得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因為c2e13e2，且向量e1，e2是平面內所有向量的一組基底，根據(jù)平面向量基本定理中的唯一性可得方程組解得1已知a，b，C為線段AO上距A較近的一個三等分點，D為線段CB上距C較近的一個三等分點，則_.(用a，b表示)答案ab2已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，則x_，y_.答案1512解析向量e1，e2不共線，解得3如圖所示，在正方形ABCD中，設a，b，c，則當以a，b為基底時，可表示為_，當以a，c為基底時，可表示為_答案ab2ac解析由平行四邊形法則可知，ab，以a，c為基底時將平移，使點B與點A重合，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得到4設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC，若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案解析()，又與不共線，1，2，12.1向量的正交分解是把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，是向量坐標表示的理論依據(jù)2對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底3準確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決一、填空題1已知e1，e2是兩個不共線向量，ak2e1e2與b2e13e2共線，則實數(shù)k_.答案2或2設e1，e2是平面內的一組基底，且ae12e2，be1e2，則e1e2_a_b.答案解析由方程組解得所以e1e2ab.3設點O是ABCD兩對角線的交點，下列向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是_與；與；與；與.答案解析尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線，而，故可作為基底4已知e1，e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作為平面內的一組基底，則實數(shù)的取值范圍為_答案(，4)(4，)解析若能作為平面內的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.5設向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實數(shù)y的值為_答案4解析因為3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因為e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，所以解得6已知非零向量，不共線，且2xy，若(R)，則x，y滿足的關系是_答案xy207若D點在三角形ABC的邊BC上，且4rs，則3rs的值為_答案解析4rs，()rs，r，s.3rs.8設e1與e2是兩個不共線向量，a3e14e2，b2e15e2，若實數(shù)，滿足ab5e1e2，則，的值分別為_答案1，1解析由題設ab(3e14e2)(2e15e2)(32)e1(45)e2.又ab5e1e2，由平面向量基本定理，知解得1，1.9在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若a，b，則_.答案ab解析如圖，設，則ba，故ab.()ab，由平面向量基本定理，得ab.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中，R，則_.答案解析設a，b，則ab，ab，又ab，()，即，.二、解答題11判斷下列命題的正誤，并說明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，則ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面內所有向量的一組基底，那么該平面內的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出來解(1)錯，當e1與e2共線時，結論不一定成立(2)正確，假設e1e2與e1e2共線，則存在實數(shù)，使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因為1與1不同時為0，所以e1與e2共線，這與e1，e2不共線矛盾所以e1e2與e1e2不共線，即它們可以作為基底，該平面內的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出來12.如圖，平面內有三個向量，.其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(，R)，求的值解如圖，以OA，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.13在梯形ABCD中，M，N分別是DA，BC的中點，且k.設e1，e2，以e1，e2為基底表示向量，.解方法一如圖所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如圖所示，過C作CEDA，交AB于點E，交MN于點F.同方法一可得ke2.則()e1(k1)e2，()e2.方法三如圖所示，連結MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.三、探究與拓展14A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D，若(R，R)，則的取值范圍是_答案(1，)解析設k(0k1.15設e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)