中考數(shù)學(xué)壓軸題的兩大解題思路圖與例題詳解

思路圖一：【說明】此思路圖主要是利用“點(diǎn)的坐標(biāo)”建立起“函數(shù)”與“圖形”之間的關(guān)系，通過運(yùn)用“點(diǎn)的坐標(biāo)”的代數(shù)意義和幾何意義，可以將“函數(shù)”條件下的問題轉(zhuǎn)化解決有關(guān)“圖形”的問題；同樣，也可以將“圖形”條件下的問題轉(zhuǎn)化解決有關(guān)“函數(shù)”的問題。壓軸題常用的數(shù)學(xué)知識與方法有：直角三角形勾股定理、三角函數(shù)定義、全等與相似三角形的判定與性質(zhì)、相關(guān)特殊平面圖形的判定與性質(zhì)；一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、二元一次方程組的解法、待定系數(shù)法等。1、解題方法：若已知函數(shù)表達(dá)式，先確定有關(guān)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為相應(yīng)線段的長度并計算有關(guān)線段的長度，最后聯(lián)系動點(diǎn)坐標(biāo)、面積公式或特殊圖形有關(guān)知識解答相關(guān)問題。2、常用技能：1、解題中需要用動點(diǎn)的坐標(biāo)時應(yīng)直接設(shè)出如：設(shè)動點(diǎn)P（m,n）,先不要考慮動點(diǎn)所在圖象的函數(shù)表達(dá)式。這樣便于分析問題和書寫過程，到最后確定關(guān)系后再考慮函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行字母間的轉(zhuǎn)化。2、解題中需要某點(diǎn)坐標(biāo)或需要利用某點(diǎn)坐標(biāo)時，通常過該點(diǎn)向x軸（或y軸）作垂線，進(jìn)而把點(diǎn)的坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為線段即圖形問題（如：涉及圖形面積時，通常先過不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)分別向x軸作垂線，把圖形面積分割為直角三角形和直角梯形的面積和差關(guān)系）。3、有關(guān)圖形計算的常用知識與方法：把相關(guān)條件化入某個直角三角形中，利用直角三角形相關(guān)定理和三角函數(shù)，計算相關(guān)邊與角進(jìn)而解決問題。這是關(guān)于圖形計算的核心方法；判斷兩個三角形的相似關(guān)系（一般情況下確定不變直角三角形與變化直角三角形的相似），利用三角形相似的性質(zhì)計算相關(guān)線段長度或周長進(jìn)而解決問題。這是圖形計算的疑難之處（若是直角三角形相似兩種方法都可以用時，建議選擇三角函數(shù)比較方便便于理解掌握）。4、在綜合題中，尋找兩個三角形相似常用的方法是：通過觀察圖形若發(fā)現(xiàn)有下列三個圖形時或存在共銳角的直角三角形，可思考三角形相似解決問題。5、在綜合題中，需要表示垂直x軸或垂直y軸相關(guān)線段的長度時，先確定或用未知系數(shù)表示出線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩端點(diǎn)的左右位置或上下位置分別將橫、縱坐標(biāo)作差即可。需要確定直角時，通常利用勾股定理的逆定理。6、在綜合題中，若需要確定線段長度或圖形面積等最值時，首先是列出線段長度或圖形面積與題中某變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)確定最值方向，最后利用配方法或頂點(diǎn)公式即可求出最值。關(guān)鍵：解決綜合性問題的關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)的靈活運(yùn)用，即可以根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式，也可以表示相關(guān)線段的長度；也可以設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)用題中的參數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化為相關(guān)直角三角形邊長或垂直于坐標(biāo)軸線段的長度，利用解三角形和相似三角形列出比例式求解方程的根。思路圖二：說明：此思路圖主要是考察學(xué)生動手操作能力與空間想象能力，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的綜合考評。其解題的方法程序?yàn)椋合戎匦庐媹D留下不變的形與量，再根據(jù)題目的要求觀察猜想可能的情況，進(jìn)而作出相關(guān)固定的圖形，確定需要完成的目標(biāo)和方向，最后回到思路一中進(jìn)行計算或證明。1、解題方法：1、若確定直角三角形或等腰三角形時，按各自的特性即“直角”和“等腰”分三種情況觀察猜想、討論確定其存在性，然后畫出相關(guān)圖形回思路（A）進(jìn)行即可。(看例1和例3)例1第3問分析：先作出符合題意的等腰三角形，即以點(diǎn)B為圓心、以BO長為半徑畫弧與直線AB相交于點(diǎn)C符合題意；再作線段OB的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)C也符合題意，然后根據(jù)（2）中點(diǎn)C的坐標(biāo)列方程計算即可。例3第2問分析：在操作演示過程中不難發(fā)現(xiàn)有三種情況，即當(dāng)EQ=CQ=t時，當(dāng)EC=CQ=t時，當(dāng)EC=EQ時，借助點(diǎn)E、Q的坐標(biāo)求出t的值。2、若確定特殊四邊形時，把已知線段分別作為“邊或?qū)蔷€”結(jié)合特殊四邊形的判定觀察猜想、討論確定其存在的所有情況，然后畫出相關(guān)圖形回思路（A）進(jìn)行即可。2、常用技能：1、作直角三角形：若已知一個定點(diǎn)和兩個動點(diǎn)時，可以利用直角三角板把直角頂點(diǎn)分別放在相應(yīng)定點(diǎn)或動點(diǎn)運(yùn)動的圖象上，旋轉(zhuǎn)三角板觀察到滿足條件時停止，然后畫出圖形求解；若已知兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)時，把兩定點(diǎn)確定的線段分別作為直角邊和斜邊進(jìn)行畫圖。當(dāng)已知線段為直角邊時，在兩端點(diǎn)處作垂直找交點(diǎn)即可；當(dāng)已知線段為斜邊時，以其為直徑畫圓找交點(diǎn)即可。2、作等腰三角形：若已知一個定點(diǎn)和兩個動點(diǎn)時，可以利用雙筆尖從動點(diǎn)起始位置開始，沿其運(yùn)動路徑操作演示變化過程（筆尖掛上皮筯更好觀察），觀察到有兩邊近似相等時停止畫出圖形求解。注意要演示到動點(diǎn)的終止位置。若已知兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)時，把兩定點(diǎn)確定的線段分別作為腰和底邊進(jìn)行畫圖。當(dāng)已知線段為腰時，分別以兩端點(diǎn)為圓心以已知線段長為半徑畫弧找交點(diǎn)即可；當(dāng)已知線段為底邊時，作其垂直平分線找交點(diǎn)即可。3、作平行四邊形：若已知兩定點(diǎn)和兩動點(diǎn)時，把兩定點(diǎn)確定的線段分別作為邊和對角線進(jìn)行畫圖。當(dāng)已知線段為邊時，利用直尺將其平行移動觀察對應(yīng)點(diǎn)到達(dá)滿足條件時停止畫圖求解；當(dāng)已知線段為對角線時，先用筆尖固定其中點(diǎn)，將直尺的邊緣靠在筆尖處旋轉(zhuǎn)，觀察直尺邊緣與動點(diǎn)所在圖象或圖形交點(diǎn)情況確定位置求解。若已知三定點(diǎn)和一動點(diǎn)時，把三定點(diǎn)確定的三角形的三邊分別作為所作平行四邊形的對角線，畫圖找出第四個點(diǎn)的位置即為動點(diǎn)的位置?；蚍謩e平移三邊確定第四個點(diǎn)的位置即為動點(diǎn)的位置。4、作矩形、菱形和正方形：作矩形或菱形時，通常先考慮作平行四邊形，再通過計算判斷是否有一個角是直角或有一組鄰邊相等即可?；虬凑兆髌叫兴倪呅蔚姆绞酵ㄟ^操作觀察確定一個角是直角或有一組鄰邊相等即可?；虬炎骶匦慰醋魇钱嬛苯侨切伟炎髁庑慰醋魇钱嫷妊切未_定三個點(diǎn)后第四個點(diǎn)隨之確定。作正方形時，可先考慮作矩形或菱形，再通過計算判斷是否有一組鄰邊或一個角是直角即可。或?qū)⒅苯侨前宓闹苯琼旤c(diǎn)放在定點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)三角板觀察尺子邊緣與圖象或圖形的交點(diǎn)符合題意時畫圖計算?；虬旬嬚叫慰醋鳛楫嫷妊苯侨?