新課標(biāo)解讀數(shù)與代數(shù).doc

;. 新課標(biāo)解讀之“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容分析與研討各位老師大家好！今天能夠作為小學(xué)暑期培訓(xùn)教師代表發(fā)言，我感到非常榮幸。我主要負(fù)責(zé)義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“數(shù)與代數(shù)”部分的解讀。下面我結(jié)合自己的教學(xué)實踐，與大家一起交流。也希望通過交流能夠引發(fā)大家更多的思考和共鳴。 我們都知道，數(shù)與代數(shù)部分是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占的比例是最大的，更重要的是這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容是整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)其他的學(xué)科的基礎(chǔ)，可以說它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主線?！皵?shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認(rèn)識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運(yùn)算，數(shù)量的估計；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算；方程等。 通過研究分析這部分的內(nèi)容,可以使我們了解小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的本質(zhì)與發(fā)展，從整體上把握相關(guān)概念和數(shù)的發(fā)展脈絡(luò)，促使數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。下面我圍繞以下幾個問題和大家交流一下：1、 小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)和舊課標(biāo)比較有何變化？2、 數(shù)與代數(shù)部分的核心概念。3、 如何建立“數(shù)”的概念？ 4、如何處理運(yùn)算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？ 5、如何落實新課標(biāo)對估算的要求？ 6、 如何依托現(xiàn)實情境幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見的量 問題一：小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)和舊課標(biāo)比較有何變化？標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)與代數(shù)這部分內(nèi)容作了較大地改革： 1重視數(shù)與符號意義以及對數(shù)的感受，體會數(shù)字用來表示和交流的作用。通過探索豐富的問題情景發(fā)展運(yùn)算的含義，在保持基本筆算訓(xùn)練的前提下，強(qiáng)調(diào)能夠根據(jù)題目條件尋求合理、簡捷的運(yùn)算途徑和運(yùn)算方法，加強(qiáng)估算，引進(jìn)計算器，鼓勵算法多樣化。 2對于應(yīng)用問題：選材強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實性、趣味性和可探索性；題材呈現(xiàn)形式多樣化（表格、圖形、漫畫、對話、文字等）；強(qiáng)調(diào)對信息材料的選擇與判斷（信息多余、信息不足）；解決的策略多樣化；問題答案可以不唯一；淡化人為編制的應(yīng)用題類型及其解題分析。 3使學(xué)生初步體會數(shù)學(xué)可以發(fā)現(xiàn)、描述、分析客觀世界中多種多樣的模式，把握事物的變化和事物間的關(guān)系；初步發(fā)展學(xué)生的符號意識，學(xué)會用符號表達(dá)現(xiàn)實問題中的一些基本關(guān)系，會初步進(jìn)行符號運(yùn)算。 4體會方程和函數(shù)是刻劃現(xiàn)實世界，有效地表示、處理、交流和傳遞信息的強(qiáng)有力工具，是探究事物發(fā)展規(guī)律，預(yù)測事物發(fā)展的重要手段，重視對簡單現(xiàn)實問題的建模過程，學(xué)會選擇有效的符號運(yùn)算程序和方法解決問題，重視近似解法特別是圖象解法。我們來看每個學(xué)段都有哪些變化： 第一學(xué)段: 增加“能進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（兩步）”增加了認(rèn)識小括號， 使一些目標(biāo)的表述更加準(zhǔn)確。例如將“能靈活運(yùn)用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷”，修改為“能運(yùn)用數(shù)及數(shù)的運(yùn)算解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的實際意義作出解釋”。 第二學(xué)段： 增加的內(nèi)容： 增加“經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達(dá)自己的想法”。 增加“了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；了解公因數(shù)和最大公因數(shù)”。 增加“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價數(shù)量、路程=速度時間，并能解決簡單的實際問題”。 增加“結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。 調(diào)整的內(nèi)容： 將“理解等式的性質(zhì)”，改為“了解等式的性質(zhì)” 將“會用等式的性質(zhì)解簡單的方程(如3x+25，2x-x3)”，改為“能解簡單的方程(如3x+25，2x-x3)”。 使一些目標(biāo)的表述更加準(zhǔn)確和完整。例如將“會用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”，改為“能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用”。 問題二：“數(shù)與代數(shù)部分的核心概念”解讀 此次標(biāo)準(zhǔn)提出了10個核心概念。這就是：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。把握好這些核心概念無論對于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。數(shù)與代數(shù)這一部分的重要核心概念包括：數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。下面我主要把數(shù)感、符號意識、推理能力、模型思想等四個核心概念與大家一起交流。 1、數(shù)感：數(shù)感就是對數(shù)的感悟。是關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計等方面的直觀感覺。建立“數(shù)感”有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情景中的數(shù)量關(guān)系。在以前的教學(xué)中，總感覺數(shù)感是直覺，是潛意識的，我們也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把握，找不到它的教學(xué)支點(diǎn)。那么如何在教學(xué)過程中幫助學(xué)生建立數(shù)感呢？下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勎业囊恍┯^點(diǎn)： 數(shù)感的培養(yǎng)分成四個步驟： 體驗生活,建立數(shù)感 在教學(xué)比的意義時。這節(jié)內(nèi)容看似簡單，其實要講透十分困難，這節(jié)課的一個重點(diǎn)就是讓學(xué)生體會比是一種數(shù)量關(guān)系。比如，甲數(shù)和乙數(shù)的比是3:2，那么甲是乙的幾分之幾？這類題目在畢業(yè)前總復(fù)習(xí)階段常有學(xué)生弄錯。我覺得可能主要的原因就是在比的概念的形成過程中，沒有很完整地讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，為以后的學(xué)習(xí)埋下隱患。甲數(shù)與乙數(shù)的比為3：2，它可以表示至少兩種數(shù)量關(guān)系：甲數(shù)是乙數(shù)的3/2，乙數(shù)是甲數(shù)的2/3。老師們看似簡單，其實對學(xué)生來說是很容易混淆的。我們必須讓學(xué)生明白知識“從哪里來”“到那里去”，比從哪里來？其實，比就是從生活中來，我們必須讓學(xué)生充分體驗生活中的比所表示的關(guān)系，才能讓學(xué)生真正理解知識，并應(yīng)用知識。比如剛才的例子換成（課件出示：3杯牛奶和2杯果汁）先讓學(xué)生用已有的分?jǐn)?shù)知識表示出牛奶與果汁的關(guān)系，再引入比來表示牛奶和果汁的關(guān)系，從而讓學(xué)生體會到比能簡潔地表示出分?jǐn)?shù)所能表示的兩個數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識到學(xué)習(xí)比的必要性。并能理解比所表示的這兩個數(shù)量關(guān)系，并很好地感悟比的意義，建立數(shù)感。當(dāng)學(xué)生建立數(shù)感后，遇到生活中的溶液配制問題就會迎刃而解，比如：米與水的比為：1:2，學(xué)生會想到水量是米量的2倍。從而在這些生活實例中體會了數(shù)的含義，初步建立了數(shù)感。 實踐操作,增強(qiáng)數(shù)感. 比如，教學(xué)“千克的初步認(rèn)識”時可安排學(xué)生完成以下操作活動 A、讓學(xué)生把大米裝在塑料袋里，并稱出1千克的大米，讓學(xué)生掂一掂，初步感受1千克有多重。 B、學(xué)生分別掂一掂自帶的物品（如重500克的袋裝鹽、重250克的味精）比較，并體會不同重量物品的感覺差異。 C、發(fā)給每組三個重量不一裝有大米的塑料袋（內(nèi)有一袋重為1千克），讓學(xué)生分別掂一掂，找出重1千克的袋子，看誰找得準(zhǔn)。 D、讓學(xué)生拿出若干的課本和練習(xí)本，先掂一掂，并能夠增減，估計一下是否有1千克，再用稱驗證，然后推測出2千克、5千克一共有多少本。 在實踐操作中體會1克的物體能吹得動，1千克的物體能掂得動，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)感。 合作學(xué)習(xí)，交流數(shù)感 我們知道，數(shù)學(xué)知識有一個從形象到表象，從表象到抽象，兩個過程。而這兩個過程，也是兩次提升，而在這個提升的過程中，合作交流起到了非常重要的作用。小組合作學(xué)習(xí)有利于學(xué)生人人參與學(xué)習(xí)全過程，它不僅能發(fā)掘個人內(nèi)在的潛能，還能培養(yǎng)集體合作精神，人人可以嘗試成功的喜悅。同學(xué)之間的語言最容易理解，數(shù)感也能得到進(jìn)一步加強(qiáng)。 比如在9加幾教學(xué)中， 在指導(dǎo)學(xué)生動手操作體會“湊十法“后，這時學(xué)生的思維停留在具體形象的層面，這時學(xué)生更多是對活動本身的喜歡，而不是對數(shù)學(xué)的熱愛，若你認(rèn)為活動經(jīng)驗的積累只停留這個層面，這樣的教學(xué)很容易流于熱鬧的形式，根本沒有深入到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 動手、動口、動腦都是活動經(jīng)驗積累的方式，只動手是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們應(yīng)在這個環(huán)節(jié)及時組織學(xué)生回顧、交流操作過程，讓學(xué)生通過“在頭腦里擺學(xué)具”，獲得完整的操作過程的表象。并試著讓學(xué)生把理解的表象的過程通過表現(xiàn)出來，也就是留下我們思考的痕跡。接著，結(jié)合算式引導(dǎo)學(xué)生利用表象思考9+4可以怎樣算，從而使學(xué)生明白：為了先湊成十，就把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，并在交流、對話中完成計算過程： 然后告訴學(xué)生：這種算法是將4分成1和3，先把9和1湊成10，再加剩下的3，這樣算就會很方便，這樣的方法就是“湊十法”。幫助學(xué)生根據(jù)動作過程抽象并認(rèn)識“湊十法”。這樣，學(xué)生的數(shù)感在討論和觀察中得到了進(jìn)一步的發(fā)展。 解決問題,提升數(shù)感. 當(dāng)學(xué)生把所學(xué)知識應(yīng)用到生活中去,才能更好地掌握知識,內(nèi)化知識. 估算是解決問題的一種重要方法，老師們應(yīng)該特別重視起來。比如學(xué)生在認(rèn)識10以內(nèi)數(shù)后，再認(rèn)識20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時，可以對具體實物通過估一估、數(shù)一數(shù)等活動幫助學(xué)生形成對十、百等數(shù)量大小的感覺，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計教室里的學(xué)生人數(shù)，估計一堆水果的數(shù)量等。 我們還可以就同一個數(shù)在實際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來加強(qiáng)對數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？類似這樣的問題可讓學(xué)生舉一反三。 總之,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過程是循序漸進(jìn)的.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感,可以使學(xué)生有更多的機(jī)會接觸社會,體驗現(xiàn)實,表達(dá)自己對問題的看法,用不同的方式思考和解決問題,這無疑會有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng).隨著數(shù)感的建立,發(fā)展和強(qiáng)化,學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會有所提高. 2、符號意識 所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號系統(tǒng)。此次標(biāo)準(zhǔn)修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”。感覺是有被動的意味，而意識是有主動實踐意義的，數(shù)學(xué)符號對于學(xué)習(xí)者來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意識”更準(zhǔn)確些。符號在數(shù)與代數(shù)部分中的應(yīng)用如下表。知識領(lǐng)域知識點(diǎn) 應(yīng)用舉例應(yīng)用拓展數(shù)與代數(shù) 數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：0-9中文數(shù)字：一-十 百分號：千分號： 用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算+、( ) （平方）（立方） 數(shù)的大小關(guān)系、”“3”和“3”“”“”表示兩數(shù)之間的關(guān)系。由此可見，符號意識的培養(yǎng)需要堅實的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，在教學(xué)中應(yīng)促進(jìn)學(xué)生在交流、分享的過程中積累經(jīng)驗，學(xué)習(xí)符號化的多種途徑，允許個性化地表示符號；逐步體會用數(shù)、形將實際問題“符號化”的優(yōu)越性，感受符號在理解和解決問題過程中的價值。 3、推理能力 標(biāo)準(zhǔn)中的推理能力主要是指：合情推理與演繹推理。 合情推理主要是指歸納推理、類比推理。歸納推理是從特殊到一般，類比推理是從特殊到特殊。 演繹推理的思維進(jìn)程是從一般到特殊。比如：在學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)四則運(yùn)算后，在進(jìn)行小數(shù)加法時，以0.50.4為例，學(xué)生很容易想到根據(jù)整數(shù)加法54=9，得到0.50.4=0.9，實際這是一種類比的方式進(jìn)行合情推理，當(dāng)然我們還必須用演繹推理來驗證。 孩子們想到的方法有：第一種方法是結(jié)合具體問題情境，得到0.5元0.4元=5角4角=9角=0.9元； 第二種方法是根據(jù)之前學(xué)習(xí)的小數(shù)單位，得到0.5是5個0.1,0.4是4個0.1，所以它們的和是9個0.1，即0.9； 從某種意義上來說，我們平時說的演繹推理在計算教學(xué)中就是學(xué)生理解算理的過程。 因此，在推理的過程中，我們一般是按照下面步驟：啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般，通過合情推理推測出結(jié)論。 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動過程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要。標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)合情推理能力，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了支撐。 怎樣培養(yǎng)學(xué)生的推理能力 通過數(shù)與代數(shù)式、方程與不等式的計算來培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。計算要依據(jù)一定的“規(guī)則” 公式、法則、推理等。計算過程就是演繹推理的過程。 通過探索規(guī)律來培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程就是培養(yǎng)學(xué)生歸納能力，形成合情推理能力的過程。 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力?！安僮鲗W(xué)具學(xué)數(shù)學(xué)”有利于學(xué)生有動作思維表象抽象思維。因此在教學(xué)中，要組織學(xué)生實踐操作，讓學(xué)生參與推理的全過程，引導(dǎo)學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，使學(xué)生從個別特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納。 通過日常生活培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力。除了學(xué)校的教育教學(xué)活動以外，還有很多活動也能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常需要作出判斷和推理。所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動中有“數(shù)學(xué)”，有“數(shù)學(xué)推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用如下表。 思想方法知識點(diǎn)應(yīng)用舉例不完全歸納法找規(guī)律 找數(shù)列和圖形的規(guī)律整數(shù)計算四則計算法則的總結(jié)運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比推理整數(shù)讀寫法億以內(nèi)及億以上的數(shù)的讀寫，與萬以內(nèi)數(shù)的讀寫相類比整數(shù)的運(yùn)算四則計算的法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相類比，多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)相類比，除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法相類比小數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律推廣到小數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)和比除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進(jìn)行類比問題解決數(shù)量關(guān)系相近的實際問題的類比，如分?jǐn)?shù)實際問題與百分?jǐn)?shù)實際問題的類比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比 4、模型思想 模型思想是此次修訂標(biāo)準(zhǔn)新增的核心概念。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個維度上概括了對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個重要思想。 建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天在其自身的舞臺上最精彩的表演。 下面我結(jié)合比例應(yīng)用題具體的教學(xué)案例說明數(shù)學(xué)建模的一般步驟： 首先，“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問題”。也就是發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。比如兩道比例的應(yīng)用題：（1）100千克黃豆可榨出13千克豆油，照這樣計算，要榨出130千克豆油需要多少千克黃豆？ （2）100千克黃豆可榨出13千克豆油，照這樣計算，130千克黃豆能榨出多少千克豆油？ 我們先看第一道題。經(jīng)過分析，讓學(xué)生明白：這里的黃豆、豆油是兩個基本的量，它們之間的關(guān)系通過出油率來體現(xiàn)的。因此，我們認(rèn)為這是兩道典型的出油率問題。這是從具體情境抽象數(shù)學(xué)問題的過程。 然后，“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。經(jīng)過第一步的分析，我們把問題聚焦在出油率上，因為它表示的是黃豆與豆油這兩個數(shù)量之間的關(guān)系。因此，我們得到數(shù)量關(guān)系為：豆油量=黃豆量出油率。 當(dāng)然，這道題的關(guān)鍵并不是讓學(xué)生這樣做：13100=13 13013=1000千克。而是，要提醒學(xué)生利用比例來解決這道題。 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生，經(jīng)過分析得到：本題中的黃豆和豆油都是變量，但是出油率是不變的。豆油量=黃豆量出油率 13 100 一定 130 ？ 一定 因此，豆油和黃豆成正比例。所以可以列方程得到: 解：設(shè)要榨出130千克豆油需要x千克黃豆。 13:100=130：x我們更想讓學(xué)生學(xué)會用第二種方法來解決這個問題。一個重要原因是：方法一實際上用了兩次數(shù)量關(guān)系，第一次是“豆油量=黃豆量出油率”，第二次是它的變形“黃豆量=豆油量出油率”，對于學(xué)生來說，這種數(shù)量關(guān)系的變形掌握起來，比較難。若第一題和第二題放在一起，很多學(xué)生就無所適從了。 這是建立模型的過程。這個模型有兩個方面的理解：數(shù)量關(guān)系中，兩個量是變化的，一個量沒有變，就可以用比例來解。這是一種內(nèi)容層面的模型 豆油量=黃豆量出油率 13 100 一定 ？ 130 一定這是方法層面的模型。 最后，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。經(jīng)過第二步，我們讓學(xué)生體會到，若在一個數(shù)量關(guān)系式中，有兩個量是變的，有一個量是不變的，我們都可以用比例，列方程來解決問題的。比如這兩道題的同時出現(xiàn)，若成功建立了此類比例應(yīng)用題的模型，那么這兩道題之間不是混淆的，而是融會貫通的。因為，第二題完全滿足我們剛剛建立的數(shù)學(xué)模型。原來的方程為：13:100=130：x 現(xiàn)在的方程為：13:100=x：130 問題三：如何建立“數(shù)”的概念一、課標(biāo)中“數(shù)的認(rèn)識”有何變化 數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的開始，理解數(shù)的意義伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個過程，從自然數(shù)逐步擴(kuò)展到有理數(shù)、實數(shù)，學(xué)生將不斷增加對數(shù)的理解和運(yùn)用。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識包括整數(shù)的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、負(fù)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的整除性相關(guān)的內(nèi)容、數(shù)的簡單應(yīng)用等。在教材的安排中， 整數(shù)的認(rèn)識中分為 10 以內(nèi)認(rèn)識、 20 以內(nèi)的認(rèn)識、 100 以內(nèi)的認(rèn)識、萬以內(nèi)的認(rèn)識、大數(shù)的認(rèn)識等；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識都為兩個階段、一個是初步的認(rèn)識，另一個分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義。整體來說新課標(biāo)中對數(shù)的認(rèn)識的要求變化和調(diào)整不大，主要有以下幾點(diǎn)，在教學(xué)中我們要加以注意。內(nèi)容 學(xué)段 標(biāo)準(zhǔn)要求的調(diào)整和變化 數(shù)的認(rèn)識 第 一 學(xué) 段 “ 知道用算盤可以表示多位數(shù) ” 。 “ 能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分?jǐn)?shù)的大小。 ” 第二 學(xué) 段 不再要求 “ 比較百分?jǐn)?shù)的大小 ” 和 “ 探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系 ” 在數(shù)的認(rèn)識中要關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用。其中我們要特別關(guān)注數(shù)的意義，也就是數(shù)的概念的建立。在教學(xué)中如何建立數(shù)的概念是教學(xué)的重點(diǎn)，面對數(shù)的認(rèn)識這一重要內(nèi)容，我們又該怎樣幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)概念，理解數(shù)的意義呢？ 二、在建立數(shù)概念中要注意的問題 （一） 在整數(shù)的認(rèn)識中要注意的問題 建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn) 。 理解數(shù)的意義一般有兩個角度 ，一是從數(shù)的組成去理解，通過組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實際來體會，通過在具體的現(xiàn)實情境中，理解數(shù)在生活實際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實際教學(xué)中我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來 ，這樣更有利于學(xué)生體會數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。在整數(shù)概念的建立過程中要注意以下幾點(diǎn)： 1. 依托多種形式建立整數(shù)數(shù)概念（ 1 ）在具體情境中理解數(shù)的意義學(xué)生對數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數(shù)。我們在教學(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實情景抽象出數(shù)的過程，例如從具體的 2 匹馬， 2 棵樹， 2 頭牛， 2 個人，抽象為 2 這個數(shù)。這時用一個數(shù)字也是一個特殊的符號來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過來， 2 可以表示任何具有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個人、 2 只小動物，隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的豐富含義，比如 計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)。 （ 2 ）用操作幫助學(xué)生具體感知自然數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)， 抽象離不開直觀的支撐和操作，例如：計數(shù)器、小棒、圖形等等，讓學(xué)生親自的數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學(xué)生數(shù)的過程也是一一對應(yīng)的過程，同時感受具體的數(shù)量。 （ 3 ）多種模型的表征在數(shù)的認(rèn)識過程中，我們要注意運(yùn)用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立數(shù)的概念，比如說：計數(shù)器、方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。例如，一位老師在教學(xué)萬以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識時，就運(yùn)用方塊模型幫助學(xué)生建立一萬的概念，理解數(shù)的意義。 通過方格模型的演示，讓學(xué)生體會 10 個一是十， 10 個十是一百， 10 個一百是一千， 10 個一千是一萬，通過幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時建立十個千就是一個萬，在學(xué)生的頭腦中建立一個清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有很大好處的。 2. 把握核心概念，重視數(shù)位和位置值的理解為了表示更大的數(shù)，數(shù)位概念的建立是十分重要的。數(shù)位的含意是不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒有數(shù)位的規(guī)定就沒有辦法表示更大的數(shù)。認(rèn)識個、十、百、千、萬等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個數(shù)字“ 3 ” ，在個位上表示 3 個一；在十位上表示 30 ，即 3 個十；在百位上表示 300 ，即 3 個百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬級的認(rèn)識，第二學(xué)段認(rèn)識萬以上的數(shù)，進(jìn)而整理十進(jìn)制計數(shù)法。我國的計數(shù)單位是每四位一級，萬以內(nèi)數(shù)的個位、十位、百位、千位為個級，學(xué)生理解各級上的每個數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。我國計數(shù)單位是四位一級，在國際上普遍使用的是三位一級，在學(xué)習(xí)時可以讓學(xué)生了解。（ 1 ）重視 10 的概念的建立 一個 十 和幾個 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎(chǔ) ， 這樣 10 個數(shù)字就可以表示出生活中無限多的物。教學(xué)中建立好概念非常重要。在教學(xué) 10 的認(rèn)識時要讓學(xué)生親自感受到由 9 再加 1 變成 10 的過程，可以通過數(shù)、擺、捆、撥、說等活動，讓學(xué)生感受 10 個一是 1 個十。在 11-20 各數(shù)的認(rèn)識中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)生體會滿十進(jìn)一的過程。 10的概念的建立是學(xué)生建立百、千、萬等概念的基礎(chǔ)。（ 2 ）重視數(shù)計數(shù)單位：為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法和位值制。要重視數(shù)計數(shù)單位逐步建立新的計數(shù)單位，10 個一是 1 個十，10 個十是一百，10 個百是一千，10 個千是一萬，10 個萬是十萬，10 個十萬是一百萬，10 個百萬是一千萬，從而引出新的計數(shù)單位，在一個單位、一個單位地數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會每數(shù)滿 10 個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進(jìn)率是十。 （ 3 ）重視數(shù)位順序表的使用隨著認(rèn)識的數(shù)越來越大教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識 20 以內(nèi)的數(shù)起就讓學(xué)生了解個位和十位，認(rèn)識百以內(nèi)數(shù)時補(bǔ)充認(rèn)識百位，在認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)的時候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識整數(shù)的最后一個單元里學(xué)生將認(rèn)識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展，先擴(kuò)展到萬級，再擴(kuò)展到億級。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀、寫數(shù)的方法。 3. 關(guān)注對大數(shù)的感受在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對大數(shù)進(jìn)行估計的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段情境的范圍有所擴(kuò)大，要求在現(xiàn)實情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同，都是希望通過具體的情境對大數(shù)加以感受，增加學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長？ 1200 名學(xué)生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具體的情境學(xué)生可以通過實際操作和觀察感受。有時還要加入想象的成份， 1200 名學(xué)生需要多大場地，許多學(xué)校可能沒有這么多人，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會占多大地方。 這個抽象過程在小學(xué)一年級開始認(rèn)識數(shù)時就強(qiáng)調(diào)，直到認(rèn)識較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認(rèn)識數(shù)的抽象表示，逐步建立數(shù)概念。 （二）在建立分?jǐn)?shù)概念中要注意的問題 教師在數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)中 普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是數(shù)認(rèn)識教學(xué)中的一個難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)起源于分，當(dāng)平均分出現(xiàn)不是整數(shù)結(jié)果的時候，逐漸有了分?jǐn)?shù)的概念。后來，在土地測量、產(chǎn)品分配等過程中 , 常常得到不是整數(shù)的結(jié)果，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個漫長的過程，分?jǐn)?shù)的真正來源在于自然數(shù)除法的推廣。 1. 加強(qiáng)對分?jǐn)?shù)意義的理解教師要了解分?jǐn)?shù)意義的多重多元性，才能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)的意義。 對分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注以下兩個主線和四個層面： 兩個主線即“比的線索”和“數(shù)的線索”?！氨取敝傅氖且徊糠峙c另一部分之間的關(guān)系；“數(shù)”指的是以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)，此時的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)的是一個結(jié)果。 分?jǐn)?shù)意義理解的四個層面“比率” 是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。其中部分與整體的關(guān)系更多地體現(xiàn)在真分?jǐn)?shù)的含義中。例如一個圓平均分成 4 份，每一份是整體的 1/4。例如小紅有 5 個蘋果，小麗有 3 個蘋果，小紅的蘋果是小麗的5/3倍。對比率維度的理解，可以幫助學(xué)生完成對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識的正確認(rèn)識。 “度量” 指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。例如 3/4里面有 3 個 1/4，就是用分?jǐn)?shù) 1/4作為單位度量 3 次的結(jié)果。對度量維度的研究，可以大大豐富學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。度量維度的體驗也可以直接作用于分?jǐn)?shù)加（減）法的學(xué)習(xí)中。 “運(yùn)作” 主要指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運(yùn)算的過程。例如，求 6 張紙的 2/3是多少張紙，學(xué)生會這樣理解：將6 張紙這個整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 3 2 ，也就是 6 2/3 。 “商” 這個維度主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識由“過程”凝聚到“對象”，即分?jǐn)?shù)也是一個數(shù)，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。 以上這四個維度沒有先后之分，主次之別，它們對學(xué)生多角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對于分?jǐn)?shù)內(nèi)涵豐富性認(rèn)識的建構(gòu)。 2利用多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義在小學(xué)階段教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如把一個月餅平均分為兩份，其中的一份是1/2個，把一張紙平均分為為四份其中的一份是1/4 ，這僅僅是從“面積模型”的角度來理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種“模型”。 （ 1 ）分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分整體”表示分?jǐn)?shù)兒童最早是通過“部分整體” 來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。 （ 2 ）分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集全集”來表示分?jǐn)?shù)這是“部分整體”的另外一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個整體”了，而是把幾個物體看作“ 1 個整體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，例如，把 4 個桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個占整體的 。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體 1 ”。 （ 3 ）分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)3. 把握好每一階段完成的任務(wù)在小學(xué)階段，對于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，教材一般“顯性”地分為兩個階段：第一學(xué)段分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識和第二階段分?jǐn)?shù)的意義。但實際上，基于對于分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵豐富性的理解，我們逐步認(rèn)識到，對于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，決不是一兩次教學(xué)所能全部承載和實現(xiàn)的，需要通過系列設(shè)計，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結(jié)合起來。我們應(yīng)該把握好每一階段的教學(xué)： 第一階段：認(rèn)識平均分。 第二階段：在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識教學(xué)中，幫助學(xué)生初步建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識，感受分?jǐn)?shù)。 第三階段：在分?jǐn)?shù)意義和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對于分?jǐn)?shù)理解的比率、度量的維度。 第四階段：在分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對于分?jǐn)?shù)理解的運(yùn)作、商的。第五階段：在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算及解決問題的教學(xué)中，鼓勵學(xué)生綜合運(yùn)用對于分?jǐn)?shù)意義理解 的多個維度。 必須指出的是，這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達(dá)成對某維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。這五個階段在完成對分?jǐn)?shù)意義方面各有側(cè)重，相互滲透，相互補(bǔ)充，共同幫助學(xué)生實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。 總之分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是一個循序漸進(jìn)的過程，需要系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，才能使學(xué)生真正理解熟練運(yùn)用。 （三）在建立小數(shù)數(shù)概念中要注意的問題 在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教材安排了小數(shù)的初步認(rèn)識。小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制記數(shù)法從整數(shù)（自然數(shù)）擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。由此可見小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系。 1. 利用知識遷移建立小數(shù)概念分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接顯著的影響 ， 后者的學(xué)習(xí)對前者也有促進(jìn)作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是學(xué)生已有的知識 ， 只要通過提問 ，引起學(xué)生的回憶和思考 ， 還可以寫成 0.8 米， 也就是同一對象的兩種不同形式 ， 使小數(shù)和分?jǐn)?shù)建立起直接的聯(lián)系 ， 使學(xué)生進(jìn)一步體會到 ： 十分之幾和一位小數(shù)，百分之幾和兩位小數(shù)之間的關(guān)系 。 再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數(shù)軸表示數(shù)，這是認(rèn)識整數(shù)、分?jǐn)?shù)時常用的模型 ， 可以將其拓展到小數(shù)。例如：把一個正方形平均分成 10 份 、100 份 ， 其中的若干份既可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示 ，這樣能夠幫助學(xué)生理解的小數(shù)意義，建立小數(shù)的模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 。 2. 溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系（ 1 ）溝通整數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。 整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)方法是一致的 ， 相鄰兩個計數(shù)單位間的進(jìn)率都是 10 ，小數(shù)的計數(shù)方法是整數(shù)計數(shù)方法的擴(kuò)展 ， 教學(xué)中要設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)將整數(shù)的計數(shù)方法遷移到小數(shù) ，為學(xué)生在計數(shù)的經(jīng)驗和方法上建立聯(lián)系 ， 不僅如此 ， 還要利用這些活動幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng)， 把原來認(rèn)識的整數(shù)數(shù)位表擴(kuò)充到小數(shù) 。 （ 2 ）溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系： 小數(shù)和分?jǐn)?shù)上的溝通，主要是意義上的溝通，使學(xué)生理解小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。（ 3 ）溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系。關(guān)于小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，在整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了小數(shù)， 小數(shù)的表征形式與整數(shù)相似，數(shù)位順序表得到補(bǔ)充，都是十進(jìn)制。如果以個位為基礎(chǔ)，向左擴(kuò)展就是十位、百位、千位；如果向右擴(kuò)展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。這樣“每相鄰的兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10 ”得到了全面的概括；小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。從這個意義上說，對小數(shù)的理解比對分?jǐn)?shù)的理解更容易一些。 3. 把握好小數(shù)認(rèn)識的兩個階段的教學(xué)我們知道關(guān)于小數(shù)的初步認(rèn)識可以從學(xué)生熟悉的計量單位：元、角、分和（米、分米、厘米）來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。并不涉及到小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位；到了第二學(xué)段學(xué)習(xí)小數(shù)的意義時，才抽象出小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位，以及完善數(shù)位順序表 兩個學(xué)段的重點(diǎn)不同，呈現(xiàn)的方式和學(xué)習(xí)的方式也應(yīng)當(dāng)有區(qū)別。要根據(jù)學(xué)生的實際選擇合適的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。 三、 建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議 （一）在數(shù)認(rèn)識中體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計多種活動培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 （二）整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與銜接。 （三）鼓勵學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用 。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機(jī)會鼓勵學(xué)生運(yùn)用數(shù)來表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。 問題四：如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系一、 課標(biāo)對“數(shù)的運(yùn)算”有什么新要求 新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜\(yùn)算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度?！边@一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算例、掌握算法的學(xué)習(xí)過程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的過程就是發(fā)展邏輯思維能力的過程，數(shù)的運(yùn)算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴(yán)密的邏輯性。每個概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容時都要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程，學(xué)生把這些應(yīng)用到實際中去，還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此，數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要教師在教學(xué)的過程中不僅僅關(guān)注結(jié)果、關(guān)注方法更要關(guān)注得到結(jié)果、得到方法的思維過程，這個思維過程就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過程。小學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，往往就是教學(xué)的難點(diǎn)所在。我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)借助生動有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 二、如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系 （一）借助生動有趣的童話情境，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 小學(xué)生，尤其是低年級的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè)生動有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。 在教學(xué) 20 以內(nèi)進(jìn)位加法一課中，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛的小動物上車的童話情境。首先通過讓學(xué)生在第一站幫助 9 個小動物上車，來復(fù)習(xí)十加幾的口算，學(xué)生的積極性一下子就被調(diào)動了起來，為他們能夠運(yùn)用學(xué)過的知識幫助小動物而感到高興。接下來再通過第二站幫助 5 個小動物上車，復(fù)習(xí)連加，并通過追問“有什么好方法能讓我們算得又對又快？”使學(xué)生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡便快捷，為理解“進(jìn)位加”的算理做好了孕伏。 5 個小動物上車后，與在第一站上車的 9 個小動物合起來，這時車上一共有多少個小動物？從而引出了 9+5= ？這一進(jìn)位加法。如何計算 9+5= ？學(xué)生結(jié)合生動、形象、具體的現(xiàn)實情境，很快就想到把 5 分成 1 和 4 ， 1 和 9 組成 10 ， 10 加 4 等于 14 。就這樣學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進(jìn)位加的算理與算法。 通過這節(jié)課我們看到，結(jié)合學(xué)生的年齡和心理需求以及他們的思維特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣、喜愛的童話情境，使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然的掌握了算法。 （二）借助直觀模型，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 在我們以往的教學(xué)中，不少老師或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索計算的過程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對豎式運(yùn)算的每個環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習(xí)得方法和技能，這顯然對學(xué)生的發(fā)展是不利的。在教學(xué)中教師要舍得拿出時間讓學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷，有機(jī)會感受，有機(jī)會理解，有機(jī)會創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了學(xué)生活動經(jīng)驗的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實踐中開動腦筋，深入挖掘，潛心感悟。 （三）借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 比如在小數(shù)加減法一課，可借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。例：0.8+3.74= ，這節(jié)課的重點(diǎn)是揭示的“小數(shù)點(diǎn)對齊”，為了讓學(xué)生有機(jī)會調(diào)動已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，我們可以設(shè)計一下教學(xué)程序：先讓每個學(xué)生自己試做，并說明自己這樣做的道理。 師：我們以前做過很多很多加減法題，無一例外的都是把末位的兩個數(shù)字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？ 生：整數(shù)的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。 師：你們雖然沒把末位對齊，但把誰對齊了？ 生：把小數(shù)點(diǎn)對齊，也就是相同數(shù)位對齊。 師：你看得很深、很準(zhǔn)，這樣做肯定有這樣做的道理?？蔀槭裁匆欢ㄒ?shù)點(diǎn)對齊、要相同數(shù)位對齊呢？ 生 1 ：如果不對齊算出來就錯了。 生 2 ：如果不把小數(shù)點(diǎn)對齊，而把末位對齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對齊了，相加之后肯定就不對了。 生 3 ：我舉個例子說吧，比如買兩樣?xùn)|西，一個是 0.8 元，另一個 3.74 元，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對了。 師：我們研究同一個問題時可以從不同角度研究，比如，可以講道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學(xué)想到了用我們都熟悉的“元角分”舉例子來解釋，簡單的事說明了深奧的道理，你真棒?？磥碇挥邢嗤嫈?shù)單位的數(shù)才能夠相加減。 小結(jié)：“小數(shù)點(diǎn)對齊”為了確?！跋嗤瑪?shù)位對齊”，而相同數(shù)位對齊背后的道理就是“相同計數(shù)單位的數(shù)直接相加減”。你們不僅找到了方法，還理解了方法背后的數(shù)學(xué)道理，真了不起。 這樣做引發(fā)學(xué)生對小數(shù)加減計算道理的深刻理解，即：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的計數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機(jī)的結(jié)合，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，才能夠更好地實現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！钡哪繕?biāo)。 三、 對“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)的建議 （一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系 。這個理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過現(xiàn)實情境、直觀的圖、學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)等幫助學(xué)生去理解。 （二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系 。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個性，可能這個學(xué)生適合這樣的方法，那個學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方法，讓學(xué)生去理解這個道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 （三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系 。它不是一種單純的、機(jī)械的、做題量的積累，在這個過程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，發(fā)展思維。 （四）注重計算與日常生活以及解決問題的聯(lián)系 。學(xué)習(xí)加減乘除的計算，最終要為解決問題服務(wù)，在解決問題過程中，讓學(xué)生體會到計算方法的實際價值。 問題五：如何落實新課標(biāo)對估算的要求一、課標(biāo)對“估算”有什么新要求 課標(biāo)修訂版中加強(qiáng)了對“估計”以及“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡單估算。如何理解“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡單的估算？ 例如：學(xué)校組織 987 名學(xué)生去公園游玩。如果公園的門票每張 8 元，帶 8000 元錢夠不夠？解決此題的適當(dāng)方法是把 987 人看成 1000 人，所以適當(dāng)?shù)膯挝皇恰?1000 人”。結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇堑谝粚W(xué)段估算的核心。在對大數(shù)進(jìn)行估計的時