7-8-1+幾何計數(一).題庫版.doc

.7-8-1幾何計數（一）教學目標1.掌握計數常用方法；2.熟記一些計數公式及其推導方法；3.根據不同題目靈活運用計數方法進行計數本講主要介紹了計數的常用方法枚舉法、標數法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數和用容斥原理的計數思想知識要點一、幾何計數在幾何圖形中，有許多有趣的計數問題，如計算線段的條數，滿足某種條件的三角形的個數，若干個圖分平面所成的區(qū)域數等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n條直線最多將平面分成 個部分；n個圓最多分平面的部分數為n(n-1)+2；n個三角形將平面最多分成3n(n-1)+2部分；n個四邊形將平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它計數問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關；組合問題與各事物所在的先后順序無關，只與這兩個組合中的元素有關二、幾何計數分類數線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)（或含有n個“基本線段”），那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數為n+(n-1)+2+1條數角：數角與數線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊數三角形：可用數線段的方法數如右圖所示的三角形（對應法），因為DE上有15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形數長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個例題精講模塊一、簡單的幾何計數【例 1】 七個同樣的圓如右圖放置，它有_條對稱軸【考點】簡單的幾何計數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，迎春杯，六年級，初賽，試題【解析】 如圖：6條【答案】條【例 2】 下面的表情圖片中：，沒有對稱軸的個數為（ ）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】選擇【關鍵詞】2009年，第14屆，華杯賽，初賽，第1題【解析】 通過觀察可知，第1，2，5這三張圖片是有對稱軸的，其他的5張圖片都沒有對稱軸，所以沒有對稱軸的個數為5，正確答案是C?！敬鸢浮俊眷柟獭?中心對稱圖形是：繞某一點旋轉180后能和原來的圖形重合的圖形，軸對稱圖形是：沿著一條直線對折后兩部分完全重合的圖形，圖的4個圖形中，既是中心對稱圖形又是的軸對稱圖形的有 個。 【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級，一試，第7題【解析】 共有3個，除第二個外其余都是?！敬鸢浮總€【例 3】 兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的“夾角”?，F平面上有若干條直線，它們兩兩相交，并且“夾角”只能是30，60或90。問：至多有多少條直線？【考點】簡單的幾何計數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2005年，第十屆，華杯賽，初賽，試題，第12題【解析】 至多有6條直線，如圖：【答案】條【例 4】 下圖是王超同學為環(huán)境保護專欄設計的一個報頭，用到基本的幾何圖形：線段、三角形、四邊形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是_ 。【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第9題【解析】 觀察圖形發(fā)現是：線段最多【答案】線段最多【例 5】 下面的和圖中共有_個正方形 【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在的圖中，邊長為1的正方形個；邊長為2的正方形個； 邊長為3的正方形個；邊長為4的正方形個；邊長為5的正方形有，總共有 (個)正方形在的圖中邊長為1的正方形個；邊長為2的正方形個； 邊長為3的正方形個；邊長為4的正方形個；總共有 (個)【答案】個【鞏固】 請看下圖，共有多少個正方形？ 【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】【解析】 假設最小的正方形邊長為1，則面積為1的正方形有9個；面積為4的正方形有4個；面積為16的正方形有1個因此共有9+4+1=14個【答案】個【鞏固】 如下圖是一個圍棋盤，它由橫豎各19條線組成問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的正方形？ 【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】第二屆，華杯賽，初賽，試題，第15題【解析】 我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點E作為代表點然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細觀察點E應在什么地方通過觀察，不難發(fā)現：（1）點E只能在棋盤右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點上（2）反過來，右下角正方形ABCD中的每一個格子點都可以作為小正方形的點E，也只能作為一個小正方形的點E這樣一來，就將“小正方形的個數”化為“正方形ABCD中的格子點個數”了很容易看出正方形ABCD中的格子點為1010100個答：共有100個?！敬鸢浮總€【例 6】 下圖中共有_個正方形【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 每個正方形中有：邊長為1的正方形有個；邊長為2的正方形有個； 邊長為3的正方形有個；邊長為4的正方形有個；總共有(個)正方形現有5個的正方形，它們重疊部分是4個的正方形因此，圖中正方形的個數是【答案】【例 7】 圖中有_個正方形【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 的正方形1個；的正方形4個；的正方形5個；22的正方形4個；11的正方形13個共27個【答案】【鞏固】 數一數：圖中共有_ 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第10題【解析】 按面積從小到大4+17+9+4+1=35個【答案】個【鞏固】 圖中共有 個正方形。【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，4年級，決賽，第7題【解析】 設最小正方形的邊長為，那么邊長為的正方形有個，邊長為的正方形有個，邊長為的正方形有個，邊長為的正方形有個，邊長為的正方形有個，邊長為的正方形有個，所以總共有（個）。【答案】個【例 8】 下圖中共有_個正方形。【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2006年，迎春杯，中年級，初試，4題【解析】 分類計算邊長為1的正方形有12個；長為2的正方形有1個；邊長為3的正方形有4個；邊長為4的有1個；邊長為1個對角線的有1個；邊長為2個對角線的有1個；所以一共有：（個）【答案】個【鞏固】 圖1中共有 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，五年級，一試，第12題【解析】 5+4+1+5+4+1=20【答案】個【例 9】 圖中共有多少個長方形？【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】解答【解析】 利用長方形的計數公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100【答案】【例 10】 數一數，下邊圖形中有 個平行四邊形【考點】簡單的幾何計數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2010年，迎春杯，四年級，初試，4題【解析】 本題是一道幾何計數問題,應不漏不重地按規(guī)律去數,每相鄰兩個三角形可組成一個平行四邊形,共計6個.【答案】個【例 11】 圖5中有 個平行四邊形?！究键c】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2004年，第2屆，希望杯，4年級，1試【解析】 12+8+3=23【答案】【例 12】 如右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個數與黑色小三角形的個數之比。【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】第三屆，華杯賽，初賽，試題，第10題【解析】 白色小三角形個數12621，黑色小三角形個數1十2728，所以它們的比，白色與黑色小三角形個數之比是.【答案】【例 13】 如圖，由小正方形構成的長方形網格中共有線段_條?！究键c】簡單的幾何計數 【難度】2 【題型】填空【關鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級，一試，第8題【解析】 橫的有5(1+2+3+4+5)=75條，豎的有6(1+2+3+4)=60條，一共135條【答案】條【例 14】 圖中線段的條數比三角形的個數多 。 【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，學而思杯，2年級，第6題【解析】 通過比較發(fā)現，線段的條數比三角形的個數多的正好是條斜邊?！敬鸢浮俊纠?15】 右圖中共有 個三角形?！究键c】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2007年，第12屆，華杯賽，五年級，決賽，第6題【解析】 由1個，2個，3個，4個，6個，8個小三角形組成的三角形分別有：8，7，4，3，1，1個，也即一共有8+7+4+3+2=24個。【答案】24【例 16】 如圖AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個數與三角形個數的差是多少?【考點】簡單的幾何計數 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖中共有三角形（1+2+3+4）4=40個梯形（1+2+3+4）（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20個【答案】個【例 17】 右邊三個圖中，都有一些三角形，在圖A中，有 _個；在圖B中，有_個；中圖C中，有_ 個。【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級，1試【解析】 圖A 5個; 圖B 8個; 圖C 5個【例 18】 請看下圖，共有多少個三角形？【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【解析】 獨立的三角形有7個，由4個三角形組成的三角形有1個，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9個三角形【答案】【例 19】 右圖中共有 個三角形【考點】簡單的幾何計數 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2010年，迎春杯，三年級，初賽，2題【解析】 分類枚舉得到：邊長是個單位長度的有個三角形； 邊長是個單位長度的有個三角形 邊長是個單位長度的有個三角形共有（個）【答案】個【例 20】 右圖中三角形共有 個【考點】簡單的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，迎春杯，五年級，初賽，4題【解析】 不可分割的三角形有個由個不可分割的三角形構成的三角形有個由個不可分割的三角形構成的三角形有個由個不可分割的三角形構成的三角形有個由個不可分割的三角形構成的三角形有個一共有三角形個【答案】個【鞏固】 數一數圖中有_個三角形【考點】簡單的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，3年級，初賽，第14題【解析】 分類枚舉，只由一個三角形構成的有6個，由兩個小三角形組合而成的三角形有3個。由三個小三角形組合而成的三角形有3個，所以一共有（個）?！敬鸢浮總€【鞏固】 數一數，圖中有_個三角形。【考點】簡單的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級，二試，第9題【解析】 10個【答案】個【例 21】 圖中共有 個三角形。【考點】簡單的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級，1試【解析】 從圖形所包含的小塊數的個數來數，包含一塊的三角形有10個，包含兩塊的三角形有10個，包含三塊的三角形有10個，包含五塊三角形有5個，所以共有35個?！敬鸢浮總€【例 22】 在圖中，一共有 10 個三角形， 40 條線段【考點】簡單的幾何計數 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2010年，學而思杯，2年級，第3題【解析】 一共有10個三角形五角星的每個角上分別有1個小三角