14第12章_模態(tài)分析及反應(yīng)譜分析_李永雙.doc

第12章 模態(tài)分析及反應(yīng)譜分析經(jīng)典物理學(xué)告訴我們，我們所在的物理世界是一個(gè)動(dòng)態(tài)的世界，靜止只是相對的，荷載作用過程及結(jié)構(gòu)的響應(yīng)本質(zhì)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)所需要解決的威脅結(jié)構(gòu)安全的主要因素地震作用和風(fēng)作用，也是典型的動(dòng)力作用，因此對于結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定水平動(dòng)力分析就是十分必要的。目前結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)領(lǐng)域的理論發(fā)展水平，也為我們提供了若干的結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力分析和精確動(dòng)力分析方法，本章和下一章的主要任務(wù)就是基于這些理論方法，闡述其在SAP2000中的實(shí)現(xiàn)和使用細(xì)節(jié)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的求解是基于結(jié)構(gòu)中質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程來完成的，基于經(jīng)典物理定律，方程（12.1）給出了一個(gè)多自由度集中質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程，它是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)：(12.1)其中，F(xiàn)I(t)是作用在節(jié)點(diǎn)質(zhì)量上的慣性力向量；FD(t)是粘滯阻尼力向量或者能量耗散力向量；FS(t)是結(jié)構(gòu)承擔(dān)的內(nèi)力向量；F(t)是外部施加的荷載向量。方程（12.1）是從經(jīng)典物理學(xué)概念出發(fā)，對于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，我們更為熟悉的是下面的二階線性微分方程組：(12.2)其中M是質(zhì)量矩陣，C是一個(gè)粘滯阻尼矩陣，而K是結(jié)構(gòu)單元系統(tǒng)的靜力剛度矩陣，時(shí)間相關(guān)的向量、和分別是節(jié)點(diǎn)絕對位移、速度和加速度。對于地震作用，基于方程(12.2)中外部荷載F(t)等于零，可以寫成：(12.3)其中是自由場地面位移的三個(gè)分量。結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的主要任務(wù)就是求解方程(12.2)，基于目前數(shù)值分析理論水平，它的求解并不是很復(fù)雜。對于結(jié)構(gòu)分析最主要的一個(gè)方面地震作用分析，則可以將任務(wù)具體到對于動(dòng)力平衡方程（12.3）的求解。有些不同的經(jīng)典方法可以用于求解方程(12.3)，而且這些方法基本上都可以使用SAP2000程序完成，本章將對其逐一進(jìn)行闡述。12.1 模態(tài)分析模態(tài)分析也被稱為振型疊加法動(dòng)力分析，是線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地震分析中的最常用而且最有效的方法。它最主要的優(yōu)勢在于在計(jì)算一組正交向量之后，可以將大型整體平衡方程組縮減為相對數(shù)量較少的解耦的二階微分方程，明顯減少了用于數(shù)值求解這些方程的計(jì)算時(shí)間。使用SAP2000程序?qū)τ诮Y(jié)構(gòu)進(jìn)行的模態(tài)分析將為我們提供結(jié)構(gòu)基本性能參數(shù)，幫助我們對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行定性的判斷，并提供相關(guān)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)需求。模態(tài)分析為結(jié)構(gòu)相關(guān)靜力分析提供相關(guān)結(jié)構(gòu)性能，包括結(jié)構(gòu)靜力地震作用分析和靜力風(fēng)荷載作用分析；模態(tài)分析還是其它動(dòng)力分析的基礎(chǔ)，包括反應(yīng)譜分析和時(shí)程分析。12.1.1 模態(tài)分析的基本理論1. 由動(dòng)力方程轉(zhuǎn)換為微分方程針對于地震作用的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程 (12.3) ，可以按下列方式重寫成一組Nd 二階微分方程：(12.4)其中fj是J空間向量，該向量不隨時(shí)間發(fā)生變化，gj(t)是第 j個(gè)與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)，一般情況下，在結(jié)構(gòu)分析過程中考慮的動(dòng)力荷載，包括地震作用、風(fēng)荷載等都可以使用這兩個(gè)量的乘積去表達(dá)。動(dòng)力自由度的數(shù)量等于系統(tǒng)中集中節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的數(shù)量。如果需要，我們可以對方程（12.4）進(jìn)行靜力凝聚以消除無質(zhì)量位移，它可以減少所要求解的動(dòng)力平衡方程的數(shù)量，提高計(jì)算效率。例如比較典型的，在建筑結(jié)構(gòu)分析過程中，我們經(jīng)常會(huì)指定水平的剛性樓板，每個(gè)剛性樓板只有表現(xiàn)在三個(gè)方向的一個(gè)集中質(zhì)量，對于自由度的減少是非常明顯的，因此這種方法經(jīng)常在建筑結(jié)構(gòu)分析程序中應(yīng)用。然而，靜力凝聚明顯增加了凝聚后剛度矩陣的密度和帶寬。并且對于比較復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力求解，靜力凝聚方法可能并不會(huì)很有效?；谝陨蟽牲c(diǎn)，并考慮SAP2000所針對的結(jié)構(gòu)體系類型大部分并非建筑結(jié)構(gòu)，因此，目前SAP2000不使用靜力凝聚。2. 模態(tài)方程的生成求解方程(12.4)的基本數(shù)學(xué)方法是分離變量法。為了完成變量分離，可以假設(shè)解的表達(dá)形式為：(12.5a)其中f 是一個(gè)NdN矩陣，該矩陣包含N個(gè)非時(shí)間函數(shù)的空間向量，而Y(t)是一個(gè)包含N個(gè)時(shí)間函數(shù)的向量。從方程 (12.5a)可以導(dǎo)出：(12.5b) (12.5c)在求解之前，要求空間函數(shù)滿足下列質(zhì)量和剛度正交性條件：fTMf=I，fTKf=2，其中I為一個(gè)對角單位矩陣，2是一個(gè)對角項(xiàng)為的對角矩陣。把方程(12.5a)至（12.5c）代入方程(12.4)，然后前乘fT，產(chǎn)生以下N個(gè)矩陣方程： (12.6)其中pj=fTf并定義為荷載函數(shù)j的模態(tài)參與系數(shù)。d為阻尼矩陣，一般情況下并不一定是對角矩陣。為了解耦模態(tài)方程，將模態(tài)阻尼的對角項(xiàng)定義為，形成假設(shè)在振型之間無耦合的典型阻尼。其中n定義為第n振型中的阻尼與該振型的臨界阻尼之比。于是方程（12.6）變?yōu)椋?12.7)上面方程（12.7）是一個(gè)非耦合的典型線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)方程，而對于三維地震運(yùn)動(dòng)，模態(tài)方程可以寫為：(12.8)其中三維模態(tài)參與系數(shù)或在此工況中的地震激勵(lì)系數(shù)，由定義，其中j是x、y或z，而n是振型數(shù)。3. 模態(tài)方程一般求解方法上面（12.7）式給出了非耦合的典型線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)方程，對于這一典型模態(tài)方程有許多不同方法可以進(jìn)行求解，比如我們比較熟悉的快速Fourier變換法或Duhamel積分?jǐn)?shù)值計(jì)算等等。不過SAP2000使用了分段多項(xiàng)式方法進(jìn)行模態(tài)方程的求解，這一方法是在較小時(shí)間增量內(nèi)使用多項(xiàng)式近似出來的荷載精確解，是計(jì)算機(jī)程序?qū)Υ朔匠踢M(jìn)行數(shù)值求解的最經(jīng)濟(jì)和最精確的方法。分段多項(xiàng)式方法的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它沒有穩(wěn)定性問題，也不會(huì)引入數(shù)值阻尼。因?yàn)槎鄶?shù)地震地面加速度在0.005s間隔內(nèi)被定義為線性的，所以對于所有頻率的該類型荷載而言，此方法是準(zhǔn)確的。SAP2000程序使用了一種非常簡單但又很強(qiáng)大的遞歸關(guān)系，使得多項(xiàng)式模擬精確解的方法計(jì)算效率有了很大的提高。由于此精確分段多項(xiàng)式技術(shù)方法速度快，因此它也可以用來以很少的計(jì)算時(shí)間建立精確地震反應(yīng)譜。應(yīng)用這一遞歸關(guān)系的分段多項(xiàng)式求解技術(shù)對于任意荷載、瞬時(shí)荷載、動(dòng)力荷載的初始條件都是十分有效的，因此也可以把這種求解法用于任意周期荷載。另外對于模態(tài)方程的求解，還需要指出模態(tài)截取的問題，在SAP2000模態(tài)分析工況定義時(shí)，需要我們確定模態(tài)分析過程中最大模態(tài)數(shù)目。由于地震運(yùn)動(dòng)只激勵(lì)結(jié)構(gòu)的較低頻率，所以，基本荷載數(shù)據(jù)不包含超過50Hz的信息。因此，忽略較高頻率和系統(tǒng)振型通常不會(huì)引入誤差。這也是我們在工程分析和設(shè)計(jì)中一直在使用的方法。12.1.2 SAP2000模態(tài)分析中質(zhì)量源定義從前面的論述中可以看到，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析是基于集中節(jié)點(diǎn)質(zhì)量的動(dòng)力響應(yīng)和基本平衡方程的，因此精確描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)質(zhì)量分布就成為結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)質(zhì)量首先包含構(gòu)件單元自身質(zhì)量在節(jié)點(diǎn)的集中，但不僅限于此，比如我們比較熟悉的填充墻，由于并非主要抗側(cè)力構(gòu)件，一般在計(jì)算模型中并不會(huì)輸入，但是在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中填充墻質(zhì)量卻是絕對不能夠忽略的。這時(shí)我們就需要將這部分質(zhì)量以另一種方式進(jìn)行考慮，這樣此類問題就可以使用質(zhì)量源的定義來完成。質(zhì)量源是SAP2000中一個(gè)非常重要的概念，它定義了結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析所需要考慮的結(jié)構(gòu)質(zhì)量的計(jì)算方式。它把程序中結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和自重這兩個(gè)概念加以清晰的區(qū)分并建立相互間可以進(jìn)行多重定義的聯(lián)系。在中國規(guī)范中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析以及結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算基于建筑的重力荷載代表值。重力荷載代表值實(shí)際上給出的是一個(gè)質(zhì)量計(jì)算方式，定義了求解地震作用時(shí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的計(jì)算方法，它同樣可以并且需要通過質(zhì)量源的定義實(shí)現(xiàn)。因此在使用中國規(guī)范進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)時(shí)需要特別注意質(zhì)量源的概念。1. SAP2000中的質(zhì)量和重量在SAP2000中結(jié)構(gòu)構(gòu)件自身的質(zhì)量和重量計(jì)算分別基于材料定義中密度和重度兩個(gè)參數(shù)。默認(rèn)情況下，SAP2000自動(dòng)計(jì)算所有構(gòu)件的重量，如圖12-1的定義靜載工況名對話框所示。在定義靜載工況名對話框中DEAD類型荷載為結(jié)構(gòu)恒荷載，自重乘數(shù)將一定比例的結(jié)構(gòu)自重作為DEAD工況的荷載施加在結(jié)構(gòu)上。當(dāng)自重乘數(shù)定義為1.0（默認(rèn)值）時(shí)，SAP2000將全部自重轉(zhuǎn)換為DEAD工況的荷載。當(dāng)自重乘數(shù)定義為0時(shí)，結(jié)構(gòu)將不計(jì)算結(jié)構(gòu)自重產(chǎn)生的恒荷載。將自重乘數(shù)定義為小于1的正數(shù)，表示將自重的一部分添加到DEAD工況的荷載中。圖12-1 靜荷載工況定義對話框SAP2000中的質(zhì)量可以由幾個(gè)方面組成。它包括了結(jié)構(gòu)構(gòu)件的質(zhì)量這一基本的參量（它是基于結(jié)構(gòu)構(gòu)件材料的密度信息，并且與結(jié)構(gòu)構(gòu)件自重相對應(yīng)），還包括荷載通過重力加速度關(guān)系轉(zhuǎn)化的質(zhì)量，以及通過點(diǎn)、線或面指定的附加質(zhì)量信息。前面所談到的填充墻質(zhì)量就可以通過由其自重產(chǎn)生施加在結(jié)構(gòu)上荷載轉(zhuǎn)化為質(zhì)量，其中使用的重力加速度值是程序默認(rèn)的9.81m/s2，這一參量是不能被修改的。附加質(zhì)量與結(jié)構(gòu)自身質(zhì)量不同，它僅增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量，不產(chǎn)生自重而增加重力荷載，因此對結(jié)構(gòu)的靜力分析不會(huì)產(chǎn)生影響。由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的需求，在SAP2000中，可以根據(jù)不同方式定義不同的質(zhì)量信息。2. 質(zhì)量源的定義在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析之前，必須要先定義質(zhì)量源參數(shù)。SAP2000給出了質(zhì)量源的三種定義方式。定義質(zhì)量源時(shí)，需要點(diǎn)擊定義質(zhì)量源命令，彈出定義質(zhì)量源對話框（圖12-2）。圖12-2 質(zhì)量源定義對話框來自對象和附加質(zhì)量這是默認(rèn)的質(zhì)量源選項(xiàng)。采用這種方法時(shí)，所有外加的荷載不會(huì)轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)質(zhì)量。此時(shí)，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量由結(jié)構(gòu)的構(gòu)件體積乘以構(gòu)件材料的密度（材料屬性數(shù)據(jù)對話框中的密度一項(xiàng)）產(chǎn)生。利用這一選項(xiàng)，不能直接滿足中國規(guī)范要求的重力荷載代表值要求。來自荷載此方法定義的質(zhì)量來源于荷載，可以在此處定義抗震規(guī)范的重力荷載代表值組合方式，然后將其按比例轉(zhuǎn)化為質(zhì)量信息。按抗震規(guī)范第5.1.3條的規(guī)定，自重、附加恒荷載的系數(shù)為1.0，活荷載的系數(shù)是0.5。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量等于組合后求得的荷載除以重力加速度g。注意，此方法的概念是將荷載轉(zhuǎn)化為質(zhì)量。所以它的準(zhǔn)確度是基于參與荷載的準(zhǔn)確度，如果施加的荷載有誤，則通過這種方法求得的結(jié)構(gòu)質(zhì)量也是錯(cuò)誤的。來自對象,附加質(zhì)量以及荷載此方法計(jì)算的質(zhì)量是按第一、二種方法求得的質(zhì)量之和。在實(shí)際工程中采用此方法時(shí)，為了構(gòu)建中國規(guī)范要求的重力荷載代表值，在定義荷載的質(zhì)量乘數(shù)一欄中一般只需要定義可變荷載的質(zhì)量乘數(shù)，質(zhì)量乘數(shù)值為抗震規(guī)范表5.1.3中的組合系數(shù)，而不應(yīng)包括恒荷載。如果用戶使用此方法時(shí)在定義荷載的質(zhì)量乘數(shù)一欄指定了恒荷載，結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量將被計(jì)算兩遍而出現(xiàn)錯(cuò)誤。12.1.3 特征向量法和Ritz向量法前面我們所討論的模態(tài)分析方法是非耦合線性結(jié)構(gòu)或已經(jīng)解耦的線性結(jié)構(gòu)模態(tài)分析的基本方法，因此對于耦合線性結(jié)構(gòu)，必須先要對結(jié)構(gòu)采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解耦。使用適當(dāng)?shù)姆椒▽Y(jié)構(gòu)模態(tài)方程進(jìn)行解耦也是動(dòng)力分析重要的一個(gè)部分，在早期地震工程學(xué)中，動(dòng)力分析的Rayleigh-Ritz方法廣泛地用于計(jì)算近似解。隨著高速計(jì)算機(jī)的發(fā)展，精確特征向量取代了Ritz向量并成為地震分析基礎(chǔ)。現(xiàn)在SAP2000版本中除了提供精確的特征向量法分析外，還提供了與荷載相關(guān)的Ritz向量（LDR）分析法，LDR向量能用于線性和非線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析,與精確特征向量法相比，新的修正Ritz方法用更少的計(jì)算工作量可產(chǎn)生更精確的結(jié)果。除此以外，Ritz向量法自動(dòng)包含了靜態(tài)凝聚數(shù)字技術(shù)、Guyuan消減和對于較高振型截取的靜態(tài)修正等優(yōu)點(diǎn)。下面我們將從經(jīng)典模態(tài)方程出發(fā)，簡單闡述一下兩種模態(tài)分析方法的基本理論。1. 特征向量法為了解耦（12.3）式的動(dòng)力平衡方程，需要計(jì)算方程特征向量與特征值。特征向量分析方法確定系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的振型形狀和頻率。它是對一般特征值問題的求解，典型的無阻尼自由振動(dòng)的平衡方程由下式給出： (12.9)其中，K為剛度矩陣；M為對角質(zhì)量矩陣；=2，是特征值的對角矩陣，為圓頻率，是相應(yīng)的特征向量（即振型形狀）。特征向量分析方法中使用的剛度矩陣與靜力分析的剛度矩陣是一致的?？梢允褂眯辛惺剿阉鞣?、逆迭代法、子空間迭代法等方法進(jìn)行（12.9）平衡方程的特征向量分析。目前SAP2000程序使用了相對更加穩(wěn)定的子空間迭代法進(jìn)行特征向量分析。程序所使用的子空間塊迭代算法可以參見中國建筑工業(yè)出版社出版的Wilson的著作結(jié)構(gòu)靜力與動(dòng)力分析，由于本書篇幅所限，在此不再過多描述。2. Ritz向量法改進(jìn)的Ritz向量法（簡稱LDR方法），即與荷載相關(guān)的Ritz向量法的物理基礎(chǔ)是認(rèn)可結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)是空間荷載分布的函數(shù)。彈性結(jié)構(gòu)的無阻尼動(dòng)態(tài)平衡方程可寫成以下形式：(12.10)對于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析所經(jīng)常考慮的地震作用或風(fēng)荷載工況，與我們前面所談到的相同，方程（12.10）中作用在結(jié)構(gòu)上的與時(shí)間相關(guān)的荷載R(t)可寫作： (12.11)方程中獨(dú)立的荷載模式F不是時(shí)間的函數(shù)。在地震作用分析時(shí)，這些荷載模式是結(jié)構(gòu)方向的質(zhì)量分布函數(shù)；在風(fēng)荷載工況中，順風(fēng)平均風(fēng)壓是這些向量之一。使用相關(guān)數(shù)值技術(shù)，時(shí)間函數(shù)G(t)總能展開為正弦和余弦函數(shù)的Fourier級數(shù)。因此，如果忽略阻尼，則要求解的典型動(dòng)態(tài)平衡方程為以下形式：(12.12)因此，典型荷載頻率的精確動(dòng)態(tài)響應(yīng)為以下形式：(12.13)由于方程（12.13）中荷載頻率是未知的，因此不能對該方程進(jìn)行直接求解。但是基于相關(guān)推導(dǎo)，可以得到下列相關(guān)遞歸方程：(12.14)SAP2000和ETABS都使用了LDR方法的。LDR方法考慮了動(dòng)力荷載的空間分布，因此可以得到更精確的結(jié)果。在分析過程中，第一個(gè)向量塊是來自于結(jié)構(gòu)上荷載模式的靜態(tài)響應(yīng)，這就是我們在Ritz向量法定義時(shí)需要指定初始向量的原因，也就是說當(dāng)我們定義了初始向量后，第一個(gè)向量塊的靜態(tài)響應(yīng)就來源于該初始荷載向量。另外，對于只有在質(zhì)量自由度狀態(tài)下才施加荷載的工況，LDR向量總是精確特征向量的線性組合。對于初始向量的選擇，一般可以使用動(dòng)力荷載的空間分布向量作為一個(gè)初始荷載向量。程序允許在三個(gè)自由方向的加速度、靜力荷載工況和內(nèi)嵌非線性變形荷載中選擇初始向量，可以指定任意數(shù)量的初始向量。其中內(nèi)嵌非線性變形荷載只有在結(jié)構(gòu)分析所進(jìn)行的振型非線性時(shí)程分析是基于模態(tài)分析工況的情況下才是需要的，這時(shí)在荷載類型中添加連接荷載，在荷載名中選擇All選項(xiàng)。對于反應(yīng)譜分析必須在初始向量中添加質(zhì)量自由度方向的加速度荷載。對于時(shí)程分析，在每個(gè)荷載工況或任意時(shí)程工況使用的加速度荷載中，一個(gè)初始向量是必須的。3. 特征向量法和Ritz向量法的對比SAP2000提供了特征向量法和Ritz向量法兩種模態(tài)解耦的基本方法，原因是對于大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，求解自由振動(dòng)振型和頻率的特征值問題可能需要大量的計(jì)算工作，這時(shí)單純的特征向量分析就可能變得比較困難，并且在自由振動(dòng)振型的計(jì)算中，完全忽視荷載的空間分布。由于計(jì)算的許多振型對荷載是正交的并且不參與動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此耗費(fèi)大量精力所得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)振型并不一定能夠提高計(jì)算的精度，甚至有些時(shí)候沒有任何幫助，這是特征向量法分析所存在的主要問題。但是相比而言的Ritz向量法，由于所有求得的特征向量都是與荷載相關(guān)的，因此避免了不參與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的對于結(jié)構(gòu)精度沒有幫助的振型的計(jì)算，將有限的計(jì)算時(shí)間全部用于對于結(jié)果精度有增進(jìn)的振型計(jì)算中。換句話說，在考慮相同的計(jì)算振型數(shù)目的前提下，使用LDR方法將得到更精確的結(jié)果，也可以得到規(guī)范所要求的更高的結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)。除此以外，如果在無質(zhì)量自由度狀態(tài)下施加動(dòng)力荷載，那么在振型疊加分析中即使使用精確的振型，也不會(huì)收斂到精確解，并且在施加荷載處附近的位移和應(yīng)力會(huì)有明顯誤差。因此，如果把精確特征向量用于這樣的問題，就沒有必要應(yīng)用本應(yīng)需要的“靜態(tài)校正法”。有可能用最少的計(jì)算工作量來計(jì)算一組剛度和質(zhì)量正交的Ritz向量。對荷載的任何空間分布而言，這都會(huì)收斂到精確解。我們都知道對于特征向量法分析，因?yàn)楸仨氈付ㄕ裥蛿?shù)目的截?cái)辔恢?，因此?huì)帶來高階振型的截?cái)嗾`差，這對于對高階振型敏感的結(jié)構(gòu)的結(jié)果精度影響是非常大的。相比較因?yàn)槌跏枷蛄考恕办o態(tài)響應(yīng)”，LDR方法避免了高階振型截取所帶來的誤差，可以證明，基于唯一一組荷載相關(guān)向量的動(dòng)力分析，可產(chǎn)生比使用相同數(shù)量的精確振型法更精確的結(jié)果。12.1.4 質(zhì)量參與系數(shù)和荷載參與系數(shù)SAP2000程序分別輸出了模態(tài)分析中結(jié)構(gòu)的質(zhì)量參與系數(shù)、靜荷載參與系數(shù)和動(dòng)荷載參與系數(shù)，它們總體反映了模態(tài)分析截?cái)喔唠A振型與所有振型精確分析所存在的某一類型的誤差，這一點(diǎn)我們在前面也已經(jīng)談到了。我國2002版結(jié)構(gòu)規(guī)范中存在對于結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中所考慮振型質(zhì)量累計(jì)參與系數(shù)的要求，高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ3-2002）中5.1.13條第二款規(guī)定對于B級高度高層建筑和復(fù)雜高層建筑，“計(jì)算振型數(shù)應(yīng)使振型參與質(zhì)量不小于總質(zhì)量的90%”。另外為了控制結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的潛在破壞能力，規(guī)范規(guī)定了結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的上限，高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（JGJ3-2002）中4.3.5條規(guī)定：“結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)為主的第一周期Tt與平動(dòng)為主的第一周期T1之比，A級高度建筑不應(yīng)大于0.9；B級高度的建筑、混合結(jié)構(gòu)高層建筑及復(fù)雜高層建筑不應(yīng)大于0.85”。為了滿足這一條，首先需要判斷結(jié)構(gòu)的第一平動(dòng)周期和第一扭轉(zhuǎn)周期，該判斷也需要使用本節(jié)所提到的質(zhì)量參與系數(shù)的概念。SAP2000針對于三個(gè)自由方向的加速度、所有靜荷載情況和所有非線性變形荷載輸出結(jié)構(gòu)的靜荷載和動(dòng)荷載的模態(tài)分析參與系數(shù)，其中這兩個(gè)系數(shù)的主要意義在于使用模態(tài)積分時(shí)程分析相關(guān)時(shí)程模態(tài)所考慮的振型數(shù)目是否足夠。1. 質(zhì)量參與系數(shù)SAP2000對于質(zhì)量參與系數(shù)的計(jì)算是基于一個(gè)特定方向上的單位基底加速度以及由于該作用引起的基底剪力來進(jìn)行的。此種工況的穩(wěn)態(tài)解不包含阻尼或彈性力，因此對于x方向上的單位基底加速度，模態(tài)響應(yīng)方程可以寫為：(12.15)x方向的總基底抵抗剪力（包括N個(gè)振型）是：(12.16)對于在任何方向的單位基底加速度，精確的基底抵抗剪力必須等于該方向上的所有質(zhì)量分量之和。因此，質(zhì)量參與系數(shù)定義為該參與質(zhì)量除以該方向上的總質(zhì)量。即：(12.17a)(12.17b)(12.17c)振型有效質(zhì)量系數(shù)提供了振型對于六個(gè)整體坐標(biāo)方向中每一個(gè)方向加速度荷載響應(yīng)的計(jì)算重要性的一種量度。因此它對于確定反應(yīng)譜分析和地震時(shí)程分析的準(zhǔn)確性非常有用。振型有效質(zhì)量系數(shù)不提供任何除加速度荷載以外的其他荷載時(shí)程分析準(zhǔn)確性的信息。SAP2000質(zhì)量參與系數(shù)的輸出項(xiàng)目及其意義見表12-1。表12-1 質(zhì)量參與系數(shù)輸出項(xiàng)意義序號輸出項(xiàng)目單位說明1OutputCase文本輸出工況名2StepType文本輸出步類型，對于模態(tài)分析工況為Mode，即模態(tài)分析3StepNum無輸出步，對于模態(tài)分析工況，為振型排序號4Period秒該振型的周期值5UX、UY、UZ無該振型，X、Y和Z三個(gè)方向的質(zhì)量參與比，此時(shí)全部質(zhì)量為16SumUX、SumUY、SumUZ無X、Y和Z三個(gè)方向的質(zhì)量參與比振型順序累加值7RX、RY、RZ無該振型，繞X、Y和Z三個(gè)軸的質(zhì)量參與比，此時(shí)全部質(zhì)量為18SumRX、SumRY、SumRZ無繞X、Y和Z三個(gè)軸的質(zhì)量參與比振型順序累加值如果模態(tài)分析工況考慮所有振型，則結(jié)構(gòu)在每個(gè)自由度方向上結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)的累計(jì)值為100%。對于高規(guī)中要求的結(jié)構(gòu)模態(tài)分析截取所需要達(dá)到的累積質(zhì)量90%的參與，我們主要是通過查看最后一個(gè)振型輸出項(xiàng)目中第六項(xiàng)進(jìn)行控制的，該項(xiàng)輸出給出了X、Y和Z三個(gè)方向各振型質(zhì)量參與系數(shù)的累加值。因?yàn)閷τ诘卣鹱饔煤惋L(fēng)荷載作用等我們關(guān)心的主要是水平方向的響應(yīng)，因此，如果SumUX和SumUY在最后一個(gè)振型累加值大于0.9，就說明該模態(tài)分析工況中振型截取數(shù)量是滿足規(guī)范要求的。通過程序所輸出的質(zhì)量參與系數(shù)，我們可以判斷結(jié)構(gòu)每一個(gè)模態(tài)屬于某一方向的平動(dòng)振型、還是扭轉(zhuǎn)振型，確定第一平動(dòng)振型和第一扭轉(zhuǎn)振型后就可以判斷是否滿足規(guī)范要求的第一扭轉(zhuǎn)周期與第一平動(dòng)周期的限值要求。對于判斷某一個(gè)振型是平動(dòng)振型還是扭轉(zhuǎn)振型,主要是通過查看第五輸出項(xiàng)中的UX和UY以及第七輸出項(xiàng)中RZ這三項(xiàng)的系數(shù)對比關(guān)系來確定的，如果RZ小于UX和UY的和，則說明為平動(dòng)振型，反之則說明為扭轉(zhuǎn)振型。如果確定為平動(dòng)振型后，通過比較UX和UY的系數(shù)對比關(guān)系，可以確定是哪個(gè)方向的平動(dòng)為主，哪個(gè)方向的質(zhì)量參與系數(shù)大，就說明該振型是哪個(gè)方向的平動(dòng)振型。對于一般平面比較規(guī)則的結(jié)構(gòu)，前兩個(gè)振型一般為兩個(gè)主方向的平動(dòng)振型，第三個(gè)振型為扭轉(zhuǎn)振型，而且此時(shí)質(zhì)量參與系數(shù)對比關(guān)系非常清晰，這時(shí)就比較容易判斷振型的屬性。但是實(shí)際結(jié)構(gòu)可能是比較復(fù)雜的，我們對于結(jié)構(gòu)平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)是從理倫上進(jìn)行區(qū)分的，但實(shí)際結(jié)構(gòu)可能是耦聯(lián)效應(yīng)很強(qiáng)的，一個(gè)振型可能在平動(dòng)的基礎(chǔ)上帶有一定的扭轉(zhuǎn)，這時(shí)UX、UY和RZ之間可能就相差不大，這時(shí)我們在使用上面的判斷規(guī)則的基礎(chǔ)上，應(yīng)該更多的考慮概念設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)體系的調(diào)整，不應(yīng)該一味的追求滿足規(guī)范的條文。另外，對于質(zhì)量參與系數(shù)方面，還有一個(gè)問題需要注意，有些時(shí)候可能結(jié)構(gòu)的前幾個(gè)模態(tài)的UX、UY和RZ參與系數(shù)都很小（一般小于0.01甚至更?。@時(shí)候一方面可能是結(jié)構(gòu)本身存在局部振動(dòng)，而且該局部振動(dòng)頻率小于整體結(jié)構(gòu)的第一振型頻率，局部振動(dòng)可以通過振型動(dòng)態(tài)視圖輸出來查看，此時(shí)在確定結(jié)構(gòu)第一平動(dòng)或扭轉(zhuǎn)模態(tài)時(shí)需要注意這一點(diǎn)，避免誤選局部振型作為第一振型，也可以通過模態(tài)分析定義中的頻率偏移和截?cái)囝l率的定義來抑制局部振型的捕捉輸出；另一方面可能是結(jié)構(gòu)某些部位的連接或剖分出了問題，或結(jié)構(gòu)存在自由點(diǎn)，這時(shí)常常伴隨結(jié)構(gòu)該振型的周期會(huì)非常長（一般大于100秒以上），這時(shí)說明結(jié)構(gòu)是存在問題的，需要對模型進(jìn)行檢查從而避免這些問題。如果結(jié)構(gòu)的某一模態(tài)為平動(dòng)振型，往往還需要我們判斷結(jié)構(gòu)該振型的平動(dòng)角，特別是結(jié)構(gòu)的第一平動(dòng)振型，其參數(shù)也反映了結(jié)構(gòu)地震作用基底剪力的方向角。對此我們也可以通過質(zhì)量參與系數(shù)來確定。例如，與第一個(gè)振型相關(guān)的基底剪力的X軸角度可以由下式給出：(12.18)2. 靜荷載參與系數(shù)靜荷載參與系數(shù)標(biāo)示了已計(jì)算振型相對于給定靜荷載響應(yīng)的吻合程度，它描述了對該靜力荷載進(jìn)行擬靜力模態(tài)時(shí)程分析所得到結(jié)果的精確程度。該評測手段首先由Wilson提出。目前我國規(guī)范對于該系數(shù)還沒有明確的要求。但是為了能夠?yàn)橛脩籼峁┍M可能多的模態(tài)信息參量，在SAP2000中文版中保留了這些系數(shù)的輸出。Wilson通過使用截?cái)嘞蛄考瘉砬蠼庥伸o力荷載模式所引起的響應(yīng)，以計(jì)算靜力位移，并在此基礎(chǔ)上定義了靜荷載參與系數(shù)。如方程 (12.4)所示，荷載可以寫作：(12.19)此時(shí)，與荷載條件j相關(guān)的總外力功為：(12.20)根據(jù)方程(12.7)，如果忽略慣性力與阻尼力，與截?cái)嗾裥徒庀嚓P(guān)的總外力功是：(12.21)對于荷載條件j，定義靜荷載參與系數(shù)rj為由截?cái)嗾裥图鞯目偣εc由荷載模式所作的總外力功之比。即：(12.22)當(dāng)采用擬靜力時(shí)程分析求解靜力解時(shí)，靜荷載參與系數(shù)的值對任何施加的靜力荷載都應(yīng)接近100%；如果分析是非線性的，對所有非線性變形荷載，靜荷載參與比的值同樣應(yīng)接近100%。當(dāng)然，結(jié)合我們前面所談到的模態(tài)分析方法，可以知道當(dāng)采用瑞茲向量時(shí)，對所有開始的荷載矢量，靜荷載參與比的值應(yīng)總是為100%。但當(dāng)采用特征向量時(shí)，就不一定能夠得到100%的質(zhì)量參與結(jié)果。而且如果荷載矢量 p 作用在無質(zhì)量的自由度上，即使采用全部可能的特征向量，也將無法給出100%的靜荷載參與值。3. 動(dòng)荷載參與系數(shù)動(dòng)荷載參與系數(shù)標(biāo)示了已計(jì)算振型相對于給定動(dòng)荷載響應(yīng)的吻合程度，它描述了對該動(dòng)力荷載進(jìn)行模態(tài)時(shí)程分析所得到結(jié)果的精確程度。它假定荷載僅僅作用在有質(zhì)量的自由度上?；谥豢紤]慣性力抵抗荷載模式的假設(shè)，因此任何作用在無質(zhì)量自由度上的荷載矢量分量都不能輸出動(dòng)荷載參與系數(shù)，并在分析過程中被忽略。如果只考慮質(zhì)量自由度，由于荷載模式fj而產(chǎn)生的準(zhǔn)確加速度為：(12.23)在時(shí)間t=1時(shí)的質(zhì)點(diǎn)，與荷載模式j(luò)相關(guān)的總動(dòng)能為：(12.24)根據(jù)方程(12.7)，如果忽略無質(zhì)量自由度，當(dāng)t1時(shí)，模態(tài)與截?cái)嗾裥徒庀嚓P(guān)的總動(dòng)能為：(12.25)對于荷載條件j，現(xiàn)在可以把動(dòng)力荷載參與系數(shù)rj定義為與截?cái)嗾裥图嚓P(guān)的總動(dòng)能與荷載模式相關(guān)的總動(dòng)能之比。即：(12.26)從物理意義上講，動(dòng)力荷載參與系數(shù)表示了模態(tài)分析捕捉到結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)的情況，正常情況下，如果動(dòng)力荷載參與系數(shù)少于100%，則說明高頻反應(yīng)沒有被成功捕捉。另外，對于三個(gè)整體方向上的質(zhì)量比例荷載，動(dòng)力荷載參與系數(shù)和質(zhì)量參與系數(shù)相同。從本質(zhì)上講動(dòng)力荷載參與系數(shù)是質(zhì)量參與比概念的延伸，因?yàn)橘|(zhì)量參與系數(shù)只是針對于加速度類型動(dòng)力荷載對計(jì)算所截取振型數(shù)目的要求而言的，而動(dòng)力荷載參與系數(shù)將這一范圍推廣到了所有動(dòng)力荷載形式。12.1.5 算例1. 使用SAP2000進(jìn)行模態(tài)分析的結(jié)果讀取和規(guī)范參數(shù)控制為了比較直觀的說明Sap2000對于模態(tài)分析結(jié)果的輸出，以及規(guī)范要求平扭參數(shù)、質(zhì)量參與系數(shù)等參數(shù)的判斷與控制，本節(jié)我們給出了一個(gè)算例。算例模型如圖12-3所示，結(jié)構(gòu)層高3m，局部八層，其余為五層，最高部位高度為24m。結(jié)構(gòu)設(shè)置了一個(gè)兩層的大空間部分（見立面圖）。（a）三維圖 （b）立面圖圖12-3 模態(tài)分析參數(shù)輸出算例模型在該算例中，定義了模態(tài)分析工況，分析方法選擇特征值分析法，選擇考慮的振型數(shù)量為20個(gè)，不考慮頻率偏心。表12-2給出了SAP2000對于模態(tài)分析質(zhì)量參與系數(shù)的結(jié)果，限于篇幅，并且其中三個(gè)方向的扭轉(zhuǎn)自由度質(zhì)量累計(jì)是沒有什么意義的，因此沒有進(jìn)行輸出。表12-2算例質(zhì)量參與系數(shù)輸出信息振型序號周期值(s)UXUYUZSumUXSumUYSumUZRXRYRZ10.690.000.680.000.000.680.000.800.000.2420.440.680.000.000.680.680.000.000.660.0030.420.000.130.000.680.810.000.040.000.5140.250.000.090.000.680.900.000.000.000.0350.180.000.000.000.680.900.000.000.000.0860.170.130.000.010.810.900.010.000.000.0070.160.000.050.000.810.950.010.000.000.0080.160.030.000.040.840.950.050.000.000.0090.150.000.000.000.840.950.050.010.000.00100.120.000.000.000.840.950.050.000.000.00110.110.000.000.000.840.950.050.000.000.04120.100.000.030.000.840.980.050.000.000.02130.090.080.000.000.920.980.050.000.000.00140.090.000.010.000.920.990.050.000.000.01150.080.000.000.400.920.990.460.000.130.00160.080.000.000.000.920.990.460.000.000.00170.080.000.000.000.920.990.460.050.000.00180.070.000.000.010.920.990.470.000.000.00190.070.000.000.000.920.990.470.010.000.00200.070.000.000.010.920.990.480.000.000.00我們可以根據(jù)周期信息來了解結(jié)構(gòu)的前三個(gè)周期分別為0.69s、0.44s和0.42s，模態(tài)分析結(jié)果得到如下圖12-3振型圖。我們可以按照本章前面所談到的質(zhì)量參與系數(shù)狀態(tài)來判斷前三個(gè)周期的平扭屬性，首先可以看到對于結(jié)構(gòu)第一周期，質(zhì)量參與系數(shù)UY為0.68，UX和UZ分別為0，說明結(jié)構(gòu)三個(gè)平動(dòng)自由度相比屬于Y方向的平動(dòng)振型；RX為0.8，這是與UY相對應(yīng)的，因?yàn)閷τ赨Y方向的平動(dòng)絕大部分質(zhì)量都是繞X軸的旋轉(zhuǎn)，RY為0，RZ為0.24，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的約束是發(fā)生在XY平面上的，所以RZ代表的是結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)自由度質(zhì)量參與系數(shù)，也就是說明結(jié)構(gòu)的第一振型帶有一定的扭轉(zhuǎn)屬性，由于結(jié)構(gòu)局部高度不一致（沿X方向），這一點(diǎn)也是可以預(yù)期的，但是RZ遠(yuǎn)小于UY，因此可以判斷第一振型屬于Y方向的平動(dòng)振型。同樣對于第二振型平動(dòng)自由度質(zhì)量參與系數(shù)UX為0.68，UY和UZ為0，對應(yīng)RY為0.66，RZ為零，這一振型不帶有扭轉(zhuǎn)屬性（沿Y方向結(jié)構(gòu)是對稱的），第二自由度為單純的X方向的平動(dòng)振型。對于第三振型UY為0.12，RZ為0.51，說明這一振型為扭轉(zhuǎn)振型，但帶有一定的Y方向的平動(dòng)效應(yīng)。從上面的分析我們可以明確幾點(diǎn)，首先我們前面談到對于通過質(zhì)量參與系數(shù)判斷平扭振型主要比較的是UX、UY和RZ三個(gè)自由度質(zhì)量參與情況，相比較哪個(gè)方向的質(zhì)量參與比例比較大時(shí)，對應(yīng)為哪個(gè)方向或?qū)傩缘恼裥?。對此工程師可能?huì)產(chǎn)生疑問，如果平動(dòng)方向UX或UY與RZ的質(zhì)量參與系數(shù)非常相近，甚至相等時(shí)怎么辦？對此，筆者覺得，假如這是發(fā)生在結(jié)構(gòu)前三個(gè)振型之后時(shí)，可以不去管它，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)體系本身的復(fù)雜特性決定高階振型很可能出現(xiàn)對等的平扭耦聯(lián)效應(yīng)，并且高振型對于結(jié)構(gòu)效應(yīng)求解處于較次要的地位，也不影響對于相關(guān)規(guī)范條文的判斷，因此筆者覺得工程師是可以接受的。但是如果發(fā)生在前三個(gè)振型，就必須要進(jìn)行仔細(xì)的分析了。大家都知道，平扭耦聯(lián)的效應(yīng)主要來源于結(jié)構(gòu)平面質(zhì)量和剛度分布的不均勻和不對稱，并且平扭耦聯(lián)對于結(jié)構(gòu)的危害是比較大的，因此規(guī)范對于這方面進(jìn)行了嚴(yán)格的控制。一般結(jié)構(gòu)都會(huì)發(fā)生一定的平扭耦聯(lián)，比如說對于本算例，實(shí)際上也產(chǎn)生了一定的平扭耦聯(lián)效應(yīng)，原因是結(jié)構(gòu)的局部高度差異及局部大跨度帶來的結(jié)構(gòu)質(zhì)量及剛度分布不均勻，但是從概念設(shè)計(jì)來看該結(jié)構(gòu)并不是很特殊，計(jì)算結(jié)果也證實(shí)了平扭耦聯(lián)效應(yīng)并不是很明顯，因此是可以接受的。實(shí)際上如果對于這一類結(jié)構(gòu)或平面分布更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，通過一個(gè)參數(shù)的量化來控制是平動(dòng)還是扭轉(zhuǎn)振型，那么這一參數(shù)稍小或稍大便帶來了兩個(gè)相反的結(jié)論，并且直接決定是否符合規(guī)范要求，是否是合理的結(jié)構(gòu)，試問這一點(diǎn)點(diǎn)差異會(huì)帶來結(jié)構(gòu)體系本質(zhì)性的差異嗎？綜上所述，筆者認(rèn)為對于通過質(zhì)量參與系數(shù)來判斷結(jié)構(gòu)平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振型不應(yīng)該給出唯一的量化指標(biāo)，對此實(shí)際上規(guī)范已經(jīng)給出了指導(dǎo)方向，新的規(guī)范也是把概念設(shè)計(jì)放在第一位的。因此，筆者的建議是當(dāng)前三個(gè)振型中出現(xiàn)UX或UY與RZ接近時(shí)，應(yīng)該從概念設(shè)計(jì)方面尋找原因，并且應(yīng)該盡量避免這一情況的出現(xiàn)，可以通過結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度平面分布情況進(jìn)行調(diào)整，或通過抗扭剛度的調(diào)整結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，由于本書的目的并不是討論結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，因此在此就不在贅述了。從表12-2還可以看出，對于UZ方向平動(dòng)質(zhì)量參與系數(shù)，前幾個(gè)振型都是零，實(shí)際上對于一般的結(jié)構(gòu)體系，是不需要考慮UZ方向的動(dòng)力效應(yīng)，因此也就不關(guān)注UZ方向的振型了。UZ方向的質(zhì)量參與系數(shù)是判斷結(jié)構(gòu)豎向振型的主要依據(jù)。一般情況下只有帶有大跨度、長懸臂的結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)體形非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)才需要考慮豎向振型。比如對于本算例，結(jié)構(gòu)中存在一個(gè)大跨度部分，從質(zhì)量參與信息可以看出，它發(fā)生了豎向振動(dòng)，并且是出現(xiàn)在第六和第八周期，因?yàn)檫@一部分的質(zhì)量相對于整體結(jié)構(gòu)比例是比較小的，因此質(zhì)量參與系數(shù)是比較小的，更多質(zhì)量參與，也就是結(jié)構(gòu)大范圍的豎向振動(dòng)是出現(xiàn)在第十五振型，UZ的質(zhì)量參與系數(shù)為0.4，并且它的周期是0.08s，而第六周期的周期是0.17s，可以看出大跨度部分相對于整體結(jié)構(gòu)，豎向是柔的多的。最后我們需要判斷結(jié)構(gòu)地震動(dòng)力分析所采用的模態(tài)分析的質(zhì)量參與要求，也就是我們所常說的90%以上的水平質(zhì)量參與系數(shù)的限制。在表12-2中我們是通過SumUX和SumUY進(jìn)行判斷，并且只需要讀取最后一個(gè)振型的累計(jì)質(zhì)量就可以了，對于本算例我們可以看出，SumUX為92%，SumUY為99%，是滿足要求的。至于SumUZ和SumRZ質(zhì)量參與系數(shù)累計(jì)則越小越好。（a）第一振型 （b）第二振型 （c）第三振型（d）第五振型 （e）第六振型 （f）第十五振型圖12-4 算例模型振型圖上面圖12-4給出了本算例前三個(gè)振型和第五、六、十五的振型的振型圖，可以看出從表12-2我們得到的結(jié)論也可以在振型圖中直觀的看到。第一振型為Y方向平動(dòng)振型，略帶扭轉(zhuǎn)效應(yīng)；第二振型為X方向平動(dòng)振型，不帶扭轉(zhuǎn)；第三振型為扭轉(zhuǎn)振型，略帶Y方向的平動(dòng)；第六振型為大跨部位局部豎向振型；第十五振型為大面積豎向振型。表12-3 振型質(zhì)量及剛度輸出信息振型序號周期值(s)振型質(zhì)量(t)振型剛度(kN/m)10.69182.4220.441204.3930.421221.9140.251612.0550.1811261.56SAP2000還輸出了振型質(zhì)量和振型剛度情況，通過表12-3可看出，結(jié)構(gòu)振型質(zhì)量輸出是正交歸一化的，而振型剛度信息就是微分方程求解過程的特征值。根據(jù)經(jīng)典無阻尼自由振動(dòng)公式，便可以得到表中的模態(tài)周期值。2. 特征向量法和Ritz向量法算例對比前面我們討論了SAP2000所提供的兩種模態(tài)分析方法，特征向量法和Ritz向量法。為了更直觀的給出這兩種方法在結(jié)構(gòu)有限元分析過程中的區(qū)別，此處我們給出了一個(gè)單跨簡支梁的算例，見圖12-5。圖12-5 模態(tài)分析方法對比模型該單跨梁跨度為10m，跨中50kN集中荷載，分析過程中梁按照最大1m的單元進(jìn)行剖分?？紤]在XZ平面內(nèi)分析，分別定義了 “EIGEN”和“RITZ” 兩個(gè)模態(tài)分析工況，前者是特征向量法，后者是Ritz向量法。兩個(gè)模態(tài)分析工況考慮的振型數(shù)量均為5個(gè)，Ritz向量法考慮的初始激發(fā)荷載為UZ方向的加速度。（a）特征向量法 （b）Ritz向量法圖12-6 算例模型振型圖上圖12-6依次給出了兩種模態(tài)分析方法前五個(gè)振型的變形圖，可以清楚地看到兩種方法得到振型圖是很不相同的。從經(jīng)典結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可以判斷，特征值方法模態(tài)分析給出的結(jié)構(gòu)振型是一個(gè)單跨框架比較標(biāo)準(zhǔn)的振型，而Ritz向量法模態(tài)分析給出的結(jié)果則沒有對這些振型進(jìn)行全部考慮。兩個(gè)方法的第一振型是相同的，Ritz向量法的第二振型是特征向量法的第三振型，而Ritz向量法的第三振型是特征向量法的第五振型。我們仔細(xì)觀察可以看到，Ritz向量法所有振型都是對稱的。上面我們在給出算例條件的時(shí)候已經(jīng)交待了，此處給框架梁施加的主要荷載是在梁的中心部位，因此荷載作用是對稱的，因此對于反對稱的振型，并不是由荷載激發(fā)的，荷載在這些振型的動(dòng)力貢獻(xiàn)也為零。本章前面已經(jīng)討論過了，Ritz向量法是考慮荷載分布狀態(tài)及動(dòng)力貢獻(xiàn)的模態(tài)分析方法，所以在本算例中它忽略了所有反對稱振型。所得到的結(jié)果是同樣考慮5個(gè)振型，但Ritz向量法會(huì)考慮更多有效的振型，也會(huì)得到更高的質(zhì)量參與系數(shù)，這一點(diǎn)也可以通過本算例的模態(tài)質(zhì)量參與結(jié)果來看（表12-4）。表12-4 質(zhì)量參與系數(shù)輸出信息工況名稱振型序號周期值質(zhì)量參與系數(shù)累計(jì)質(zhì)量參與系數(shù)EIGEN10.1660.97330.973320.0140.00000.973330.0090.01930.992640.0040.00000.992650.0040.00540.9980RITZ10.1660.97330.973320.0090.01930.992630.0040.00540.998040.0020.00160.999750.0020.00031.0000從表12-4可以看出，特征向量法分析工況考慮五個(gè)振型得到的累計(jì)質(zhì)量參與系數(shù)為99.8%，而Ritz向量法得到了100%的質(zhì)量參與系數(shù)。而且可以看出特征向量法第二個(gè)和第四個(gè)振型質(zhì)量參與系數(shù)為0，恰好是兩個(gè)反對稱振型，這也證實(shí)了我們前面的觀點(diǎn)。對于本算例，我們還給出結(jié)構(gòu)靜力荷載參與系數(shù)和動(dòng)力荷載參與系數(shù)，見表12-5。表12-5 荷載參與系數(shù)結(jié)果分析工況動(dòng)力荷載類型自由度方向靜力參與系數(shù)(%)動(dòng)力力參與系數(shù)(%)EIGEN加速度UX0.00.0加速度UY0.00.0加速度UZ100.099.8RITZ加速度UX0.00.0加速度UY0.00.0加速度UZ100.0100.0從表12-5可以看出，由于我們沒有考慮UY方向的自由度，而前五個(gè)振型沒有UX方向的振型，因此UX和UY方向的荷載參與系數(shù)均為零。兩種模態(tài)分析方法全部得到了100%的靜荷載參與系數(shù)，說明計(jì)算振型對于恒載作用的吻合程度兩種方法都是比較好的。對于動(dòng)力荷載參與系數(shù)，特征向量法給出了98%的參與系數(shù)，而Ritz向量法給出了100%的質(zhì)量參與系數(shù)，這也證實(shí)了本章前面的論述，Ritz向量法分析因?yàn)榭紤]了更多的高階振型，因此對于動(dòng)力荷載的高頻響應(yīng)捕捉得到了更好的結(jié)果。12.2 反應(yīng)譜分析地震作用本質(zhì)上是一種地面運(yùn)動(dòng)荷載，雖然其發(fā)生的過程總體上很短暫，但是作用的大小是隨時(shí)間變化的，目前結(jié)構(gòu)分析的發(fā)展水平允許我們基于振型疊加法或其它方法在地震作用的整個(gè)過程中對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行完整計(jì)算，這就是我們所常說的結(jié)構(gòu)的時(shí)程分析。但是這種分析方法往往需要更復(fù)雜的計(jì)算工作，并且所進(jìn)行的分析往往需要更詳盡并有針對性的場地信息，這一點(diǎn)并不是所有實(shí)際工程都能夠提供的，另外，時(shí)程分析會(huì)輸出地震作用整個(gè)過程每一時(shí)刻的結(jié)構(gòu)位移及內(nèi)力響應(yīng)，對于這些信息的統(tǒng)計(jì)需要大量的工作量，并且難以形成直接指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的信息。因此雖然時(shí)程分析是更為真實(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析，但是滿足大部分結(jié)構(gòu)規(guī)范要求和工程師需求的仍然是地震作用的反應(yīng)譜分析。地震作用反應(yīng)譜分析本質(zhì)上是一種擬動(dòng)力分析，它首先使用動(dòng)力方法計(jì)算質(zhì)點(diǎn)地震響應(yīng)，并使用統(tǒng)計(jì)的方法形成反應(yīng)譜曲線，然后再使用靜力方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。時(shí)程分析的不足恰好是反應(yīng)譜分析方法的優(yōu)點(diǎn)，光滑設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是地震運(yùn)動(dòng)的平均值，它僅包括計(jì)算每個(gè)振型中的位移和構(gòu)件力的最大值，因此不需要對于多條地震波的復(fù)雜計(jì)算。并且結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜分析所給出的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息可以很方便的應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，避免了對于整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的處理。12.2.1 反應(yīng)譜分析的基本理論與方法首先我們?nèi)匀皇菑那懊嫠茖?dǎo)出來的模態(tài)方程出發(fā)，來簡單闡述一下反應(yīng)譜分析方法的基本原理。對于三維地震運(yùn)動(dòng)，典型的模態(tài)方程(12.7)可重寫為：(12.27)其中三個(gè)振型參與系數(shù)是由定義的，i為x、y或z。公式（12.27）考慮了結(jié)構(gòu)三個(gè)方向上的地震作用，一般情況下，我們需要先求解一個(gè)方向地震作用響應(yīng)，然后再基于三個(gè)正交方向的分量考慮結(jié)構(gòu)總響應(yīng)，換句話說，前者是基于振型組合求解一個(gè)方向的地震響應(yīng)，后者是基于方向組合求解結(jié)構(gòu)總響應(yīng)。下面我們只考慮一個(gè)方向的地震輸入，方程 (12.27)可寫為：(12.28)基于方程（12.28），我們可以繪制最大值響應(yīng)ymax()的曲線。對于該加速度輸入，根據(jù)定義，曲線是地震運(yùn)動(dòng)的位移反應(yīng)譜。對于每個(gè)不同的阻尼值都會(huì)有一條不同的曲線與之對應(yīng)。對于具有周期Tn的典型振型n和對應(yīng)的反應(yīng)譜值S(n)，可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的最大模態(tài)位移。與周期Tn相關(guān)的最大模態(tài)反應(yīng)可由下式得出：(12.29)結(jié)構(gòu)的最大模態(tài)位移響應(yīng)為：(12.30) 曲線ymax() 定義為偽-速度譜，而曲線2ymax()定義為偽-加速度譜。對于零阻尼的特殊情況，系統(tǒng)總加速度等于2y(t)。曲線的標(biāo)準(zhǔn)表示形式為S() 對以秒為單位的周期T，其中：(12.31)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)矩陣結(jié)構(gòu)分析，使用在靜力分析中所需的相同方程，計(jì)算出對應(yīng)的模態(tài)內(nèi)力fkn。基于不同周期結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值大小，我們也可以繪制結(jié)構(gòu)速度和加速度反應(yīng)譜曲線。一般情況下，隨著周期的延長，位移反應(yīng)譜為上升曲線；速度反應(yīng)譜曲線為平直曲線，相對比較恒定；加速度反應(yīng)譜大體為下降曲線。一般情況下，我們并不關(guān)心速度反應(yīng)譜，因?yàn)樗皇欠磻?yīng)譜的實(shí)質(zhì)部分，而目前結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是加速度反應(yīng)譜，這在國內(nèi)外不同地區(qū)的規(guī)范是相同的。下圖給出了典型設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜曲線。圖12-7 典型設(shè)計(jì)反應(yīng)譜加速度反應(yīng)譜在短周期部分為快速上升曲線，并且在結(jié)構(gòu)周期與場地特征周期接近時(shí)出現(xiàn)峰值，后面更大范圍是逐漸下降段。峰值出現(xiàn)的時(shí)間與對應(yīng)的周期與場地類別有關(guān)系，一般情況下I類場地約為0.10.2s；II類場地約為0.30.4s；III類場地約為0.50.6s；IV類場地約為0.71.0s。而且通過反應(yīng)譜曲線的基本形態(tài)可以看出，結(jié)構(gòu)的地震作用大小取決于結(jié)構(gòu)的自振周期和場地特性。一般來說，隨著結(jié)構(gòu)自振周期的延長，地震作用將減小。而如果結(jié)構(gòu)的自振周期與場地特征周期相近，結(jié)構(gòu)地震作用最大，這就是我們所常說的上平臺。12.2.2 振型組合的基本理論與方法SAP2000對于反應(yīng)譜分析振型組合分析，給出了CQC法、SRSS法、ABS